2-я космічна швидкість. IV

30.09.2019

Перша космічна швидкість - це мінімальна швидкість, за якої тіло, що рухається горизонтально над поверхнею планети, не впаде на неї, а рухатиметься круговою орбітою.

Розглянемо рух тіла у неінерційній системі відліку – щодо Землі.

У цьому випадку об'єкт на орбіті перебуватиме у стані спокою, тому що на нього діятимуть уже дві сили: відцентрова сила та сила тяжіння.

де m - маса об'єкта, M - маса планети, G - гравітаційна постійна (6,67259·10 −11 м?·кг −1 ·с −2),

Перша космічна швидкість, R – радіус планети. Підставляючи чисельні значення (для Землі 7,9 км/с

Першу космічну швидкість можна визначити через прискорення вільного падіння - оскільки g = GM/R?

Друга космічна швидкість - найменша швидкість, яку необхідно надати об'єкту, маса якого зневажливо мала в порівнянні з масою небесного тіладля подолання гравітаційного тяжіння цього небесного тіла і покидання кругової орбіти навколо нього.

Запишемо закон збереження енергії

де ліворуч стоять кінетична та потенційна енергії на поверхні планети. Тут m – маса пробного тіла, M – маса планети, R – радіус планети, G – гравітаційна постійна, v 2 – друга космічна швидкість.

Між першою та другою космічними швидкостями існує просте співвідношення:

Квадрат швидкості втікання дорівнює подвоєному ньютонівському потенціалу в даній точці:

Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:

Ще за темою 15. Висновок формул для 1-ї та 2-ї космічних швидкостей.

Розподіл Максвелла за швидкостями. Найімовірніша середньоквадратична швидкість руху молекули.
14. Виведення третього закону Кеплера для кругового руху
1. Швидкість елімінації. Константа швидкості елімінації. Час напівелімінації
7.7. Формула Реле-Джинса. Гіпотеза Планка. Формула Планка
13. Космічна та авіаційна геодезія. Особливості зондування у водному середовищі. Системи машинного зору ближнього радіусу дії.
18. Етичний аспект культури промови. Мовний етикет та культура спілкування. Формули мовного етикету. Етикетні формули знайомства, уявлення, привітання та прощання. "Ти" і "Ви" як форми звернення в російському мовному етикеті. Національні особливості мовного етикету.

Будь-який предмет, будучи підкинутим нагору, рано чи пізно виявляється на земної поверхні, чи це камінь, аркуш паперу або просте пір'їнка. У той же час, супутник, запущений у космос півстоліття тому, космічна станціяабо Місяць продовжують обертатися своїми орбітами, немов на них зовсім не діє нашої планети. Чому так відбувається? Чому Місяцю не загрожує впасти на Землю, а Земля не рухається назустріч Сонцю? Невже на них не діє всесвітнє тяжіння?

Зі шкільного курсу фізики ми знаємо, що всесвітнє тяжіння впливає на будь-яке матеріальне тіло. Тоді логічно буде припустити, що є сила, що нейтралізує дію гравітації. Цю силу прийнято називати відцентровою. Її дію легко відчути, прив'язавши на один кінець нитки невеликий вантаж і розкрутивши його по колу. При цьому чим більше швидкість обертання тим сильніше натяг нитки, а чим повільніше обертаємо ми вантаж тим більше ймовірність, що він впаде вниз.

Таким чином ми наблизилися до поняття «космічна швидкість». У двох словах її можна описати як швидкість, що дозволяє будь-якому об'єкту подолати тяжіння небесного тіла. Як може виступати планета, її чи інша система. Космічна швидкість має кожен об'єкт, який рухається орбітою. До речі, розмір і форма орбіти залежать від величини та напряму швидкості, яку даний об'єкт отримав на момент вимкнення двигунів, та висоти, на якій відбулася дана подія.

Космічна швидкість буває чотирьох видів. Найменша з них – це перша. Це найменша швидкість, яка повинна бути у того, щоб він вийшов на кругову орбіту. Її значення можна визначити за такою формулою:

V1=√µ/r, де

µ - геоцентрична гравітаційна стала (µ = 398603 * 10(9) м3/с2);

r – відстань від точки запуску до центру Землі.

Через те, що форма нашої планети не є ідеальною кулею (на полюсах вона як би трохи плеската), то відстань від центру до поверхні найбільше на екваторі - 6378,1 . 10 (3) м, а найменше на полюсах - 6356,8. 10(3) м. Якщо взяти середню величину – 6371 . 10 (3) м, то отримаємо V1 рівною 7,91 км/с.

Чим більша космічна швидкість перевищуватиме цю величину, тим більше витягнуту форму набуватиме орбіта, віддаляючись від Землі на все більшу відстань. У якийсь момент ця орбіта розірветься, набуде форми параболи, і космічний апарат вирушить борознити космічні простори. Для того, щоб залишити планету, у корабля має бути друга космічна швидкість. Її можна розрахувати за формулою V2=√2µ/r. Для нашої планети ця величина дорівнює 112 км/с.

Астрономи давно вже визначили, чому дорівнює космічна швидкість, як перша, так і друга для кожної планети нашої рідної системи. Їх нескладно розрахувати за вищенаведеними формулами, якщо замінити константу µ на твір fM, в якому M - маса небесного тіла, що цікавить, а f - постійна тяжіння (f= 6,673 х 10(-11) м3/(кг х с2).

Третя космічна швидкість дозволить будь-кому подолати тяжіння Сонця та залишити рідну Сонячну систему. Якщо розраховувати щодо Сонця, то вийде значення 42,1 км/с. А щоб із Землі вийти на навколосонячну орбіту, знадобиться розігнатися до 16,6 км/с.

Ну і, нарешті, четверта космічна швидкість. З її допомогою можна подолати тяжіння безпосередньо самої галактики. Її величина варіюється в залежності від координат галактики. Для нашого ця величина становить приблизно 550 км/с (якщо розраховувати щодо Сонця).

Найперші джерела писемності, усні легенди та оповіді, що передаються з вуст в уста, свідчать про бажання людини літати, подібно до птаха. І ось літальні апарати легко обганяють будь-яких птахів. Але людина не тільки освоїв повітряний простір, цього йому здалося замало.

Активно освоюється ближній космос, на Земній орбіті перебувають цілі комплекси, які з житлових, наукових, технічних модулів. По червоній планеті - Марсу - щосили колесять дослідні автоматичні апарати, по поверхні Місяця робляться «величезні кроки людства», а місії «Вояджер» взагалі назавжди залишають свою рідну зірку. З якою швидкістю летять апарати у космосі? "Друга космічна швидкість" - що означає це словосполучення?

Як відірватися від Землі та як її залишити

Спочатку розглянемо, як взагалі літають наші космічні апарати. Уявімо, що на поверхні Землі збудована якась фантастична вежа. Така висока, що її вершина розташована там, де вже зовсім немає повітря. На верхньому майданчику споруди ставимо гармату, здатну випускати снаряди з різними початковими швидкостями.

Перший снаряд випускається з невеликою кількістю пороху у заряді. Снаряд падає недалеко від вежі. Якщо кожен наступний постріл робити, послідовно збільшуючи потужність заряду, снаряди, що випускаються з гармати, будуть падати все далі, огинаючи земну кулю.

За умови, що наша гармата встановлена так високо, що снаряди летітимуть поза атмосферою, і повітря не гальмуватиме їх рух, певний моментснаряд (під номером 6 малюнку) взагалі впаде на поверхню планети. Обійшовши її, він пролетить поряд з гарматою, що випустила його, і піде на друге, третє коло і т. д. Такий ефект ми зможемо спостерігати, коли початкова швидкість снаряда буде 7,91 кілометрів в секунду - це і є перша космічна швидкість.

А що буде, якщо швидкість підвищуватиме далі? Якщо випустити снаряд з гармати так, щоб він летів швидше 11 км/с, траєкторія його перетвориться з еліпса на параболу (лінія 7 на малюнку) і він, подолавши силу тяжіння, назавжди покине нашу планету. Це у небесній механіці друга космічна швидкість.

Хто був першим

Хто ж зумів першим надати техніці такі швидкості? Обидві – перша та друга космічні швидкості – були досягнуті апаратами, виготовленими руками радянських інженерів.

Восени 57 року минулого століття радянська ракета-носій P-7, розвинувши першу космічну швидкість, виводить на орбіту Землі перший в історії людства штучний супутник. Але людина не була б самою собою, якби її задовольнила доля кружляти навколо своєї колиски.

Через два роки, знову ж таки радянським, космічним кораблем була досягнута друга космічна швидкість ракет, що дозволила місії подолати земне тяжіння і попрямувати в бік Місяця.

Як розрахувати

А чого залежить величина космічних швидкостей? Вочевидь, по-перше, від потужності гравітаційного поля, що створює космічне тіло. Одна річ відірватися від астероїда, де надати м'ячу другу космічну швидкість можна просто - сильніше розмахнувшись, шпурнути його в космос. Інша річ - покинути межі Землі, з її масою.

Є ще один аспект. Розглянемо дві планети, що обертаються навколо Сонця: Меркурій і малу планету, нещодавно відкриту, Еріду. Обидва космічні тіла обертаються навколо одного і того ж світила з однією і тією ж масою. Але ось 1 космічна швидкість у Меркурія становить близько 50 км/с, Еріда ж летить своєю орбітою набагато повільніше - близько 3,5 км/с. У чому ж справа? А в тому, що Еріда у 200 разів далі від світила ніж Меркурій і сила тяжіння Сонця там у 200 разів у кубі слабша. Звідси ще один фактор – відстань від центру космічного тіла. Тобто чим ближче до нього ми знаходимося, тим вищою буде друга космічна швидкість. Формула першої космічної швидкості відома зі шкільного курсу фізики.

G - константа гравітації, приймається в розрахунках 6,67 ∙ 10 -11 м 3 ∙с -2 ∙кг;
M – маса космічного тіла;
R – відстань від центру планети до орбіти (радіус обертання).

Неважко обчислюється і друга космічна швидкість. Формула її наведена нижче.

Для того щоб, перебуваючи в районі земної орбіти, назавжди залишити Сонячну систему, необхідно розігнатися до швидкості (щодо Сонця) 47 км/с, її називають третьою космічною.

Наше Сонце так само, як навколо нього планети, саме обертається навколо центру галактики, іменумою Чумацьким Шляхом, зі швидкістю близько 250 кілометрів на секунду. Щоб назавжди розпрощатися з галактикою, йому знадобилася швидкість близько 650 км/с (космічна швидкість № 4).

Друга космічна швидкість для невеликого астероїда становить близько 30-60 м/с. Відлетіти від такого об'єкта в космосі нескладно. Інша справа - нейтронні зіркиабо ще чогось гіршого - чорні дірки. Друга космічна швидкість для чорної дірки- понад 300 тисяч кілометрів на секунду - вище за швидкість світла. Саме тому жоден об'єкт, навіть світло, не в змозі залишити обійми цього космічного монстра.

Для визначення двох характерних «космічних» швидкостей, пов'язаних із розмірами та полем тяжіння деякої планети. Планету вважатимемо однією кулею.

Мал. 5.8. Різні траєкторії руху супутників навколо Землі

Першою космічною швидкістюназивають таку горизонтально спрямовану мінімальну швидкість, коли він тіло міг би рухатися навколо Землі по кругової орбіті, тобто перетворитися на штучний супутник Землі.

Це, звичайно ідеалізація, по-перше, планета не куля, по-друге, якщо у планети є достатньо щільна атмосфера, то такий супутник - навіть якщо його вдасться запустити - дуже швидко згорить. Інша справа, що, скажімо супутник Землі, що літає в іоносфері на середній висоті над поверхнею в 200 км, має радіус орбіти, що відрізняється від середнього радіуса Землі всього приблизно на 3 %.

На супутник, що рухається круговою орбітою радіусом (рис. 5.9), діє сила тяжіння Землі, що повідомляє йому нормальне прискорення

Мал. 5.9. Рух штучного супутникаЗемлі по круговій орбіті

За другим законом Ньютона маємо

Якщо супутник рухається неподалік поверхні Землі, то

Тому для Землі отримуємо

Видно, що дійсно визначається параметрами планети: її радіусом та масою.

Період звернення супутника навколо Землі дорівнює

де – радіус орбіти супутника, а – його орбітальна швидкість.

Мінімальне значення періоду звернення досягається при русі по орбіті, радіус якої дорівнює радіусу планети:

отже, першу космічну швидкість можна визначити і так: швидкість супутника на круговій орбіті з мінімальним періодом обертання навколо планети.

Період обігу зростає зі збільшенням радіусу орбіти.

Якщо період звернення супутника дорівнює періоду звернення Землі навколо своєї осі та його напрями обертання збігаються, а орбіта розташована в екваторіальній площині, такий супутник називається геостаціонарним.

Геостаціонарний супутник постійно висить над тією самою точкою поверхні Землі (рис. 5.10).

Мал. 5.10. Рух геостаціонарного супутника

Для того, щоб тіло могло вийти зі сфери земного тяжіння, тобто могло відійти на таку відстань, де тяжіння до Землі перестає відігравати істотну роль, необхідна друга космічна швидкість(Рис. 5.11).

Другою космічною швидкістюназивають найменшу швидкість, яку необхідно повідомити тілу, щоб його орбіта в полі тяжіння Землі стала параболічною, тобто щоб тіло могло перетворитися на супутник Сонця.

Мал. 5.11. Друга космічна швидкість

Для того щоб тіло (за відсутності опору середовища) могло подолати земне тяжіння і піти в космічний простір, необхідно, щоб кінетична енергія тіла на поверхні планети дорівнювала (або перевершувала) роботу, що чиниться проти сил земного тяжіння. Напишемо закон збереження механічної енергії Етакого тіла. На поверхні планети, конкретно – Землі

Швидкість вийде мінімальної, якщо на нескінченному віддаленні від планети тіло буде спочивати

Прирівнюючи ці два вирази, отримуємо

звідки для другої космічної швидкості маємо

Для повідомлення об'єкту необхідної швидкості (першої чи другої космічної) вигідно використовувати лінійну швидкість обертання Землі, тобто запускати його якомога ближче до екватора, де ця швидкість становить, як ми бачили, 463 м/с (точніше 465,10 м/с ). У цьому напрям запуску має збігатися з напрямом обертання Землі - із заходу Схід. Легко підрахувати, що у такий спосіб можна виграти кілька відсотків в енергетичних витратах.

Залежно від початкової швидкості, що повідомляється тілу в точці кидання Ана поверхні Землі, можливі наступні видируху (рис. 5.8 та 5.12):

Мал. 5.12. Форми траєкторії частинки в залежності від швидкості кидання

Абсолютно аналогічно розраховується рух у гравітаційному полі будь-якого іншого космічного тіла, наприклад, Сонця. Щоб подолати силу тяжіння світила і залишити Сонячну систему, об'єкту, що спокоїться щодо Сонця і знаходиться від нього на відстані, що дорівнює радіусу земної орбіти (див. вище), необхідно повідомити мінімальну швидкість, що визначається з рівності

де, нагадаємо, це радіус земної орбіти, а - маса Сонця.

Звідси випливає формула, аналогічна виразудля другої космічної швидкості, де треба замінити масу Землі на масу Сонця та радіус Землі на радіус земної орбіти:

Підкреслимо, що це мінімальна швидкість, яку треба надати нерухомому тілу, що знаходиться на земній орбіті, щоб воно подолало тяжіння Сонця.

Відзначимо також зв'язок

з орбітальною швидкістю Землі. Цей зв'язок, як і має бути - Земля супутник Сонця, така сама, як і між першою і другою космічними швидкостями і .

Насправді ми запускаємо ракету із Землі, отже вона свідомо бере участь у орбітальному русі навколо Сонця. Як було показано вище, Земля рухається навколо Сонця з лінійною швидкістю

Ракету доцільно запускати у бік руху Землі навколо Сонця.

Швидкість, яку необхідно повідомити тілу на Землі, щоб воно назавжди залишило межі Сонячної системи, називається третьою космічною швидкістю .

Швидкість залежить від того, в якому напрямку космічний корабельвиходить із зони дії земного тяжіння. При оптимальному запуску ця швидкість становить приблизно 6,6 км/с.

Зрозуміти походження цього числа можна також із енергетичних міркувань. Здавалося б, достатньо ракеті повідомити про Землю швидкість

у напрямку руху Землі навколо Сонця, і вона залишить межі Сонячної системи. Але це було б правильно, якби Земля не мала свого поля тяжіння. Таку швидкість тіло повинне мати, вже відійшовши зі сфери земного тяжіння. Тому підрахунок третьої космічної швидкості дуже схожий на обчислення другої космічної швидкості, але з додатковою умовою - тіло на великій відстані від Землі має все ще мати швидкість:

У цьому рівнянні ми можемо виразити потенційну енергію тіла на поверхні Землі (другий доданок у лівій частині рівняння) через другу космічну швидкість відповідно до отриманої формули для другої космічної швидкості

Звідси знаходимо

додаткова інформація

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сівухін Д.В. Загальний курс фізики, том 1, Механіка Вид. Наука 1979 р. - стор. 325–332 (§61, 62): виведено формули для всіх космічних швидкостей (включаючи третю), вирішено завдання про рух космічних апаратів, закони Кеплера виведені із закону всесвітнього тяжіння.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал "Квант" - політ космічного апарату до Сонця (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - зіркова динаміка (О.Чернін).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрєлков С.П. Механіка Вид. Наука 1971 р. - стор. 138–143 (§§ 40, 41): в'язке тертя, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал "Квант" - гравітаційна машина (А. Самбелашвілі).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета – Земля». Наука 1983, гл. 1, пункт 3, стор. 23-26 - наводиться схема положення сонячної системиу нашій галактиці, напрями та швидкості руху Сонця та Галактики щодо реліктового випромінювання.

Друга "земна" космічна швидкість -це швидкість, яку необхідно повідомити тілу щодо Землі,щоб вона подолала поле земного тяжіння, тобто. виявилося здатним піти від Землі на нескінченно велику відстань.

Нехтуючи дією на тіло Сонця, Місяця, планет, зірок тощо. і вважаючи, що у системі Земля - тіло відсутні неконсервативні сили (а такі насправді є - це сили опору атмосфери), ми можемо вважати цю систему замкненою і консервативною. У такій системі повна механічна енергія є постійною величиною.

Якщо нульовий рівень потенційної енергії вибрати в нескінченності, то повна механічна енергія тіла в будь-якій точці траєкторії дорівнюватиме нулю (у міру віддалення тіла від Землі кінетична енергія, повідомлена йому на старті, буде перетворюватися на потенційну. У нескінченності, де потенційна енергія тіла дорівнює нулю ,

звернеться в нуль та кінетична енергія E до =0. Отже, повна енергія E= E п + E до . = 0.)

Прирівнявши повну енергію тіла на старті (на поверхні Землі) і нескінченно, ми можемо обчислити другу космічну швидкість. На старті тіло має позитивну кінетичну енергію
і негативноюпотенційною енергією
,m - маса тіла; M з - маса Землі; II - швидкість тіла на старті (потрібна космічна швидкість); R з- радіус Землі (припускаємо, що необхідну космічну швидкість тіло набуває в безпосередній близькості від Землі).

Повна енергія тіла
(12.16)

звідки
(12.17)

Масу Землі можна виразити через прискорення вільного падіння g 0 (поблизу Землі):
.

Підставивши цей вираз у (12.17), отримаємо остаточно

(12.18)

так як
є перша космічна швидкість.

V. Умови рівноваги механічної системи.

Нехай на тіло діють тільки консервативна сила. Це означає, що це тіло разом із тілами, з якими воно взаємодіє, утворює замкнуту консервативну систему.

З'ясуємо, за яких умов тіло, що розглядається, буде перебувати в стані рівноваги (сформулюємо ці умови з

енергетичної точки зору). Умови рівноваги з поглядудинаміки нам відомі: тіло знаходиться в рівновазі, якщо його швидкість і геометрична сума всіх сил, що діють на нього, рівні

(12.19)

(12.20)

нулю: Нехай консервативна сила, що діє на тіло, така, що потенційна енергія тіла залежить лише від однієї координати, наприклад, x

. Графік цієї залежності наведено на малюнку 23. Зі зв'язку потенційної енергії з силою випливає, що в стані рівноваги Нехай консервативна сила, що діє на тіло, така, що потенційна енергія тіла залежить лише від однієї координати, наприклад,похідна від потенційної енергії по

(12.21)

дорівнює нулю. тобто. в стані рівноваги тіло має екстремальний запас потенційної енергії. Переконаємося, що потенційна енергія в стані стійкої рівновагимінімальна , а стані нестійкого рівноваги –.

максимальна 3. Стійка рівновага системи характеризується тим, що при відхиленні системи з цього стану виникають сили,повертають

систему у початковий стан. П при відхиленні зі стану нестійкої рівноваги виникають сили, які прагнуть відхилити систему щевід первісного становища. Відхилимо тіло зі становища A вліво(Див. рис.23). При цьому з'явиться сила , проекція якої на вісь Нехай консервативна сила, що діє на тіло, така, що потенційна енергія тіла залежить лише від однієї координати, наприклад,дорівнює:

(12.22)

Похідна
у точці негативна (кут
- тупий). З (12.22) випливає, >0; напрям сили збігаєтьсяз напрямком осі Нехай консервативна сила, що діє на тіло, така, що потенційна енергія тіла залежить лише від однієї координати, наприклад,, тобто. сила спрямування до положення рівновагиA. Тіло мимовільно, без додаткового впливу повернеться до положення рівноваги. Отже, стан A– стан стійкогорівноваги. Але в цьому стані, як видно з графіка, потенційна енергія мінімальна.

4. Відхилімо тіло зі становища B також ліворуч. Проекція сили
на вісь Нехай консервативна сила, що діє на тіло, така, що потенційна енергія тіла залежить лише від однієї координати, наприклад,:

виходить негативною (
>0, оскільки кут
гострий).

Це означає, що напрям сили
протилежнопозитивному напрямку осі Нехай консервативна сила, що діє на тіло, така, що потенційна енергія тіла залежить лише від однієї координати, наприклад,, тобто. сила
спрямована від становища рівноваги.Стан B, В якому потенційна енергія максимальна, нестійке.

Таким чином, у стані стійкогорівноваги потенційна енергія системи мінімальна, в стані нестійкогорівноваги - максимальна.

Якщо відомо, що потенційна енергія певної системи мінімальна,то це ще не означає, що система перебуває у рівновазі. Необхідно ще, щоб у цьому стані система не мала кінетичної енергії:
(12.23)

Отже, система перебуває у стані стійкої рівноваги, якщо E до=0, а E пмінімальна. Якщо E до=0, а E пмаксимальна, то система перебуває у нестійкій рівновазі.

ПРИКЛАДИ РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ

приклад 1.Людина стоїть у центрі лави Жуковського і разом із нею обертається за інерцією. Частота звернення
Момент інерції тіла людини щодо осі обертання
У витягнутих убік руках людина тримає дві гирі масою
кожна. Відстань між гирями

Скільки обертів за секунду робитиме лава з людиною, якщо вона опустить руки та відстань між гирями стане рівним
Моментом інерції лави знехтувати.

Рішення.Людина, що тримає гирі (див. рис.24), складає разом із лавкою ізольовану механічну систему, тому момент імпульсу
Ця система повинна мати постійне значення.

Отже, для нашого випадку

де і - момент інерції людини та кутова швидкість лави та людини з витягнутими руками. і
- момент інерції тіла людини та кутова швидкість лави та людини з опущеними руками. Звідси
замінивши кутову швидкість через частоту (
), отримаємо

Момент інерції системи, що розглядається в даному завданні, дорівнює сумі моменту інерції тіла людини та моменту інерції гир у руках людини, яку можна визначити за формулою моменту інерції матеріальної точки

Отже,

де
маса кожної з гирь, і
початкова та кінцева відстань між ними. З урахуванням зроблених зауважень маємо

Підставляючи чисельні значення величин, знайдемо

приклад 2.Стрижень завдовжки
та масою
може обертатися довкола нерухомої осі, що проходить через верхній кінець стрижня (див. рис.25). У середину стрижня ударяє куля масою
, що летить у горизонтальному напрямку зі швидкістю
, і застряг у стрижні.

На який кут відхилиться стрижень після удару?

Рішення.Удар кулі слід розглядати як непружний: після удару та куля, і відповідна точка стрижня рухатиметься з однаковими швидкостями.

Спочатку куля, ударившись об стрижень, за мізерно малий проміжок часу приводить його в рух з деякою кутовою швидкістю та повідомляє йому деяку кінецьку енергію
де
момент інерції стрижня щодо осі обертання. Потім стрижень повертається деякий кут, причому його центр тяжкості піднімається на деяку висоту
.

У відхиленому положенні стрижень матиме потенційну енергію

Потенційна енергія отримано з допомогою кінетичної енергії та дорівнює їй за законом збереження енергії, тобто.

, звідки

Для визначення кутової швидкості скористаємося законом збереження моменту імпульсу.

У початковий момент удару кутова швидкість стрижня
і тому момент імпульсу стрижня
Куля торкнулася стрижня, маючи лінійну швидкість , і почала заглиблюватися у стрижень, повідомляючи йому кутове прискорення та беручи участь у обертанні стрижня біля осі.

Початковий імпульс кулі
де
відстань точки влучення кулі від осі обертання.

У кінцевий момент удару стрижень мав кутову швидкість , а куля – лінійну швидкість рівну лінійній швидкості точок стрижня, що знаходяться на відстані від осі обертання.