Нехай випадкова величинарозподілена за нормальним законом, для якого дисперсія D невідома. Робиться вибірка обсягу n. З неї визначається виправлена ​​вибіркова дисперсія s2. Випадкова величина

розподілено згідно із законом 2 c n -1 ступенями свободи. За заданою надійністю можна знайти скільки завгодно меж 12 і 22 інтервалів, таких, що

Знайдемо 1 2 та 2 2 з наступних умов:

P(2 1 2) = (1 -)/ 2(**)

P(2 2 2) = (1 -)/ 2(***)

Очевидно, що при виконанні двох останніх умов справедлива рівність (*).

У таблицях для випадкової величини 2 зазвичай дається рішення рівняння

З такої таблиці по заданій величині q і числом ступенів свободи n - 1 можна визначити значення q 2 . Таким чином, відразу знаходиться значення 22 у формулі (***).

Для визначення 1 2 перетворюємо (**):

P (2 1 2) = 1 - (1 -) / 2 = (1 +) / 2

Отримана рівність дозволяє визначити таблицю значення 1 2 .

Тепер, коли знайдено значення 12 і 22, представимо рівність (*) у вигляді

Останню рівність перепишемо в такій формі, щоб були визначені межі довірчого інтервалу для невідомої величини D:

Звідси легко отримати формулу, за якою знаходиться довірчий інтервалдля стандартного відхилення:

Завдання. Вважатимемо, що шум у кабінах гелікоптерів одного і того ж типу при працюючих у певному режимі двигунах - випадкова величина, розподілена за нормальним законом. Було випадково обрано 20 вертольотів, і зроблено виміри рівня шуму (у децибелах) у кожному їх. Виправлена ​​вибіркова дисперсія вимірів дорівнювала 22,5. Знайти довірчий інтервал, що накриває невідоме стандартне відхиленнявеличини шуму в кабінах гелікоптерів даного типуіз надійністю 98%.

Рішення. За кількістю ступенів свободи, що дорівнює 19, і за ймовірністю (1 - 0,98)/2 = 0,01 знаходимо з таблиці розподілу 2 величину 2 2 = 36,2. Аналогічним чином за ймовірності (1 + 0,98)/2 = 0,99 отримуємо 1 2 = 7,63. Використовуючи формулу (****), отримуємо шуканий довірчий інтервал: (3,44; 7,49).

У статистиці існує два види оцінок: точкові та інтервальні. Точкова оцінкає окремою вибірковою статистикою, яка використовується для оцінки параметра генеральної сукупності. Наприклад, вибіркове середнє - це точкова оцінка математичного очікуваннягенеральної сукупності, а вибіркова дисперсія S 2- точкова оцінка дисперсії генеральної сукупності σ 2. було показано, що середнє вибіркове є незміщеною оцінкою математичного очікування генеральної сукупності. Вибіркове середнє називається незміщеним, оскільки середнє значення всіх вибіркових середніх (при тому самому обсязі вибірки n) дорівнює математичному очікуванню генеральної сукупності.

Для того щоб вибіркова дисперсія S 2стала незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності σ 2, знаменник вибіркової дисперсії слід покласти рівним n – 1 , а не n. Інакше висловлюючись, дисперсія генеральної сукупності є середнім значенням різноманітних вибіркових дисперсій.

Оцінюючи параметрів генеральної сукупності слід пам'ятати, що вибіркові статистики, такі як , залежать від конкретних вибірок. Щоб врахувати цей факт, для отримання інтервальної оцінкиматематичного очікування генеральної сукупності аналізують розподіл вибіркових середніх (докладніше див.). Побудований інтервал характеризується певним довірчим рівнем, який є ймовірністю того, що справжній параметр генеральної сукупності оцінений правильно. Аналогічні довірчі інтервали можна застосовувати для оцінки частки ознаки рта основної розподіленої маси генеральної сукупності.

Завантажити нотатку у форматі або , приклади у форматі

Побудова довірчого інтервалу для математичного очікування генеральної сукупності за відомого стандартного відхилення

Побудова довірчого інтервалу для частки ознаки у генеральній сукупності

У розділі поняття довірчого інтервалу поширюється на категорійні дані. Це дозволяє оцінити частку ознаки у генеральній сукупності рза допомогою вибіркової частки рS= Х/n. Як вказувалося, якщо величини nрі n(1 – р)перевищують число 5, біномний розподілможна апроксимувати нормальним. Отже, для оцінки частки ознаки у генеральній сукупності рможна побудувати інтервал, довірчий рівень якого дорівнює (1 – α)х100%.

де pS- вибіркова частка ознаки, рівна Х/n, тобто. кількості успіхів, поділеному на обсяг вибірки, р- частка ознаки у генеральній сукупності, Z - критичне значеннястандартизованого нормального розподілу, n- Обсяг вибірки.

приклад 3.Припустимо, що з інформаційної системи вилучено вибірку, що складається зі 100 накладних, заповнених протягом останнього місяця. Припустимо, що 10 із цих накладних складено з помилками. Таким чином, р= 10/100 = 0,1. Довірчого рівня 95% відповідає критичне значення Z = 1,96.

Таким чином, ймовірність того, що від 4,12% до 15,88% накладних містять помилки, дорівнює 95%.

Для заданого обсягу вибірки довірчий інтервал, що містить частку ознаки в генеральній сукупності, здається ширшим, ніж безперервної випадкової величини. Це тим, що вимірювання безперервної випадкової величини містять більше інформації, ніж вимірювання категорійних даних. Інакше висловлюючись, категорійні дані, які набувають лише два значення, містять недостатньо інформації з метою оцінки параметрів їх розподілу.

Уобчислення оцінок, вилучених із кінцевої генеральної сукупності

Оцінка математичного очікування.Поправочний коефіцієнт кінцевої генеральної сукупності ( fpc) використовувався зменшення стандартної помилки в раз. При обчисленні довірчих інтервалів для оцінок параметрів генеральної сукупності поправний коефіцієнт застосовується у ситуаціях, коли вибірки отримують без повернення. Таким чином, довірчий інтервал для математичного очікування, що має довірчий рівень, рівний (1 – α)х100%, обчислюється за такою формулою:

приклад 4.Щоб проілюструвати застосування поправочного коефіцієнта для кінцевої генеральної сукупності, повернемося до завдання про обчислення довірчого інтервалу для середньої суми накладних, розглянутої вище в прикладі 3. Припустимо, що за місяць у компанії виписуються 5000 накладних, причому X̅= 110,27 дол., S= 28,95 дол., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. За формулою (6) отримуємо:

Оцінка частки ознаки.При виборі без повернення довірчий інтервал для частки ознаки, що має довірчий рівень, рівний (1 – α)х100%, обчислюється за такою формулою:

Довірчі інтервали та етичні проблеми

При вибірковому дослідженні генеральної сукупності та формулюванні статистичних висновків часто виникають етичні проблеми. Основна з них – як узгоджуються довірчі інтервали та точкові оцінки вибіркових статистик. Публікація точкових оцінок без вказівки відповідних довірчих інтервалів (як правило, що мають 95% довірчий рівень) та обсягу вибірки, на основі яких вони отримані, може породити непорозуміння. Це може створити в користувача враження, що точкова оцінка - саме те, що йому необхідно, щоб передбачити властивості всієї генеральної сукупності. Таким чином, необхідно розуміти, що в будь-яких дослідженнях в основу повинні бути поставлені не точкові, а інтервальні оцінки. Крім того, особливу увагуслід приділяти правильному виборуобсягів вибірки

Найчастіше об'єктами статистичних маніпуляцій стають результати соціологічних опитувань населення з тих чи інших політичних проблем. При цьому результати опитування виносять на перші сторінки газет, а помилку вибіркового дослідженнята методологію статистичного аналізудрукують десь у середині. Щоб довести обґрунтованість одержаних точкових оцінок, необхідно вказувати обсяг вибірки, на основі якої вони отримані, межі довірчого інтервалу та його рівень значущості.

Наступна замітка

Використовуються матеріали книги Левін та ін. Статистика менеджерів. - М.: Вільямс, 2004. - с. 448–462

Центральна гранична теоремастверджує, що з досить великому обсязі вибірок вибірковий розподіл середніх можна апроксимувати нормальним розподілом. Це властивість залежить від виду розподілу генеральної сукупності.

Побудова довірчого інтервалу для дисперсії нормально розподіленої генеральної сукупності полягає в тому, що випадкова величина:

має c 2 -розподіл Пірсона c n = n-1 ступенями свободи. Задамо довірчу ймовірність g і визначимо числа та умови

Числа та , які задовольняють цій умові, можна вибрати незліченним числом способів. Один із способів полягає в наступному

і .

Значення чисел визначаються з таблиць для розподілу Пірсона. Після цього утворимо нерівність

В результаті отримуємо наступну інтервальну оцінку дисперсії генеральної сукупності:

. (3.25)

Іноді цей вираз записують у вигляді

, (3.26)

, (3.27)

де для коефіцієнтів складають спеціальні таблиці.

Приклад 3.10.На фабриці працює автоматична лініяза фасуванням розчинної кави в бляшані 100-грамові банки. Якщо середня маса банок, що наповнюються, відрізняється від точної, то лінії налагоджується для припасування середньої масиу робочому режимі. Якщо дисперсія маси перевищує задане значення, лінія повинна бути зупинена на ремонт і переналагодження. Іноді проводиться відбір банок з кавою для перевірки середньої маси та її коливання. Припустимо, що з лінії у випадковому порядку проводиться відбір банок з кавою та оцінка дисперсії s 2 = 18,540. Побудуйте 95% довірчий інтервал для генеральної дисперсії s 2 .

Рішення.Припускаючи, що генеральна сукупність має нормальне розподілення, скористаємося формулою (3.26). За умовою завдання рівень значущості a=0,05 та a/2=0,025. По таблицях для c 2 -розподіл Пірсона з n = n-1 = 29 ступенями свободи знаходимо

і .

Тоді довірчий інтервал для s2 можна записати у вигляді

,

.

Для середньо квадратичного відхилення відповідь матиме вигляд

. â

Перевірка статистичних гіпотез

Основні поняття

Більшість економетричних моделей потребує багаторазового покращення та уточнення. Для цього необхідно проведення відповідних розрахунків, пов'язаних із встановленням здійсненності чи нездійсненності тих чи інших передумов, аналізом якості знайдених оцінок, достовірністю отриманих висновків. Тому знання основних засад перевірки гіпотез є обов'язковим в економетриці.

У багатьох випадках потрібно знати закон розподілу генеральної сукупності. Якщо закон розподілу невідомий, але є підстави припустити, що він має певний вигляд, то висувають гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за цим законом. Наприклад, можна висунути припущення, що дохід населення, щоденна кількість покупців у магазині, розмір деталей, що випускаються, мають нормальний закон розподілу.

Можливий випадок, коли закон розподілу відомий, яке параметри немає. Якщо є підстави припустити, що невідомий параметр q дорівнює очікуваному числу q 0 то висувають гіпотезу: q=q 0 . Наприклад, можна висунути припущення про величину середнього доходу населення, очікуваного середнього доходу по акціях, про розкид у доходах і т.д.

Під статистичною гіпотезою Hрозуміють будь-яке припущення про генеральну сукупність (випадкову величину), що перевіряється за вибіркою. Це то, можливо припущення про вигляді розподілу генеральної сукупності, про рівність двох вибіркових дисперсій, про незалежність вибірок, про однорідність вибірок, тобто. що закон розподілу не змінюється від вибірки до вибірки та інших.

Гіпотеза називається простийякщо вона однозначно визначає будь-який розподіл або який-небудь параметр; в іншому випадку гіпотеза називається складною. Наприклад, простою гіпотезою є припущення, що випадкова величина Xрозподілено за стандартним нормальним законом N(0; 1); якщо ж висловлюється припущення, що випадкова величина Xмає нормальний розподіл N(m;1), де a£ m£ b, Це складна гіпотеза.

Перевірена гіпотеза називається Основнийабо нульовою гіпотезоюі позначається символом H 0 . Поряд з основною гіпотезою розглядають і гіпотезу, що суперечить їй, яку зазвичай називають конкуруючоїабо альтернативною гіпотезоюта позначають символом H 1 . Якщо основну гіпотезу буде відкинуто, має місце альтернативна гіпотеза. Наприклад, якщо перевіряється гіпотеза про рівність параметра q деякому заданому значенню q 0, тобто. H 0:q=q 0 , то альтернативної гіпотези можна розглянути одну з наступних гіпотез: H 1:q>q 0 , H 2:q H 3:q¹q 0 , H 4: q = q 1 . Вибір альтернативної гіпотези визначається конкретним формулюванням завдання.

Висунута гіпотеза може бути правильною чи неправильною, тому виникає необхідність її перевірки. Оскільки перевірка здійснюється статистичними методами, то у зв'язку з цим із певною часткою ймовірності може бути ухвалено неправильне рішення. Тут можуть бути допущені помилки двох видів. Помилка першого роду полягає в тому, що буде відкинуто правильну гіпотезу. Імовірність помилки першого роду позначають буквою a, тобто.

Помилка другого родуполягає в тому, що буде прийнято неправильну гіпотезу. Можливість помилки другого роду позначають буквою b, тобто.

Наслідки вказаних помилок є нерівнозначними. Перша призводить до обережнішого, консервативного рішення, друга – до невиправданого ризику. Що краще чи гірше – залежить від конкретної постановки завдання та змісту нульової гіпотези. Наприклад, якщо H 0 полягає у визнанні продукції підприємства якісною та припущена помилка першого роду, то буде забракована придатна продукція. Припустившись помилки другого роду, ми відправимо споживачеві шлюб. Очевидно, наслідки цієї помилки серйозніші з погляду іміджу фірми та її довгострокових перспектив.

Виключити помилки першого та другого роду неможливо через обмеженість вибірки. Тому прагнуть мінімізувати втрати від цих помилок. Зауважимо, що одночасне зменшення ймовірностей даних помилок неможливе, т.к. Завдання їх зменшення є конкуруючими. І зниження ймовірності допустити одну з них спричиняє збільшення ймовірності допустити іншу. Найчастіше єдиний спосіб зменшення обох ймовірностей полягає у збільшенні обсягу вибірки.

Правило, відповідно до якого приймається або відхиляється основна гіпотеза, називається статистичним критерієм . Для цього підбирається така випадкова величина K, розподіл якої точно або наближено, відомо і яка є мірою розбіжності між дослідними та гіпотетичними значеннями.

Для перевірки гіпотези за даними вибірки обчислюють вибіркове(або спостерігається) значення критерію K набл. Потім, відповідно до розподілу обраного критерію, будується критична область K крит. Це така сукупність значень критерію, у яких нульову гіпотезу відкидають. Решту можливих значень називають областю прийняття гіпотези. Якщо орієнтуватися на критичну область, можна зробити помилку
1-го роду, ймовірність якої задана заздалегідь і дорівнює a називається рівнем значимостігіпотези. Звідси випливає така вимога до критичної області K крит:

.

Рівень значущості a визначає "розмір" критичної області K крит. Проте її становище на багатьох значень критерію залежить від виду альтернативної гіпотези. Наприклад, якщо перевіряється нульова гіпотеза H 0:q=q 0 а альтернативна гіпотеза має вигляд H 1:q>q 0 то критична область складатиметься з інтервалу (K 2 , +¥), де точка K 2 визначається з умови P(K>K 2)=a ( правостороння критична область H 2:q P(K лівостороння критична область). Якщо альтернативна гіпотеза має вигляд H 3:q¹q 0 , то критична область складатиметься з двох інтервалів (–¥;K 1) і (K 2 , +¥), де точки K 1 і K 2 визначаються з умов: P(K>K 2)=a/2 та P(K двостороння критична область).

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез можна сформулювати в такий спосіб. Якщо K наблпотрапляє у критичну область, то гіпотеза H 0 відкидається і приймається гіпотеза H 1 . Однак, вчиняючи таким чином, слід розуміти, що тут можна припуститися помилки 1-го роду з ймовірністю a. Якщо K наблпотрапляє в область прийняття гіпотези - то немає підстав, щоб відкидати нульову гіпотезу H 0 . Але це зовсім не означає, що H 0 є єдино придатною гіпотезою: просто розбіжності між вибірковими даними та гіпотезою H 0 невелика; однак такою ж властивістю можуть мати й інші гіпотези.

Потужністю критеріюназивається ймовірність того, що нульова гіпотеза буде відкинута, якщо вірна альтернативна гіпотеза; тобто. потужність критерію дорівнює 1-b, де b - ймовірність зробити помилку 2-го роду. Нехай для перевірки гіпотези прийнято певний рівень значущості a і вибірка має фіксований обсяг. Оскільки у виборі критичної області є певне свавілля, то її доцільно будувати так, щоб потужність критерію була максимальною або ймовірність помилки 2-го роду була мінімальною.

Критерії, що використовуються для перевірки гіпотез про параметри розподілу, називаються критеріями значимості. Зокрема, побудова критичної галузі аналогічна до побудови довірчого інтервалу. Критерії, що використовуються для перевірки згоди між вибірковим розподілом та гіпотетичним теоретичним розподілом, називаються критеріями згоди.

Довірчий інтервал– граничні значення статистичної величини, яка із заданою довірчою ймовірністю γ буде у цьому інтервалі при вибірці більшого обсягу. Позначається як P(θ - ε. На практиці вибирають довірчу ймовірність γ з досить близьких до одиниці значень γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу визначаються:

• довірчий інтервал для генерального середнього; довірчий інтервал для дисперсії;
• довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення; довірчий інтервал для генеральної частки;

Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад). Нижче наведено відеоінструкцію, як заповнювати вихідні дані.

Приклад №1. У колгоспі із загального стада у 1000 голів овець вибірковій контрольній стрижці зазнали 100 овець. В результаті було встановлено середній настриг вовни 4,2 кг на одну вівцю. Визначити з ймовірністю 0,99 середню квадратичну помилку вибірки щодо середнього настригу вовни однією вівцю і межі, у яких укладена величина настрига, якщо дисперсія дорівнює 2,5 . Вибірка неповторна.
Приклад №2. З партії імпортованої продукції посаді Московської Північної митниці було взято як випадкової повторної вибірки 20 проб продукту «А». В результаті перевірки встановлено середню вологість продукту «А» у вибірці, яка дорівнювала 6 % при середньому квадратичному відхиленні 1 %.
Визначте з ймовірністю 0,683 межі середньої вологості продукту в усій партії імпортованої продукції.
Приклад №3. Опитування 36 студентів показало, що середня кількість підручників, прочитаних ними за навчальний рік, дорівнювала 6. Вважаючи, що кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, має нормальний закон розподілу із середнім квадратичним відхиленням, рівним 6, знайти: А) з надійністю 0 ,99 інтервальну оцінку для математичного очікування цієї випадкової величини; Б) з якою ймовірністю можна стверджувати, що середня кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, обчислена за даною вибіркою, відхилиться від математичного очікування абсолютної величини не більше, ніж на 2.

Класифікація довірчих інтервалів

По виду оцінюваного параметра:

За типом вибірки:

1. Довірчий інтервал для безкінечної вибірки;
2. Довірчий інтервал для кінцевої вибірки;

Вибірка називається повторноюякщо відібраний об'єкт перед вибором наступного повертається в генеральну сукупність. Вибірка називається безповторноюякщо відібраний об'єкт у генеральну сукупність не повертається. Насправді зазвичай мають справу з безповторними вибірками.

Розрахунок середньої помилки вибірки при випадковому відборі

Розбіжність між значеннями показників, отриманих за вибіркою, та відповідними параметрами генеральної сукупності називається помилкою репрезентативності.
Позначення основних параметрів генеральної та вибіркової сукупності.

Формули середньої помилки вибірки
повторний відбір		безповторний відбір
для середньої	для частки	для середньої	для частки

Співвідношення між межею помилки вибірки (Δ), що гарантується з деякою ймовірністю Р(t),та середньою помилкою вибірки має вигляд: або Δ = t·μ, де t- Коефіцієнт довіри, що визначається залежно від рівня ймовірності Р(t) по таблиці інтегральної функції Лапласа.

Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому способі відбору

Щоб знайти межі довірчого інтервалу для середнього значення генеральної сукупності, необхідно виконати такі дії:

1) за отриманою вибіркою обсягу nобчислити середнє арифметичне та стандартну помилку середнього арифметичного за формулою:

;

2) задати довірчу ймовірність 1 - α , Виходячи з мети дослідження;

3) за таблицею t-розподіл Стьюдента (Додаток 4) знайти граничне значення t α залежно від рівня значимості α та числа ступенів свободи k = n – 1;

4) знайти межі довірчого інтервалу за такою формулою:

.

Примітка: У практиці наукових досліджень про, коли закон розподілу малої вибіркової сукупності (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для наближеноюоцінки довірчих інтервалів

Довірчий інтервал при n≥ 30 знаходиться за такою формулою:

,

де u – процентні точки нормованого нормального розподілу, що знаходяться за таблицею 5.1.

8. Порядок роботи на V етапі

1. Перевірити на нормальність розподілу малу (n< 30) выборку, составленную из разностей парных значений результатов измерений исходного показателя скоростных качеств у «спортсменов» (эти результаты обозначены индексом В) и показателя, достигнутого после двухмесячных тренировок (эти результаты обозначены индексом Г).

2. Вибрати критерій та оцінити ефективність методу тренування, який використовується для прискореного розвитку швидкісних якостей у «спортсменів».

Звіт про роботу на V етапі гри (зразок)

Тема:Оцінка ефективності методики тренування.

Цілі:

Ознайомитись з особливостями нормального закону розподілу результатів тестування.

Набути навичок з перевірки вибіркового розподілу на нормальність.

Набути навички оцінки ефективності методики тренування.

Навчитися розраховувати та будувати довірчі інтервали для генеральних середніх арифметичних малих вибірок.

Запитання:

Сутність методу оцінки ефективності методики тренування.

Нормальний закон розподілу. Сутність, значення.

Основні властивості кривої нормального розподілу.

Правило трьох сигм та його практичне застосування.

Оцінка нормальності розподілу малої вибірки.

Які критерії та у яких випадках використовуються для порівняння середніх попарно залежних вибірок?

Що характеризує довірчий інтервал?

Методика визначення.

Примітка: Варіант 1: критерій параметричнийЯк приклад візьмемо наведені в таблиці 5.2 результати вимірювання показника швидкісних якостей у спортсменів до початку тренувань (вони позначені індексом, були отримані в результаті вимірювань наI

етапі ділової гри) та після двох місяців тренувань (вони позначені індексом Г). Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d = N d i – N d УГ

та визначимо квадрати цих різниць. Дані занесемо до розрахункової таблиці 5.2. Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d 2

	N d УТаблиця 5.2 - Розрахунок квадратів парних різниць значень	N d iТаблиця 5.2 - Розрахунок квадратів парних різниць значень	Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d = N d i – N d УТаблиця 5.2 - Розрахунок квадратів парних різниць значень	Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d 2 , уд

, уд 2

Користуючись таблицею 5.2, знайдемо середню арифметичну парну різницю:

уд. Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень dДалі розрахуємо суму квадратів відхилень за формулою:

від Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d :

Визначимо дисперсію для вибірки

уд. 2

Висуваємо гіпотези: Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d- нульову - H 0: про те, що генеральна сукупність парних різниць

– конкуруючу – H 1: у тому, що розподіл генеральної сукупності парних різниць Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень dна відміну від нормального.

Перевірку проводимо лише на рівні значимості  = 0,05.

Для цього складемо розрахункову таблицю 5.3.

Таблиця 5.3 – Дані розрахунку критерію Шапіро та Вілка W наблдля вибірки, складеної з різниці парних значень Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d

	Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень dТаблиця 5.2 - Розрахунок квадратів парних різниць значень		Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень n - k + 1 -d k =  k	a nk	 k ×a nk
			17 – (–2) = 19

Порядок заповнення таблиці 5.3:

У перший стовпець записуємо номери по порядку.

У другій – різниці парних значень Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень dу незменшному порядку.

По-третє – номери по порядку kпарних різниць. Бо в нашому випадку n= 10, то kзмінюється від 1 до n/2 = 5.

4. У четвертий – різниці  k, які знаходимо таким чином:

- З найбільшого значення Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень 10 віднімемо щонайменше Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень 1 k = 1,

- З Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень 9 віднімемо Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень 2 і отримане значення запишемо в рядку для k= 2 і т.д.

У п'ятий – записуємо значення коефіцієнтів a nk, взяті з таблиці, що використовується в статистиці для розрахунку критерію Шапіро та Вілка ( W) перевірки нормальності розподілу (Додаток 2) для n= 10.

У шостій – твір  k × a nkі знаходимо суму цих творів:

.

Спостережуване значення критерію W наблзнаходимо за формулою:

.

Перевіримо правильність виконання розрахунків критерію Шапіро та Вілка ( W набл) його розрахунком на комп'ютері за програмою "Статистика".

Розрахунок критерію Шапіро та Вілка ( W набл) на комп'ютері дозволив встановити, що:

.

Далі по таблиці критичних значень критерію Шапіро та Вілка (Додаток 3) шукаємо W критдля n= 10. Знаходимо, що W крит= 0,842. Порівняємо величини W криті W набл .

Робимо висновок: так як W набл (0,874) > W крит(0,842), має бути прийнята нульова гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d. Отже, для оцінки ефективності методики розвитку швидкісних якостей, що застосовувалася, слід використовувати параметричний t-Критерій Стьюдента.