Дискретний варіаційний ряд будується для дискретних ознак.

Для того, щоб побудувати дискретний варіаційний ряд, потрібно виконати наступні дії: 1) упорядкувати одиниці спостереження за зростанням досліджуваного значення ознаки,

2) визначити всі можливі значення ознаки x i, упорядкувати їх за зростанням,

значенням ознаки, i .

частота значення ознаки і позначають f i . Сума всіх частот ряду дорівнює кількості елементів у сукупності, що вивчається.

Приклад 1 .

Список оцінок, отриманих студентами на іспитах: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

Тут число Х - Оцінкає дискретною випадковою величиноюа отриманий список оцінок -статистичні (спостерігаються) дані .

упорядкувати одиниці спостереження щодо зростання досліджуваного значення ознаки:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) визначити всі можливі значення ознаки x i, упорядкувати їх за зростанням:

У даному прикладівсі оцінки можна поділити на чотири групи з такими значеннями: 2; 3; 4; 5.

Значення випадкової величини, що відповідає окремій групі даних, що спостерігаються, називають значенням ознаки, варіантом (варіантою) і визначають x i .

Число, яке показує, скільки разів зустрічається відповідне значення ознаки в ряді спостережень називають частота значення ознаки і позначають f i .

Для нашого прикладу

оцінка 2 зустрічається - 8 разів,

оцінка 3 зустрічається - 12 разів,

оцінка 4 зустрічається - 23 рази,

оцінка 5 зустрічається – 17 разів.

Усього 60 оцінок.

4) записати отримані дані в таблицю з двох рядків (стовпців) - x i і f i.

З цих даних можна побудувати дискретний варіаційний ряд

Дискретний варіаційний ряд - це таблиця, в якій вказані значення, що вивчається ознаки як окремі значення за зростанням та їх частоти

1. Побудова інтервального варіаційного ряду

Крім дискретного варіаційного рядучасто зустрічається такий спосіб угруповання даних, як інтервальний варіаційний ряд.

Інтервальний ряд будується якщо:

ознака має безперервний характер зміни;

дискретних значень вийшло дуже багато (більше 10)

частоти дискретних значень дуже малі (не перевищують 1-3 за відносно більшої кількості одиниць спостереження);

багато дискретних значень ознаки з однаковими частотами.

Інтервальний варіаційний ряд – це спосіб угруповання даних як таблиці, що має дві графи (значення ознаки як інтервалу значень і частота кожного інтервалу).

На відміну від дискретного ряду значення ознаки інтервального ряду представлені окремими значеннями, а інтервалом значень («від - до»).

Число, яке показує, скільки одиниць спостереження потрапило до кожного виділеного інтервалу, називається частота значення ознаки і позначають f i . Сума всіх частот ряду дорівнює кількості елементів (одиниць спостереження) в сукупності, що вивчається.

Якщо одиниця має значення ознаки, що дорівнює величині верхньої межі інтервалу, то її слід відносити до наступного інтервалу.

Наприклад, дитина зі зростанням 100 см потрапить у другий інтервал, а не в перший; а дитина зі зростом 130 см потрапить в останній інтервал, а не в третій.

З цих даних можна побудувати інтервальний варіаційний ряд.

У кожного інтервалу є нижня межа (х н), верхня межа (х в) та ширина інтервалу ( i).

Кордон інтервалу – це значення ознаки, що лежить межі двох інтервалів.

зростання дітей (см)	зростання дітей (см)			кількість дітей
більше 130

Якщо інтервал має верхню і нижню межу, він називається закритий інтервал. Якщо інтервал має лише нижню або тільки верхню межу, то це – відкритий інтервал.Відкритим може бути тільки перший або останній інтервал. У наведеному прикладі останній інтервал – відкритий.

Ширина інтервалу (i) - Різниця між верхнім і нижнім кордоном.

i = х н - х в

Ширина відкритого інтервалу приймається такою самою, як ширина сусіднього закритого інтервалу.

зростання дітей (см)		кількість дітей	Ширина інтервалу (i)
	для розрахунків 130 +20 = 150		20 (бо ширина сусіднього закритого інтервалу – 20)

Усі інтервальні ряди поділяються на інтервальні ряди з рівними інтервалами та інтервальні ряди з нерівними інтервалами . У інтервальних рядах із рівними інтервалами ширина всіх інтервалів однакова. У інтервальних рядах із нерівними інтервалами ширина інтервалів різна.

У прикладі - інтервальний ряд з нерівними інтервалами.

У багатьох випадках, кота статистична сукупність включає велику або тим більше нескінченну кількість варіантів, що найчастіше зустрічається при безперервній варіації, практично неможливо і недоцільно формувати групу одиниць для кожної варіанти. У разі об'єднання статистичних одиниць групи можливо лише з урахуванням інтервалу, тобто. такої групи, яка має певні межі значень ознаки, що варіює. Ці межі позначаються двома числами, що вказують верхню та нижню межі кожної групи. Застосування інтервалів призводить до формування ряду інтервального розподілу.

Інтервальний рад- це варіаційний ряд, варіанти якого представлені як інтервалів.

Інтервальний ряд може формуватися з рівними і нерівними інтервалами, причому вибір принципу побудови цього ряду залежить головним чином від ступеня представницькості і зручності статистичної сукупності. Якщо сукупність досить велика (представницька) за кількістю одиниць і цілком однорідна за складом, то основою формування інтервального ряду доцільно покласти рівності інтервалів. Зазвичай з цього принципу утворюють інтервальний ряд за тими сукупностями, де розмах варіації порівняно невеликий, тобто. максимальна та мінімальна варіанти різняться між собою зазвичай у кілька разів. При цьому величина рівних інтервалів розраховується ставленням розмаху варіації ознаки до заданого числа інтервалів, що утворюються. Для визначення рівного іінтервалу може бути використана формула Стерджесса (зазвичай при невеликій варіації інтервальних ознак і великому числі одиниць у статистичній сукупності):

де х i - величина рівного інтервалу; X max, X min - максимальна та мінімальна варіанти в статистичній сукупності; n . - Число одиниць в сукупності.

приклад. Доцільно розрахувати розмір рівного інтервалу за щільністю радіоактивного забруднення цезієм – 137 у 100 населених пунктах Краснопільського району Могилівської області, якщо відомо, що початкова (мінімальна) варіанта дорівнює I км/км 2 , кінцева (максимальна) - 65 ки/км 2 . Скориставшись формулою 5.1. отримаємо:

Отже, щоб сформувати інтервальний ряд із рівними інтервалами за щільністю забруднення цезієм – 137 населених пунктів Краснопільського району, розмір рівного інтервалу може становити 8 ки/км 2 .

У разі нерівномірного розподілу тобто. коли максимальна та мінімальна варіанти сотні разів, при формуванні інтервального ряду можна застосувати принцип нерівнихінтервалів. Нерівні інтервали зазвичай збільшуються в міру переходу до великим значеннямознаки.

За формою інтервали можуть бути закритими та відкритими. Закритимиприйнято називати інтервали, у яких позначені як нижня, і верхня межі. Відкритіінтервали мають лише одну межу: у першому інтервалі – верхня, в останньому – нижня межа.

Оцінку інтервальних рядів, особливо з нерівним інтервалами, доцільно проводити з урахуванням щільності розподілу, Найпростішим способом розрахунку якого є відношення локальної частоти (або частоти) до розміру інтервалу.

Для практичного формування інтервального ряду можна скористатися макетом табл. 5.3.

Таблиця 5.3. Порядок формування інтервального ряду населених пунктівКраснопільського району за щільністю радіоактивного забруднення цезієм -137

Основна перевага інтервального ряду – його гранична компактність.водночас в інтервальному ряді розподілу індивідуальні варіантиознаки приховані у відповідних інтервалах

При графічному зображенні інтервального ряду у системі прямокутних координатна осі абсцис відкладають верхні межі інтервалів, на осординат – локальні частоти ряду. Графічна побудова інтервального ряду відрізняється від побудови полігону розподілу тим, що кожен інтервал має нижню та верхню межі, а одному якомусь значенню ординати відповідають дві абсциси. Тому на графіку інтервального ряду відзначається не точка, як у полігоні, а лінія, що з'єднує дві точки. Ці горизонтальні лінії з'єднуються одна з одною вертикальними лініями і виходить постать ступінчастого багатокутника, який прийнято називати гістограмоюрозподілу (рис.5.3).

При графічній побудові інтервального ряду за досить великою статистичною сукупністю гістограма наближається до симетричноюформі розподілу. У тих випадках, де статистична сукупність невелика, зазвичай, формується асиметричнагістограма.

У деяких випадках є доцільність у формуванні низки накопичених частот, тобто. кумулятивногоряду. Кумулятивний ряд можна утворити з урахуванням дискретного чи інтервального низки розподілу. При графічному зображенні кумулятивного ряду системі прямокутних координат на осі абсцис відкладають варіанти, на осі ординат - накопичені частоти (частини). Отриману при цьому криву лінію прийнято називати кумулятоїрозподілу (рис.5.4).

Формування та графічне зображення різних видівваріаційних рядів сприяє спрощеному розрахунку основних статистичних характеристик, які докладно розглядаються у темі 6, допомагає краще зрозуміти сутність законів розподілу статистичної сукупності. Аналіз варіаційного ряду набуває особливого значення в тих випадках, коли необхідно виявити та простежити залежність між варіантами та частотами (частинами). Ця залежність проявляється в тому, що число випадків, що припадають на кожну версію, певним чином пов'язане з величиною цієї варіації, тобто. зі зростанням значень варіює ознаки частоти (частини) цих значень зазнають певних, систематичних змін. Це означає, що числа в стовпці частот (частин) схильні не до хаотичних коливань, а змінюються в певному напрямку, в певному порядку і послідовності.

Якщо частоти у своїх змінах виявляють певну систематичність, це означає, що ми знаходимося на шляху до виявлення закономірності. Система, порядок, послідовність у зміні частот - це відображення загальних причин, загальних умов, характерних для всієї сукупності.

Не слід вважати, що закономірність розподілу завжди дається у готовому вигляді. Зустрічається чимало варіаційних рядів, у яких частоти химерно скачуть, то зростаючи, то зменшуючись. У таких випадках доцільно з'ясувати, з яким розподілом має справу дослідник: чи цьому розподілу зовсім не притаманні закономірності, то його характер ще не виявлено: Перший випадок зустрічається рідко, другий же, другий випадок - явище досить часто і досить поширене.

Так, при формуванні інтервального ряду загальне числостатистичних одиниць може бути невеликим, і в кожен інтервал потрапляє невелика кількість варіантів (наприклад, 1-3 одиниці). У таких випадках розраховувати на прояв якоїсь закономірності не доводиться. Щоб на основі випадкових спостережень вийшов закономірний результат, необхідно набрання чинності закону великих чисел, тобто. щоб на кожен інтервал припадало б не кілька, а десятки та сотні статистичних одиниць. З цією метою треба намагатися, наскільки можна збільшувати кількість спостережень. Це самий вірний спосібвиявлення закономірності у масових процесах. Якщо ж не видається реальна можливість збільшити кількість спостережень, то виявлення закономірності може бути досягнуто зменшенням кількості інтервалів у ряді розподілу. Зменшуючи кількість інтервалів у варіаційному ряду, цим збільшується чисельність частот у кожному інтервалі. Це означає, що випадкові коливання кожної статистичної одиниці накладаються один на одного, "згладжується", перетворюючись на закономірність.

Формування та побудова варіаційних рядів дозволяє отримати лише загальну, наближену картину розподілу статистичної сукупності. Наприклад, гістограма лише в грубій формі виражає залежність між значеннями ознаки та її частотами (частинами). Тому варіаційні ряди по суті є лише основою для подальшого, поглибленого вивчення внутрішньої закономірності статичного розподілу.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДО ТЕМИ 5

1. Що таке варіація? Чим викликається варіація ознаки у статистичній сукупності?

2. Які види ознак можуть мати місце в статистиці?

3. Що таке варіаційний ряд? Які можуть бути види варіаційних рядів?

4. Що таке ранжированный ряд? Які його переваги та недоліки?

5. Що таке дискретний ряд і які його переваги та недоліки?

6. Який порядок формування інтервального ряду, які його переваги та недоліки?

7. Що таке графічне зображення ранжованого, дискретного, інтервального рядів розподілу?

8. Що таке кумуляти розподілу та що вона характеризує?

Подаються у вигляді рядів розподілу та оформляються у вигляді.

Ряд розподілу одна із видів угруповань.

Ряд розподілу— є впорядкованим розподілом одиниць досліджуваної сукупності на групи за певною ознакою, що варіює.

Залежно від ознаки, покладеної в основу освіти, ряду розподілу розрізняють атрибутивні та варіаційніряди розподілу:

• Атрибутивними- Називають ряди розподілу, побудовані за якісними ознаками.
• Ряди розподілу, побудовані в порядку зростання або зменшення значень кількісної ознаки називаються варіаційними.

Варіаційний ряд розподілу складається із двох стовпців:

У першому стовпці наводяться кількісні значення ознаки, що називаються, які називаються варіантамиі позначаються. Дискретна варіанта - виражається цілим числом. Інтервальний варіант знаходиться в межах від і до. Залежно від типу варіанти, можна побудувати дискретний або інтервальний варіаційний ряд.
У другому стовпці міститься кількість конкретних варіант, Виражене через частоти або частоти:

Частоти- це абсолютні числа, що показують стільки разів у сукупності зустрічається дане значенняознаки, що позначають . Сума всіх частот дорівнює повинна дорівнювати чисельності одиниць всієї сукупності.

Частини() - Це частоти виражені у відсотках до підсумку. Сума всіх частостей виражених у відсотках повинна дорівнювати 100% у частках одиниці.

Графічне зображення рядів розподілу

Наочно ряди розподілу надаються за допомогою графічних зображень.

Ряди розподілу зображуються у вигляді:

• Багатокутник
• Гістограми
• Кумуляти
• Огіви

Полігон

При побудові полігону на горизонтальній осі (вісь абсцис) відкладають значення ознаки, що варіює, а на вертикальній осі (вісь ординат) — частоти або частоти.

Полігон на рис. 6.1 побудований за даними мікроперепису населення Росії у 1994 р.

6.1. Розподіл домогосподарств за розміром

Умова: Наводяться дані про розподіл 25 працівників одного з підприємств за тарифними розрядами:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Завдання: Побудувати дискретний варіаційний ряд та зобразити його графічно у вигляді полігону розподілу
Рішення:
У цьому прикладі варіантами є тарифний розряд працівника. Для визначення частот необхідно розрахувати кількість працівників, які мають відповідний тарифний розряд.

Полігон використовують для дискретних варіаційних рядів.

Для побудови полігону розподілу (рис 1) по осі абсцис (X) відкладаємо кількісні значення ознаки, що варіює, - варіанти, а по осі ординат - частоти або частоти.

Якщо значення ознаки виражені як інтервалів, такий ряд називається інтервальним.
Інтервальні рядирозподіли зображують графічно у вигляді гістограми, кумуляти або огива.

Статистична таблиця

Умова: Наведено дані про розміри вкладів 20 фізичних осібв одному банку (тис.руб) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Завдання: Побудувати інтервальний варіаційний ряд із рівними інтервалами.
Рішення:

1. Вихідна сукупність складається з 20 одиниць (N = 20).
2. За формулою Стерджеса визначимо необхідна кількістьвикористовуваних груп: n=1+3,322*lg20=5
3. Обчислимо величину рівного інтервалу: i = (152 - 2) / 5 = 30 тис.руб
4. Розчленувати вихідну сукупність на 5 груп з величиною інтервалу в 30 тис.руб.
5. Результати угруповання подаємо у таблиці:

При такому записі безперервної ознаки, коли та сама величина зустрічається двічі (як верхня межа одного інтервалу і нижня межа іншого інтервалу), то ця величина відноситься до тієї групи, де ця величина виступає в ролі верхньої межі.

Гістограма

Для побудови гістограми по осі абсцис вказують значення меж інтервалів і на їх підставі будують прямокутники, висота яких пропорційна до частот (або частот).

На рис. 6.2. зображено гістограму розподілу населення Росії у 1997 р. за віковими групами.

Мал. 6.2. Розподіл населення Росії за віковими групами

Умова: Наводиться розподіл 30 працівників фірми за розміром місячної заробітної плати

Завдання: Зобразити інтервальний варіаційний ряд графічно у вигляді гістограми та кумуляти.
Рішення:

1. Невідома межа відкритого (першого) інтервалу визначається за величиною другого інтервалу: 7000 - 5000 = 2000 руб. З тією ж величиною знаходимо нижню межу першого інтервалу: 5000 - 2000 = 3000 руб.
2. Для побудови гістограми прямокутної системі координат по осі абсцис відкладаємо відрізки, величини яких відповідають інтервалам варицонного ряду.
   Ці відрізки служать нижньою основою, а відповідна частота (частина) - висотою прямокутників, що утворюються.
3. Побудуємо гістограму:

Для побудови кумуляти необхідно розрахувати накопичені частоти (частини). Вони визначаються шляхом послідовного підсумовування частот (частин) попередніх інтервалів і позначаються S. Накопичені частоти показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше, ніж аналізоване.

Кумулята

Розподіл ознаки у варіаційному ряду за накопиченими частотами (частинами) зображується за допомогою кумуляти.

Кумулятаабо кумулятивна крива, на відміну від полігону, будується за накопиченими частотами або частотами. У цьому на осі абсцис поміщають значення ознаки, але в осі ординат — накопичені частоти чи частоти (рис. 6.3).

Мал. 6.3. Кумулята розподілу домогосподарств за розміром

4. Розрахуємо накопичені частоти:
Наколінна частота першого інтервалу розраховується так: 0 + 4 = 4, для другого: 4 + 12 = 16; для третього: 4+12+8=24 і т.д.

При побудові кумуляти накопичена частота (частина) відповідного інтервалу присвоюється його верхній межі:

Огіва

Огівабудується аналогічно кумуляті з тією різницею, що накопичені частоти поміщають на осі абсцис, а значення ознаки - на осі ординат.

Різновидом кумуляти є крива концентрації чи графік Лоренца. Для побудови кривої концентрації на обидві осі прямокутної системи координат наноситься масштабна шкала у відсотках від 0 до 100. При цьому осі абсцис вказують накопичені частоти, а на осі ординат - накопичені значення частки (у відсотках) за обсягом ознаки.

Рівномірному розподілу ознаки відповідає графік діагональ квадрата (рис. 6.4). При нерівномірному розподілі графік є увігнутою кривою залежно від рівня концентрації ознаки.

6.4. Крива концентрації

Вищого професійної освіти

«РОСІЙСЬКА АКАДЕМІЯ НАРОДНОГО ГОСПОДАРСТВА І

ДЕРЖАВНОЇ СЛУЖБИ ПРИ ПРЕЗИДЕНТІ

РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ"

(Калузька філія)

Кафедра природничих та математичних дисциплін

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

З дисципліни «Статистика»

Студент___Майборода Галина Юріївна______

Заочного відділення факультет Державне та муніципальне управліннягрупа Г-12-В

Викладач ____________________ Хамер Г.В.

К.п.н., доцент

Калуга-2013 р.

Завдання 1.

Завдання 1.1. 4

Завдання 1.2. 16

Завдання 1.3. 24

Завдання 1.4. 33

Завдання 2.

Завдання 2.1. 43

Завдання 2.2. 48

Завдання 2.3. 53

Завдання 2.4. 58

Завдання 3.

Завдання 3.1. 63

Завдання 3.2. 68

Завдання 3.3. 73

Завдання 3.4. 79

Завдання 4.

Завдання 4.1. 85

Завдання 4.2. 88

Завдання 4.3. 90

Завдання 4.4. 93

Список використаних джерел. 96

Завдання 1.

Завдання 1.1.

Є такі дані про випуск продукції та суму прибутку підприємствами області (таблиця 1).

Таблиця 1

Дані про випуск продукції та суму прибутку підприємствами

№ підприємства	Випуск продукції, млн. руб.	Прибуток, млн. руб.	№ підприємства	Випуск продукції, млн. руб.	Прибуток, млн. руб.
	63,0	6,7		56,0	7,2
	48,0	6,2		81,0	9,6
	39,0	6,5		55,0	6,3
	28,0	3,0		76,0	9,1
	72,0	8,2		54,0	6,0
	61,0	7,6		53,0	6,4
	47,0	5,9		68,0	8,5
	37,0	4,2		52,0	6,5
	25,0	2,8		44,0	5,0
	60,0	7,9		51,0	6,4
	46,0	5,5		50,0	5,8
	34,0	3,8		65,0	6,7
	21,0	2,1		49,0	6,1
	58,0	8,0		42,0	4,8
	45,0	5,7		32,0	4,6

За вихідними даними:

1. Побудуйте статистичний рядрозподілу підприємств із випуску продукції, утворивши п'ять груп із рівними інтервалами.

Побудуйте графіки низки розподілів: полігон, гістограму, кумуляту. Графічно визначте значення моди та медіани.

2. Розрахуйте характеристики низки розподілу підприємств із випуску продукції: середню арифметичну, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Зробіть висновок.

3. Методом аналітичного угруповання встановіть наявність та характер кореляційного зв'язку між вартістю виробленої продукції та сумою прибутку на одне підприємство.

4. Виміряйте тісноту кореляційного зв'язку між вартістю виробленої продукції та сумою прибутку емпіричним кореляційним ставленням.

Зробіть загальні висновки.

Рішення:

Побудуємо статистичний ряд розподілу

Для побудови інтервального варіаційного ряду, що характеризує розподіл підприємств за обсягом випуску продукції, необхідно обчислити величину та межі інтервалів ряду.

При побудові ряду з рівними інтервалами величина інтервалу hвизначається за формулою:

х maxі х min– найбільше та найменше значенняознаки у досліджуваній сукупності підприємств;

k- кількість груп інтервальних рядів.

Число груп kпоставлено за умови завдання. k= 5.

х max= 81 млн. руб., х min= 21 млн. руб.

Розрахунок величини інтервалу:

млн. руб.

Шляхом послідовного збільшення величини інтервалу h = 12 млн. руб. до нижньої межі інтервалу, отримуємо такі групи:

1 група: 21 - 33 млн. руб.

2 група: 33 - 45 млн. руб.;

3 група: 45 - 57 млн. руб.

4 група: 57 - 69 млн. руб.

5 група: 69 - 81 млн. руб.

Для побудови інтервального ряду необхідно підрахувати кількість підприємств, що входять до кожної групи ( частоти груп).

p align="justify"> Процес угруповання підприємств за обсягом випуску продукції представлений у допоміжній таблиці 2. Графа 4 цієї таблиці необхідна для побудови аналітичного угруповання (пункт 3 завдання).

Таблиця 2

Таблиця для побудови інтервального ряду розподілу та

аналітичного угруповання

Групи підприємств за обсягом випуску продукції, млн. руб.	№ підприємства	Випуск продукції, млн. руб.	Прибуток, млн. руб.
21-33		21,0	2,1
	25,0	2,8
	28,0	3,0
	32,0	4,6
Усього		106,0	12,5
33-45		34,0	3,8
	37,0	4,2
	39,0	6,5
	42,0	4,8
	44,0	5,0
Усього		196,0	24,3
45-57		45,0	5,7
	46,0	5,5
	47,0	5,9
	48,0	6,2
	49,0	6,1
	50,0	5,8
	51,0	6,4
	52,0	6,5
	53,0	6,4
	54,0	6,0
	55,0	6,3
	56,0	7,2
Усього		606,0	74,0
57-69		58,0	8,0
	60,0	7,9
	61,0	7,6
	63,0	6,7
	65,0	6,7
	68,0	8,5
Усього		375,0	45,4
69-81		72,0	8,2
	76,0	9,1
	81,0	9,6
Усього		229,0	26,9
Разом			183,1

За підсумками групових підсумкових рядків «Усього» таблиці 3 формується підсумкова таблиця 3, що представляє інтервальний ряд розподілу підприємств за обсягом випуску продукції.

Таблиця 3

Ряд розподілу підприємств за обсягом випуску продукції

Висновок.Побудована угруповання показує, що розподіл підприємств за обсягом випуску продукції не є рівномірним. Найчастіше зустрічаються підприємстві з обсягом випуску продукції від 45 до 57 млн. руб. (12 підприємств). Найменш часто зустрічаються підприємств із обсягом випуску продукції від 69 до 81 млн. руб. (3 підприємства).

Побудуємо графіки низки розподілів.

Полігон частіше використовують для зображення дискретних рядів. Для побудови полігону в прямокутній системі координат на осі абсцис відкладають значення аргументу, тобто варіанти (для інтервальних варіаційних рядів як аргумент приймають середину інтервалу) а на осі ординат - значення частот. Далі в системі координат будують точки, координатами яких є пари відповідних чисел з варіаційного ряду. Отримані точки послідовно з'єднують відрізками прямої. Полігон представлений малюнку 1.

Гістограма - Стовпчикова діаграма. Вона дозволяє оцінити симетричність розподілу. Гістограма представлена ​​малюнку 2.

Малюнок 1 – Полігон розподілу підприємств за обсягом

випуску продукції

Мода

Рисунок 2 – Гістограма розподілу підприємств за обсягом

випуску продукції

Мода- Значення ознаки, яке зустрічається найчастіше в досліджуваній сукупності.

Для інтервального ряду графічно моду можна визначити за гістограмою (рисунок 2). І тому вибирається найвищий прямокутник, який у разі є модальним (45 – 57 млн. крб.). Потім праву вершину модального прямокутника з'єднують з верхнім правим кутом попереднього прямокутника. А ліву вершину модального прямокутника – з верхнім лівим кутом наступного прямокутника. Далі з точки їхнього перетину опускають перпендикуляр на вісь абсцис. Абсцис точки перетину цих прямих і буде модою розподілу.

Млн. руб.

Висновок.У аналізованої сукупності підприємств найчастіше зустрічаються підприємства із випуском продукції 52 млн. крб.

Кумулята – ламана крива. Вона будується за накопиченими частотами (розраховані у таблиці 4). Кумулята починається з нижньої межі першого інтервалу (21 млн. руб.), Накопичена частота відкладається у верхній межі інтервалу. Кумулята представлено малюнку 3.

Медіана

Малюнок 3 - Кумуляти розподілу підприємств за обсягом

випуску продукції

Медіана Ме- Це значення ознаки, що припадає на середину ранжованого ряду. По обидва боки від медіани є однакова кількість одиниць сукупності.

В інтервальному ряді медіану можна визначити графічним методомза кумулятивною кривою. Для визначення медіани з точки на шкалі накопичених частот, що відповідає 50% (30:2 = 15), проводиться пряма, паралельна осі абсцис до перетину з кумулятою. Потім із точки перетину зазначеної прямої з кумулятою опускається перпендикуляр на вісь абсцис. Абсцис точки перетину є медіаною.

Млн. руб.

Висновок.У аналізованої сукупності підприємств половина підприємств мають обсяг випуску продукції трохи більше 52 млн. крб., іншу половина – щонайменше 52 млн. крб.

Подібна інформація.

Умова:

Є дані про віковий склад робітників (років): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

1. 1. Побудувати інтервальний ряд розподілу.
   2. Побудувати графічне зображення ряду.
   3. Графічно визначити моду та медіану.

Рішення:

1) За формулою Стерджеса сукупність треба розділити на 1+3,322 lg 30 = 6 груп.

Максимальний вік – 38, мінімальний – 18.

Ширина інтервалу Оскільки кінці інтервалів мають бути цілими числами, розділимо сукупність на 5 груп. Ширина інтервалу – 4.

Для полегшення підрахунків розташуємо дані у порядку зростання: 18, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 29, 3 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 38, 38.

Розподіл вікового складу робітників

Графічно ряд можна зобразити як гістограми чи полігону. Гістограма – стовпчикова діаграма. Основа стовпчика – ширина інтервалу. Висота стовпчика дорівнює частоті.

Полігон (або багатокутник розподілу) – графік частот. Щоб побудувати його по гістограмі, з'єднуємо середини верхніх сторін прямокутників. Багатокутник замикаємо на осі Ох на відстанях, рівних половиніінтервалу від крайніх значень x.

Мода (Мо) - це величина досліджуваного ознаки, що у цій сукупності зустрічається найчастіше.

Щоб визначити моду по гістограмі, треба вибрати найвищий прямокутник, провести лінію від правої вершини прямокутника до правого верхнього кута попереднього прямокутника, і від лівої вершини модального прямокутника провести лінію до лівої вершини наступного прямокутника. Від точки перетину цих ліній провести перпендикуляр до осі х. Абсцис і буде модою. Мо ≈ 27,5. Отже, найчастіше зустрічається вік у цій сукупності 27-28 років.

Медіана (Mе) - це величина ознаки, що вивчається, яка знаходиться в середині впорядкованого варіаційного ряду.

Медіану знаходимо по кумуляті. Кумулята – графік накопичених частот. Абсциси – варіанти ряду. Ординати – накопичені частоти.

Для визначення медіани по кумуляті знаходимо по осі ординат точку, що відповідає 50% накопичених частот (у нашому випадку 15), проводимо через неї пряму, паралельно осі Ох, і від точки її перетину з кумулятою проводимо перпендикуляр до осі х. Абсцис є медіаною. Ме ≈ 25,9. Це означає, що половина робітників у цій сукупності має вік менше 26 років.