Сторінка 2

Графічно закон розподілу дискретної величинизадається як так званого багатокутника розподілу.  

Графічне зображення ряду розподілу (див. рис. 5) називається багатокутником розподілу.  

Для характеристики закону розподілу перервної випадкової величиничасто застосовують ряд (таблицю) та багатокутник розподілу.  

Для його зображення в прямокутної системикоординат будують точки (Pi) (x - i Pa) і з'єднують їх відрізками прямих. p align="justify"> Багатокутник розподілу дає наближене наочне уявлення про характер розподілу випадкової величини.  

Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, навіщо у прямокутної системі координат будують точки (х /, р, та був з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.  

M (xn; pn) (лс - можливі значення Xt pi - відповідні ймовірності) і з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.  

Розглянемо розподіл ймовірностей суми очок на гральних кістках. На рисунках нижче наведено багатокутники розподілу для випадку однієї, двох та трьох кісток.  

У цьому випадку замість багатокутника розподілу випадкової велични будується функція щільності розподілу, яка отримала назву диференціальної функції розподілу і є диференціальним законом розподілу. Теоретично ймовірностей під щільністю розподілу випадкової величини х (х Хг) розуміють межу відношення ймовірності попадання величини х в інтервал (х, х - - Ах) до Ах, коли Ал; прагне нуля. Крім диференціальної функції для характеристики розподілу випадкової величини застосовується інтегральна функція розподілу, яку часто називають просто функцією розподілу або інтегральним закономрозподілу.  

При такій побудові відносні частоти потрапляння в інтервали дорівнюватимуть площам відповідних стовпчиків гістограми, подібно до того, як імовірності дорівнюють площам відповідних. криволінійних трапеційЯкщо передбачуване теоретичне розподіл добре узгоджується з досвідом, то при досить великому і вдалому виборі інтервалів (YJ-I, у. Іноді ще для наочності порівняння будують багатокутник розподілу, з'єднуючи послідовно середини верхніх основ стовпчиків гістограми.  

Надаючи т різні значеннявід 0 до я отримують ймовірності PQ, Р РЧ - Рп, які наносяться на графік. Дано р; я11, побудувати багатокутник розподілу ймовірностей.  

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають будь-яку відповідність між можливими її значеннями та їх ймовірностями. Закон можна поставити таблично (ряд розподілу), графічно (багатокутник розподілу та ін.) та аналітично.  

Знаходження кривої розподілу, іншими словами, встановлення розподілу самої випадкової величини, дає можливість глибше досліджувати явище, далеко не повно виражається даним конкретним рядом розподілу. Представивши на кресленні як знайдену криву розподілу, що вирівнює, так і багатокутник розподілу, побудований на основі часткової сукупності, дослідник може ясно бачити характерні особливості, притаманні досліджуваному явищу. Завдяки цьому статистичний аналіззатримує увагу дослідника на відхиленнях спостережених даних від деякої закономірної зміни явища, і перед дослідником постає завдання – з'ясувати причини цих відхилень.  

Потім із середини інтервалів проводяться абсциси (у масштабі), що відповідають числу місяців з витратою в даному інтервалі. Кінці цих абсцис з'єднуються і, таким чином, виходить полігон або багатокутник розподілу.  

Точки, що дають графічне подання закону розподілу дискретної випадкової величини координатної площинизначення величини - ймовірність значень, що зазвичай з'єднують відрізками прямих і називають виходить при цьому геометричну фігурубагатокутником розподілу. На рис. 3 у таблиці 46 (а також на малюнках 4 і 5) зображені багатокутники розподілів.  

Досвідом називається всяке здійснення певних умов і дій за яких спостерігається випадкове явище, що вивчається. Досліди можна характеризувати якісно та кількісно. Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, причому заздалегідь не відомо яке саме.

Випадкові величини прийнято позначати (X, Y, Z), а відповідні значення (x, y, z)

Дискретними називаються випадкові величини, що приймають окремі ізольовані один від одного значення, які можна переоцінити. Безперервними величиниможливі значення яких постійно заповнюють певний діапазон. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і ймовірності, що їм відповідають. Ряд та багатокутник розподілу. Найпростішою формоюЗакону розподілу дискретної величини є низка розподілу. Графічною інтерпретацією низки розподілів є багатокутник розподілу.

Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:

Ще на тему 13.Дискретна випадкова величина. Багатокутник розподілу. Операції з випадковими величинами, приклад.

1. 13. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу. Багатокутник розподілу. Операції із випадковими величинами. приклад.
2. Поняття «випадкова величина» та її опис. Дискретна випадкова величина та її закон (ряд) розподілу. Незалежні випадкові величини. приклади.
3. 14. Випадкові величини, їхні види. Закон розподілу імовірності дискретної випадкової величини (ДСВ). Способи будівлі випадкових величин (СВ).
4. 16. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Числові характеристики дискретної випадкової величини: математичне очікування, дисперсія та середнє відхилення.
5. Математичні операції над дискретними випадковими величинами та приклади побудови законів розподілу для КХ,Х"1, X + К, XV за заданими розподілами незалежних випадкових величин X і У.
6. Концепція випадкової величини. Закон розподілу дискретної случ. величини. Математичні операції над випадком. величинами.

Завдання 14.У грошовій лотереї розігрується 1 виграш у 1000000 руб., 10 виграшів по 100000 руб. та 100 виграшів по 1000 руб. при загальному числіквитків 10000. Знайти закон розподілу випадкового виграшу Хдля власника одного лотерейного білета.

Рішення. Можливі значення для Х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Імовірності їх відповідно дорівнюють: р 2 = 0,01; р 3 = 0,001; р 4 = 0,0001; р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Отже, закон розподілу виграшу Хможе бути заданий наступною таблицею:

Побудувати багатокутник розподілу.

Рішення. Побудуємо прямокутну систему координат, причому по осі абсцис відкладатимемо можливі значення х i ,а по осі ординат – відповідні ймовірності р i. Побудуємо точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) та М 4 (8; 0,3). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримаємо багатокутник розподілу, що шукається.

§2. Числові характеристики випадкових величин

Випадкова величина повністю характеризується своїм законом розподілу. Середній опис випадкової величини можна отримати при використанні її числових характеристик

2.1. Математичне очікування. Дисперсія.

Нехай випадкова величина може набувати значень з ймовірностями відповідно.

Визначення. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значень на відповідні ймовірності:

.

Властивості математичного очікування.

Розсіяння випадкової величини близько середнього значення характеризують дисперсія та середньо квадратичне відхилення.

Дисперсією випадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Для обчислень використовується наступна формула

Властивості дисперсії.

2. де взаємно незалежні випадкові величини.

3. Середньоквадратичне відхилення .

Завдання 16.Знайти математичне очікування випадкової величини Z = X+ 2Yякщо відомі математичні очікування випадкових величин Xі Y: М(Х) = 5, М(Y) = 3.

Рішення. Використовуємо властивості математичного очікування. Тоді отримуємо:

М(Х+ 2Y)= М(Х) + М(2Y) = М(Х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Завдання 17.Дисперсія випадкової величини Хдорівнює 3. Знайти дисперсію випадкових величин: а) -3 Х;б) 4 Х + 3.

Рішення. Застосуємо властивості 3, 4 та 2 дисперсії. Маємо:

а) D(–3Х) = (–3) 2 D(Х) = 9D(Х) = 9 . 3 = 27;

б) D(4Х+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16D(Х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Завдання 18.Дана незалежна випадкова величина Y- Число очок, що випали при киданні гральної кістки. Знайти закон розподілу, математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Y.

Рішення.Таблиця розподілу випадкової величини Yмає вигляд:

Тоді М(Y) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 · 1/6 + (2 – 3,5) 2 · /6 + (3 – 3,5) 2 · 1/6 + (4 – 3,5) 2 · / 6 + (5 - -3,5) 2 · 1/6 + (6 - 3,5) 2. · 1 / 6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Випадкові величини: дискретні та безперервні.

Під час проведення стохастичного експерименту формується простір елементарних подій – можливих результатів цього експерименту. Вважають, що на цьому просторі елементарних подій задано випадкова величина X, якщо заданий закон (правило) яким кожному елементарному події зіставляється число. Таким чином, випадкову величину X можна розглядати як функцію, задану на просторі елементарних подій.

■ Випадкова величина- величина, яка при кожному випробуванні приймає те чи інше числове значення (перед невідомо, яке саме), що залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту, а можливі значення випадкової величини малими. Так, під час кидання грального кубикавідбувається подія, пов'язана з числом x , де x - число очок, що випало. Число очок – випадкова величина, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – можливі значення цієї величини. Відстань, яка пролетить снаряд при пострілі з гармати - теж випадкова величина (залежить від установки прицілу, сили та напрямки вітру, температури та інших факторів), а можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (a; b).

■ Дискретна випадкова величина- Випадкова величина, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим та нескінченним.

■ Безперервна випадкова величина- Випадкова величина, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень безперервної випадкової величини - нескінченно.

Наприклад, кількість очок, що випали при киданні кубика, бальна оцінка за контрольну роботу - дискретні випадкові величини; відстань, що пролітає снаряд при стрільбі з гармати, похибка вимірювань показника часу засвоєння навчального матеріалу, зростання та вага людини – безперервні випадкові величини.

Закон розподілу випадкової величини– відповідність між можливими значеннями випадкової величини та його ймовірностями, тобто. кожному можливому значенню x i ставиться у відповідність ймовірність p i , з якою випадкова величина може прийняти це значення. Закон розподілу випадкової величини може бути заданий таблично (у формі таблиці), аналітично (як формула) іграфічно.

Нехай дискретна випадкова величина X приймає значення x 1 x 2 ... x n з ймовірностями p 1 p 2 ... pn відповідно, тобто. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . При табличному завданні закону розподілу цієї величини перший рядок таблиці містить можливі значення x 1 , x 2 , …, x n , а другий їх ймовірності

В результаті випробування дискретна випадкова величина X приймає одне і тільки одне з можливих значень, тому X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n утворюють повну групу попарно несумісних подій, і, отже, сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці, тобто. p 1 + p 2 + ... + p n = 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник (полігон) розподілу.

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерамилатинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеве чи нескінченне (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.

1. Закон розподілу може бути заданий таблицею:

де λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в) за допомогою функції розподілу F(x), що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше x, тобто. F(x) = P(X< x).

Властивості функції F(x)

3. Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).

Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.

Основні числові характеристики дискретної випадкової величини:

• Mатематичне очікування (середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i .
  Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
• Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M2 або D(X)=M(X2)−2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
  Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ
• Середнє квадратичне відхилення ( стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).

· Для наочності уявлення варіаційного ряду велике значеннямають його графічні зображення. Графічно варіаційний ряд може бути зображений у вигляді полігону, гістограми та кумуляти.

· Полігон розподілу (дослівно – багатокутник розподілу) називають ламану, яка будується у прямокутній системі координат. Розмір ознаки відкладається на осі абсцис, відповідні частоти (чи відносні частоти ) – по осі ординат. Крапки (або ) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон розподілу. Найчастіше полігони застосовуються для зображення дискретних варіаційних рядів, але їх можна застосовувати також і для інтервальних рядів. У цьому випадку осі абсцис відкладаються точки, відповідні серединам даних інтервалів.

Випадкова величина - Це величина, яка в результаті досвіду набуває заздалегідь невідомого значення.

Кількість студентів, які присутні на лекції.

Кількість будинків, зданих в експлуатацію цього місяця.

Температура навколишнього середовища.

Вага уламка снаряда, що розірвався.

Випадкові величини поділяються на дискретні та безперервні.

Дискретної (перервної) називають випадкову величину, яка набуває окремих, ізольованих друг від друга значення з певними ймовірностями.

Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або лічильним.

Безперервний називають випадкову величину, яка може приймати будь-які значення деякого кінцевого або нескінченного проміжку.

Очевидно, кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

У наведених прикладах: 1 та 2 – дискретні випадкові величини, 3 та 4 – безперервні випадкові величини.

Надалі замість слів «випадкова величина» часто будемо користуватися скороченням с. в.

Як правило, випадкові величини будемо позначати великими літерами, які можливі значення – маленькими.

У теоретико-множинні трактування основних понять теорії ймовірностей випадкова величина Х є функція елементарної події: Х =φ(ω), де ω – елементарна подія, що належить простору Ω (ω  Ω). При цьому безліч можливих значень с. в. Х складається з усіх значень, які набуває функція φ(ω).

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке правило (таблиця, функція), що дозволяє знаходити ймовірності всіляких подій, пов'язаних із випадковою величиною (наприклад, ймовірність того, що вона набуде якогось значення або потрапить на якийсь інтервал).

Форми завдання законів розподілу випадкових величин. Ряд розподілу.

Це таблиця у верхньому рядку якої перераховані у порядку зростання всі можливі значення випадкової величини Х: х 1 , х 2 , ..., х n , а в нижній - ймовірності цих значень: p 1 , p 2 , ..., p n , де p i = Р (Х = x i).

Так як події (Х = x 1), (Х = x 2), ... несумісні і утворюють повну групу, то сума всіх ймовірностей, що стоять у нижньому рядку ряду розподілу, дорівнює одиниці

Ряд распеделения використовується завдання закону розподілу лише дискретних випадкових величин.

Багатокутник розподілу

Графічне зображення ряду розподілу називається багатокутником розподілу. Будується він так: для кожного можливого значення с. в. відновлюється перпендикуляр до осі абсцис, на якому відкладається можливість даного значенняс. в. Отримані точки для наочності (і лише наочності!) з'єднуються відрізками прямих.

Інтегральна функція розподілу (або функція розподілу).

Це функція, яка за кожного значення аргументу х чисельно дорівнює ймовірності того, що випадкова величина  виявиться меншою, ніж значення аргументу х.

Функція розподілу позначається F(x): F(x) = P (X x).

Тепер можна дати більше точне визначеннябезперервної випадкової величини: випадкову величину називають безперервною, якщо її функція розподілу є безперервна, шматково-диференційована функція з безперервною похідною.

Функція розподілу – це найбільш універсальна форма завдання. в., яка може використовуватися для завдання законів розподілу дискретних, так і безперервних с. в.