Мабуть, найголовнішою, найпростішою і найцікавішою фігурою в геометрії є трикутник. В курсі середньої школививчаються його основні властивості, проте іноді знання з цієї теми формуються неповними. Види трикутників спочатку визначають їх властивості. Але така вистава залишається змішаною. Тому зараз розберемо трохи докладніше цю тему.

Види трикутників залежить від градусної міри кутів. Ці постаті бувають гостро-, прямо-і тупокутні. Якщо всі кути не перевищують значення 90 градусів, то фігуру сміливо можна назвати гострокутною. Якщо хоча б один кут трикутника дорівнює 90 градусів, то ви маєте справу з прямокутним підвидом. Відповідно, у решті випадків розглянуту називають тупокутною.

Існує безліч завдань для гострокутних підвидів. відмінною рисоює внутрішнє місцезнаходження точок перетину бісектрис, медіан та висот. В інших випадках ця умова може не виконуватись. Визначити тип фігури "трикутник" неважко. Достатньо знати, наприклад, косинус кожного кута. Якщо якісь значення менше нуляОтже, трикутник у будь-якому випадку є тупокутним. У разі нульового показника фігура має прямим кутом. Усе позитивні значеннягарантовано підкажуть вам про те, що перед вами гострокутний вигляд.

Не можна не сказати про правильний трикутник. Це найідеальніший вид, де збігаються всі точки перетину медіан, бісектрис та висот. Центр вписаного та описаного кола лежить також в одному місці. Для вирішення завдань необхідно знати лише одну сторону, тому що вам кути спочатку задані, а дві інші сторони відомої. Тобто фігура задається лише одним параметром. Існують їх Головна особливість- рівність двох сторін та кутів при підставі.

Іноді зустрічається питання, чи існує трикутник із заданими сторонами. Насправді вас питають, чи підходить даний описпід основні види. Наприклад, якщо сума двох сторін менша за третю, то в реальності такої фігури не існує взагалі. Якщо завдання просять знайти косинуси кутів трикутника зі сторонами 3,5,9, то тут очевидний можна пояснити без складних математичних прийомів. Припустимо, ви хочете з пункту A потрапити до пункту B. Відстань по прямій дорівнює 9 кілометрам. Однак ви згадали, що необхідно зайти до пункту C у магазин. Відстань від А до С дорівнює 3 кілометрам, а від С до В - 5. Таким чином виходить, що, рухаючись через магазин, ви пройдете на один кілометр менше. Але так як пункт C не розташований на прямій AB, вам доведеться пройти зайву відстань. Тут виникає суперечність. Це, звісно, ​​умовне пояснення. Математика знає не один спосіб доказу того, що всі види трикутників підпорядковуються основному тотожності. Воно говорить про те, що сума двох сторін більше довжинитретій.

Будь-який вид має такі властивості:

1) Сума всіх кутів дорівнює 180 градусів.

2) Завжди існує ортоцентр – точка перетину всіх трьох висот.

3) Усі три медіани, проведені з вершин внутрішніх кутівперетинаються в одному місці.

4) Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Також можна вписати коло так, щоб воно мало лише три точки дотику і не виходило за зовнішні сторони.

Тепер ви познайомилися з основними властивостями, які мають різні види трикутників. У майбутньому важливо розуміти, з чим ви маєте справу під час вирішення завдання.

При вивченні математики учні починаються знайомитися з різними видамигеометричних фігур. Сьогодні мова йтиме про різні види трикутників.

Визначення

Геометричні фігури, які складаються з трьох точок, що не знаходяться на одній прямій, називаються трикутниками.

Відрізки, що з'єднують точки, називаються сторонами, а точки – вершинами. Вершини позначаються великими латинськими літерами, наприклад A, B, C.

Сторони позначаються назвами двох точок, у тому числі вони складаються – AB, BC, AC. Перетинаючи сторони утворюють кути. Нижня сторона вважається основою постаті.

Мал. 1. Трикутник ABC.

Види трикутників

Трикутники класифікують по кутах та сторонам. Кожен із видів трикутника має свої властивості.

Існує три види трикутників по кутах:

• гострокутні;
• прямокутні;
• тупокутні.

Усі кути гострокутноготрикутника гострі, тобто градусна міра кожного становить трохи більше 90 0 .

Прямокутнийтрикутник містить прямий кут. Два інші кути завжди будуть гострими, тому що інакше сума кутів трикутника перевищить 180 градусів, а це неможливо. Сторона, яка знаходиться навпроти прямого кутаназивається гіпотенузою, а дві інші катетами. Гіпотенуза завжди більша за катет.

Тупокутнийтрикутник містить тупий кут. Тобто кут, завбільшки більше 90 градусів. Два інші кути в такому трикутнику будуть гострими.

Мал. 2. Види трикутників за кутами.

Піфагоровим трикутником називається прямокутник, сторони якого дорівнюють 3, 4, 5.

Причому велика сторона є гіпотенузою.

Такі трикутники часто використовуються для складання простих завданьу геометрії. Тому, запам'ятайте: якщо дві сторони трикутника дорівнюють 3, то третя обов'язково буде 5. Це спростить розрахунки.

Види трикутників на всі боки:

• рівносторонні;
• рівнобедрені;
• різнобічні.

РівностороннійТрикутник - це трикутник, у якого всі сторони рівні. Всі кути такого трикутника дорівнюють 600, тобто він завжди є гострокутним.

Рівностегновийтрикутник – трикутник, що має лише дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, а третя – основою. Крім того, кути при основі рівнобедреного трикутника рівні і завжди є гострими.

Різностороннімабо довільним трикутником називається трикутник, у якого всі довжини та всі кути не рівні між собою.

Якщо задачі немає жодних уточнень з приводу фігури, прийнято вважати, що йдеться про довільному трикутнику.

Мал. 3. Види трикутників на всі боки.

Сума всіх кутів трикутника незалежно від його виду дорівнює 1800.

Навпроти більшого кута є велика сторона. А також довжина будь-якої сторони завжди менша від суми двох інших його сторін. Ці властивості підтверджуються теоремою про нерівність трикутника.

Існує поняття золотого трикутника. Це рівнобедрений трикутник, У якого дві бічні сторони пропорційні основі і дорівнюють певному числу. У такій фігурі кути пропорційні співвідношенню 2:2:1.

Завдання:

Чи існує трикутник, сторони якого дорівнюють 6 см., 3 см., 4 см.?

Рішення:

Для вирішення цього завдання потрібно використовувати нерівність a

Що ми дізналися?

З даного матеріалуз курсу математики 5 класу, ми довідалися, що трикутники класифікуються за сторонами і величиною кутів. Трикутники мають певні властивості, які можна використовувати під час вирішення завдань.

Трикутник - визначення та загальні поняття

Трикутник - це такий простий багатокутник, що складається з трьох сторін і має стільки ж кутів. Його площини обмежуються трьома точками і трьома відрізками, що попарно з'єднують дані точки.

Усі вершини будь-якого трикутника, незалежно від його різновиду, позначаються великими латинськими літерами, яке боку зображуються відповідними позначеннями протилежних вершин, тільки не великими літерами, а малими. Так, наприклад, трикутник з вершинами позначеними літерами А, В та С має сторони a, b, c.

Якщо розглядати трикутник в евклідовому просторі, це така геометрична фігура, яка утворилася за допомогою трьох відрізків, що з'єднують три точки, які не лежать на одній прямій.

Уважно подивіться на малюнок, який зображений вгорі. На ньому точки А, В і С є вершинами цього трикутника, яке відрізки носять назви сторін трикутника. Кожна вершина цього багатокутника утворює всередині його кути.

Види трикутників

Відповідно до величини, кутів трикутників, вони поділяються на такі різновиди, як: Прямокутні;
Гострокутні;
Тупокутні.

До прямокутних належать такі трикутники, які мають один прямий кут, інші два мають гострі кути.

Гострокутні трикутники - це ті, у яких всі його кути гострі.

А якщо у трикутника є один тупий кут, а два інші кути гострі, то такий трикутник відноситься до тупокутних.

Кожен із вас чудово розуміє, що не всі трикутники мають рівні боки. І відповідно до того, яку довжину мають його сторони, трикутники можна поділити на:

Рівностегнові;
Рівносторонні;
Різнобічні.

Завдання: Намалюйте різні видитрикутників. Дайте їм визначення. Яку між ними відмінність ви бачите?

Основні властивості трикутників

Хоча ці прості багатокутники можуть відрізнятися один від одного величиною кутів або сторін, але в кожному трикутнику є основні властивості, характерні для цієї фігури.

У будь-якому трикутнику:

Загальна сума всіх його кутів дорівнює 180 º.
Якщо він належить до рівносторонніх, то кожен його кут дорівнює 60 º.
Рівносторонній трикутник має однакові та рівні між собою кути.
Чим менший бік багатокутника, тим менший кут розташований навпроти нього і навпаки більшої сторони знаходиться більший кут.
Якщо сторони рівні, то навпроти них розташовані рівні кути, і навпаки.
Якщо взяти трикутник і продовжити його бік, то в результаті утворюється зовнішній кут. Він дорівнює сумі внутрішніх кутів.
У будь-якому трикутнику його сторона, незалежно від того, яку б ви не вибрали, все одно буде менше, ніж сума 2-х інших сторін, але більше ніж їхня різниця:

1. a< b + c, a >b - c;
2. b< a + c, b >a - c;
3. c< a + b, c >a – b.

Завдання

У таблиці наведено вже відомі два кути трикутника. Знаючи загальну сумувсіх кутів знайдіть, чому дорівнює третій кут трикутника і занесіть до таблиці:

1. Скільки градусів має третій кут?
2. До якого виду трикутників він належить?

Ознаки рівності трикутників

I ознака

II ознака

III ознака

Висота, бісектриса та медіана трикутника

Висота трикутника – перпендикуляр, проведений з вершини фігури до його протилежної сторони, називається висотою трикутника. Усі висоти трикутника перетинаються в одній точці. Точка перетину всіх трьох висот трикутника є його ортоцентром.

Відрізок, проведений з даної вершини і сполучає її на середині протилежної сторони, є медіаною. Медіани, як і висоти трикутника, мають одну загальну точкуперетину, так званий центр тяжіння трикутника або центроїд.

Бісектриса трикутника - відрізок, що з'єднує вершину кута і точку протилежної сторони, а також кут, що розділяє навпіл. Всі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яку називають центром кола, вписаний у трикутник.

Відрізок, який сполучає середини 2-х сторін трикутника, називається середньою лінією.

Історична довідка

Така фігура, як трикутник, була відома ще за давніх часів. Про цю фігуру та її властивості згадувалося на єгипетських папірусах чотирьох тисячолітньої давності. Трохи пізніше, завдяки теоремі Піфагора і формулі Герона, вивчення якості трикутника, перейшло більш високий рівеньАле все ж таки, це відбувалося понад дві тисячі років тому.

У XV – XVI століттяхстали проводити багато досліджень про властивості трикутника і в результаті виникла така наука, як планіметрія, яка отримала назву Нова геометрія трикутника.

Вчений із Росії М. І. Лобачевський зробив величезний внесок у пізнання властивостей трикутників. Його праці надалі знайшли застосування як у математиці, так і фізиці та кібернетиці.

Завдяки знанням властивостей трикутників виникла така наука, як тригонометрія. Вона виявилася необхідною для людини в її практичних потребах, так як її застосування просто необхідне при складанні карт, вимірі ділянок та й при конструюванні різних механізмів.

А який самий відомий трикутникви знаєте? Це звичайно Бермудський трикутник! Він отримав таку назву у 50-х роках через географічного розташуванняточок (вершин трикутника), усередині яких, згідно з існуючою теорією, виникали пов'язані з ним аномалії. Вершинами Бермудського трикутника виступають Бермудські острови, Флорида та Пуерто-Ріко.

Завдання: А які теорії про Бермудський трикутникчули ви?

А чи відомо вам, що в теорії Лобачевського при складанні кутів трикутника їх сума завжди має менший результат, ніж 180º. У геометрії Рімана, сума всіх кутів трикутника більше 180 º, а в працях Евкліда вона дорівнює 180 градусів.

Домашнє завдання

Вирішіть кросворд на тему

Запитання до кросворду:

1. Як називається перпендикуляр, який провели з вершини трикутника до прямої, розташованої на протилежному боці?
2. Як, одним словом, можна назвати суму довжин сторін трикутника?
3. Назвіть трикутник, у якого дві сторони рівні?
4. Назвіть трикутник, у якого є кут, що дорівнює 90°?
5. Яку назву має велика, зі сторін трикутника?
6. Назва сторони рівнобедреного трикутника?
7. Їх завжди три у будь-якому трикутнику.
8. Яку назву має трикутник, у якого один із кутів перевищує 90°?
9. Назва відрізка, що з'єднує вершину нашої фігури із серединою протилежної сторони?
10. У простому багатокутнику АВС, велика букваА є…?
11. Яка назва носить відрізок, що ділить кут трикутника навпіл.

Запитання до теми трикутників:

1. Дайте визначення.
2. Скільки висот має?
3. Скільки бісектрис у трикутника?
4. Чому дорівнює його сума кутів?
5. Які види цього багатокутника вам відомі?
6. Назвіть точки трикутників, які мають назву чудових.
7. Яким приладом можна виміряти величину кута?
8. Якщо стрілки годинника показують 21 годину. Який кут утворюють стрілки годинника?
9. На який кут повертається людина, якщо їй дано команду «наліво», «навколо»?
10. Які ще визначення вам відомі, які пов'язані з фігурою, що має три кути та три сторони?

Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося із різними видами трикутників.

Розгляньте геометричні фігуриі знайдіть у тому числі «зайву» (рис. 1).

Мал. 1. Ілюстрація наприклад

Ми бачимо, що фігури №1, 2, 3, 5 – чотирикутники. Кожна їх має свою назву (рис. 2).

Мал. 2. Чотирикутники

Значить, зайвою фігурою є трикутник (рис. 3).

Мал. 3. Ілюстрація наприклад

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки.

Крапки називаються вершинами трикутника, відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.

Основними ознаками трикутника є три сторони та три кути.За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні та тупокутні.

Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кути його гострі, тобто менше 90° (рис. 4).

Мал. 4. Гострокутний трикутник

Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90° (рис. 5).

Мал. 5. Прямокутний трикутник

Трикутник називається тупокутним, якщо один із його кутів тупий, тобто більше 90° (рис. 6).

Мал. 6. Тупокутний трикутник

За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівностегнові, різнобічні.

Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).

Мал. 7. Рівностегновий трикутник

Ці сторони називаються бічними, третя сторона - основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Рівностегнові трикутники бувають гострокутними та тупокутними(Рис. 8) .

Мал. 8. Гострокутний та тупокутний рівнобедрені трикутники

Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).

Мал. 9. Рівносторонній трикутник

У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Рівносторонні трикутникизавжди гострокутні.

Різностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).

Мал. 10. Різносторонній трикутник

Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).

Мал. 11. Ілюстрація до завдання

Спочатку розподілимо за величиною кутів.

Гострокутні трикутники: №1, №3.

Прямокутні трикутники: №2, №6.

Тупокутні трикутники: №4, №5.

Ці трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.

Різносторонні трикутники: №4, №6.

Рівностегнові трикутники: №2, №3, №5.

Рівносторонній трикутник: №1.

Розгляньте малюнки.

Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).

Мал. 12. Ілюстрація до завдання

Можна міркувати так.

Перший шматок дроту розділений три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.

Другий шматок дроту розділений три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.

Третій шматок дроту розділений три частини, де дві частини мають однакову довжину, отже, з нього можна зробити рівнобедрений трикутник. На малюнку він зображений другим.

Сьогодні на уроці ми познайомилися із різними видами трикутників.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Nsportal.ru().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнє завдання

1. Закінчіть фрази.

а) Трикутником називається фігура, яка складається з …, що не лежать на одній прямій, та …, які попарно з'єднують ці точки.

б) Точки називаються … , відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника ….

в) За величиною кута трикутники бувають …, …, ….

г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають …, …, ….

2. Накресліть

а) прямокутний трикутник;

б) гострокутний трикутник;

в) тупокутний трикутник;

г) рівносторонній трикутник;

д) різносторонній трикутник;

е) рівнобедрений трикутник.

3. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.

Трикутники

Трикутникомназивається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. Крапки називаються вершинамитрикутника, а відрізки - його сторонами.

Види трикутників

Трикутник називається рівнобедреним,якщо в нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами,а третя сторона називається основоютрикутник.

Трикутник, у якого всі сторни рівні, називається рівностороннімабо правильним.

Трикутник називається прямокутним,якщо він має прямий кут, тобто кут 90°. Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою,дві інші сторони називаються катетами.

Трикутник називається гострокутним,якщо всі три його кути - гострі, тобто менше 90 °.

Трикутник називається тупокутним,якщо один із його кутів - тупий, тобто більше 90°.

Основні лінії трикутника

Медіана

Медіанатрикутника - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони цього трикутника.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіннятрикутник.

Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Бісектриса

Бісектриса кута- це промінь, що виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить цей кут навпіл. Бісектриса трикутниканазивається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні цього трикутника.

Властивості бісектрис трикутника

Висота

ВисотоюТрикутник називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону цього трикутника.

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутникувисота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібнівихідному.

У гострокутному трикутникудві його висоти відсікають від нього подібнітрикутники.

Середній перпендикуляр

Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, називають серединним перпендикуляромдо відрізка .

Властивості серединних перпендикулярів трикутника

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Правильне і зворотне твердження: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього.

Крапка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника, є центром кола, описаного біля цього трикутника.

Середня лінія

Середньою лінією трикутниканазивається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

Властивість середньої лінії трикутника

Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.

Формули та співвідношення

Ознаки рівності трикутників

Два трикутники рівні, якщо вони відповідно рівні:

дві сторони та кут між ними;

два кути та прилегла до них сторона;

три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Два прямокутний трикутникрівні, якщо вони відповідно рівні:

гіпотенузата гострий кут;

катеті протилежний кут;

катетта прилеглий кут;

два катета;

гіпотенузаі катет.

Подібність трикутників

Два трикутники подібні,якщо виконується одна з таких умов, ознаками подібності:

два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника;

дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути, утворені цими сторонами, дорівнюють;

три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого трикутника.

У подібних трикутниках відповідні лінії ( висоти, медіани, бісектриситощо) пропорційні.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює діаметру описаного біля трикутника кола:

Теорема косінусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Формули площі трикутника

Довільний трикутник

a, b, c -сторони; - кут між сторонами aі b;- напівпериметр; R -радіус описаного кола; r -радіус вписаного кола; S -площа; h a - висота, проведена до сторони a.