آلة حاسبة على الانترنتيسمح لك بالعثور بسرعة على القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لكل من الرقمين وأي عدد آخر من الأرقام.

آلة حاسبة لإيجاد GCD وLCM

ابحث عن GCD وLOC

تم العثور على GCD وLOC: 5806

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

• أدخل الأرقام في حقل الإدخال
• إذا قمت بإدخال أحرف غير صحيحة، فسيتم تمييز حقل الإدخال باللون الأحمر
• انقر فوق الزر "البحث عن GCD وLOC".

كيفية إدخال الأرقام

• يتم إدخال الأرقام مفصولة بمسافة أو نقطة أو فاصلة
• طول الأرقام المدخلة غير محدود، لذا فإن العثور على GCD و LCM للأعداد الطويلة ليس بالأمر الصعب

ما هي GCD وNOC؟

القاسم المشترك الأكبرالأعداد المتعددة هي أكبر عدد صحيح طبيعي تقبل به جميع الأعداد الأصلية القسمة بدون باقي. يتم اختصار القاسم المشترك الأكبر كـ جي سي دي.
أقل مضاعف مشتركعدة أرقام هي أصغر عدد يقبل القسمة على كل رقم من الأعداد الأصلية دون باقي. يتم اختصار المضاعف المشترك الأصغر كـ شهادة عدم الممانعة.

كيفية التحقق من أن الرقم يقبل القسمة على رقم آخر دون باقي؟

لمعرفة ما إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على رقم آخر دون باقي، يمكنك استخدام بعض خصائص قابلية قسمة الأرقام. ومن ثم، من خلال الجمع بينها، يمكنك التحقق من قابلية قسمة بعضها ومجموعاتها.

بعض علامات قابلية قسمة الأعداد

1. اختبار قابلية القسمة على رقم 2
لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على اثنين (سواء كان زوجيًا)، يكفي النظر إلى الرقم الأخير من هذا الرقم: إذا كان يساوي 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8، فإن الرقم زوجي، مما يعني أنه يقبل القسمة على 2.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 2.
حل:ينظر الى آخر رقم: 8 يعني أن العدد يقبل القسمة على اثنين.

2. اختبار قابلية القسمة على رقم 3
يقبل العدد القسمة على 3 عندما يكون مجموع أرقامه يقبل القسمة على ثلاثة. وبالتالي، لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3، فأنت بحاجة إلى حساب مجموع الأرقام والتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 3. حتى لو كان مجموع الأرقام كبيرًا جدًا، يمكنك تكرار نفس العملية مرة أخرى.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 3.
حل:نحسب مجموع الأعداد: 3+4+9+3+8 = 27. 27 يقبل القسمة على 3، مما يعني أن الرقم يقبل القسمة على ثلاثة.

3. اختبار قابلية القسمة على رقم 5
يقبل العدد القسمة على 5 عندما يكون رقمه الأخير صفرًا أو خمسة.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 5.
حل:انظر إلى الرقم الأخير: 8 يعني أن الرقم لا يقبل القسمة على خمسة.

4. اختبار قابلية القسمة على رقم 9
هذه العلامة تشبه إلى حد كبير علامة القسمة على ثلاثة: الرقم يقبل القسمة على 9 عندما يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 9.
حل:نحسب مجموع الأعداد: 3+4+9+3+8 = 27. 27 يقبل القسمة على 9، مما يعني أن العدد يقبل القسمة على تسعة.

كيفية العثور على GCD و LCM من رقمين

كيفية العثور على gcd من رقمين

معظم بطريقة بسيطةحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين هو إيجاد جميع المقسومات الممكنة لهذه الأرقام واختيار أكبرها.

لنفكر في هذه الطريقة باستخدام مثال العثور على GCD(28, 36):

1. نقوم بتحليل كلا الرقمين: 28 = 1·2·2·7، 36 = 1·2·2·3·3
2. نجد العوامل المشتركة، أي تلك التي يجمعها كلا الرقمين: 1 و 2 و 2.
3. نحسب حاصل ضرب هذه العوامل: 1 2 2 = 4 - هذا هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 28 و36.

كيفية العثور على LCM من رقمين

هناك طريقتان شائعتان للعثور على المضاعف الأصغر لعددين. الطريقة الأولى هي أنه يمكنك كتابة المضاعفات الأولى لعددين، ثم تختار من بينها الرقم الذي سيكون مشتركًا بين الرقمين وفي نفس الوقت الأصغر. والثاني هو العثور على GCD لهذه الأرقام. دعونا نفكر في ذلك فقط.

لحساب LCM، تحتاج إلى حساب حاصل ضرب الأرقام الأصلية ثم قسمته على GCD الذي تم العثور عليه مسبقًا. فلنجد المضاعف المشترك الأصغر لنفس الرقمين 28 و36:

1. أوجد حاصل ضرب الرقمين 28 و36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36)، كما هو معروف بالفعل، يساوي 4
3. م م(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

العثور على GCD وLCM لعدة أرقام

يمكن العثور على القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام، وليس اثنين فقط. وللقيام بذلك، يتم تحليل الأعداد المطلوب إيجادها للمقسوم المشترك الأكبر إلى عوامل أولية، ثم إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد. يمكنك أيضًا استخدام العلاقة التالية للعثور على gcd لعدة أرقام: GCD(أ، ب، ج) = GCD(GCD(أ، ب)، ج).

تنطبق علاقة مماثلة على المضاعف المشترك الأصغر: م م م (أ، ب، ج) = م م م (م م م (أ، ب)، ج)

مثال:ابحث عن GCD وLCM للأرقام 12 و32 و36.

1. أولاً، دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل: 12 = 1·2·2·3، 32 = 1·2·2·2·2·2، 36 = 1·2·2·3·3.
2. لنجد العوامل المشتركة: 1، 2، 2.
3. سيعطي منتجهم GCD: 1·2·2 = 4
4. الآن دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر: للقيام بذلك، دعونا أولًا نوجد المضاعف المشترك الأصغر(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام الثلاثة، عليك إيجاد GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. م م(12، 32، 36) = 96·36 / 12 = 288.

العديد من المقسومات

لنفكر في المشكلة التالية: ابحث عن مقسوم على الرقم 140. من الواضح أن الرقم 140 لا يحتوي على مقسوم واحد، بل عدة مقسوم عليه. في مثل هذه الحالات يقال أن المشكلة موجودة مجموعة منقرارات. دعونا نجد كل منهم. أولاً، دعونا نحلل هذا الرقم إلى عوامل بسيطة:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

الآن يمكننا بسهولة كتابة جميع المقسومات. لنبدأ بالعوامل الأولية، أي تلك الموجودة في التوسعة المذكورة أعلاه:

ثم نكتب تلك التي يتم الحصول عليها عن طريق الضرب الزوجي للمقسومات الأولية:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

ثم - تلك التي تحتوي على ثلاثة قواسم أولية:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

وأخيرًا، دعونا لا ننسى الوحدة والرقم المتحلل نفسه:

جميع المقسومات التي وجدناها النموذج مجموعة منقواسم العدد 140 والتي تكتب باستخدام الأقواس المعقوفة:

مجموعة قواسم الرقم 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

ولتسهيل الإدراك قمنا بكتابة المقسومات هنا ( عناصر المجموعة) بترتيب تصاعدي، ولكن بشكل عام، هذا ليس ضروريًا. بالإضافة إلى ذلك، نقدم اختصارًا للتدوين. بدلاً من "مجموعة قواسم الرقم 140" سنكتب "D(140)". هكذا،

وبنفس الطريقة، يمكنك العثور على مجموعة المقسومات لأي شيء آخر عدد طبيعي. على سبيل المثال، من التحلل

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

نحن نحصل:

د(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105).

من مجموعة جميع المقسومات، يجب التمييز بين مجموعة المقسومات البسيطة، والتي تكون متساوية بالنسبة للأرقام 140 و 105، على التوالي:

بي دي (140) = (2، 5، 7).

بي دي (105) = (3، 5، 7).

وينبغي التأكيد بشكل خاص على أنه عند تحليل الرقم 140 إلى عوامل أولية، يظهر الاثنان مرتين، بينما في المجموعة PD(140) يوجد عامل واحد فقط. مجموعة PD(140) هي، في جوهرها، جميع الإجابات على المشكلة: "أوجد العامل الأولي للرقم 140". ومن الواضح أنه لا يجوز تكرار نفس الإجابة أكثر من مرة.

تقليل الكسور. القاسم المشترك الأكبر

خذ بعين الاعتبار الكسر

نحن نعلم أنه يمكن اختزال هذا الكسر برقم يكون مقسومًا على البسط (105) ومقسومًا على المقام (140). دعونا نلقي نظرة على المجموعتين D(105) وD(140) ونكتب العناصر المشتركة بينهما.

د(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105)؛

د(140) = (1، 2، 4، 5، 7، 10، 14، 20، 28، 35، 70، 140).

العناصر المشتركة للمجموعتين D(105) وD(140) =

ويمكن كتابة المساواة الأخيرة بشكل أكثر اختصارا، وهي:

د(105) ∩ د(140) = (1، 5، 7، 35).

هنا تشير الأيقونة الخاصة "∩" ("كيس ذو فتحة للأسفل") إلى أنه من بين المجموعتين المكتوبتين على الجانبين المتقابلين لها، يجب اختيار العناصر المشتركة فقط. الإدخال "D(105) ∩ D(140)" يقرأ " تداخلمجموعات دي من 105 ودي من 140.

[لاحظ على طول الطريق أنه يمكنك إجراء عمليات ثنائية مختلفة باستخدام المجموعات، كما هو الحال مع الأرقام تقريبًا. عملية ثنائية شائعة أخرى هي اتحاد، والذي يُشار إليه بالرمز "∪" ("كيس بفتحة متجهة لأعلى"). اتحاد مجموعتين يشمل جميع عناصر المجموعتين:

PD(105) = (3، 5، 7)؛

PD(140) = (2، 5، 7)؛

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

لذلك، اكتشفنا أن الكسر

يمكن تخفيضها بأي من الأرقام التي تنتمي إلى المجموعة

د(105) ∩ د(140) = (1، 5، 7، 35)

ولا يمكن اختزاله بأي عدد طبيعي آخر. هذا كل شئ الطرق الممكنةالاختصارات (باستثناء الاختصار غير المثير للاهتمام بواحد):

من الواضح أنه من العملي جدًا تقليل الكسر بأكبر عدد ممكن. وفي هذه الحالة، هذا هو الرقم 35، الذي يقال إنه كذلك القاسم المشترك الأكبر (جي سي دي) الأرقام 105 و 140. هذا مكتوب كـ

جي سي دي (105، 140) = 35.

ومع ذلك، من الناحية العملية، إذا حصلنا على رقمين وأردنا إيجاد القاسم المشترك الأكبر لهما، فلا ينبغي لنا إنشاء أي مجموعات على الإطلاق. ويكفي ببساطة تحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية وتسليط الضوء على تلك العوامل المشتركة في كلا التحليلين، على سبيل المثال:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

بضرب الأرقام التي تحتها خط (في أي من التوسعات) نحصل على:

جي سي دي (105، 140) = 5 ∙ 7 = 35.

بالطبع، من الممكن أن يكون هناك أكثر من عاملين تحتهما خط:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

ومن هذا يتضح أن

جي سي دي (168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

يستحق الوضع إشارة خاصة عندما لا تكون هناك عوامل مشتركة على الإطلاق وليس هناك ما يمكن التأكيد عليه، على سبيل المثال:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

في هذه الحالة،

جي سي دي (42، 55) = 1.

يتم استدعاء رقمين طبيعيين يكون GCD لهما واحدًا رئيسي متبادل. إذا قمت بعمل كسر من هذه الأرقام، على سبيل المثال،

ثم مثل هذا الكسر هو غير القابل للاختزال.

بشكل عام، يمكن كتابة قاعدة تقليل الكسور على النحو التالي:

		أ/ جي سي دي ( أ, ب)
		ب/ جي سي دي ( أ, ب)

وهنا يفترض ذلك أو بهي أعداد طبيعية، والكسر بأكمله موجب. إذا أضفنا الآن علامة الطرح إلى طرفي هذه المساواة، فسنحصل على القاعدة المقابلة للكسور السالبة.

جمع وطرح الكسور. أقل مضاعف مشترك

لنفترض أنك بحاجة إلى حساب مجموع كسرين:

نحن نعلم بالفعل كيف يتم تحليل المقامات إلى عوامل أولية:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

من هذا التحليل يتبع ذلك مباشرة، من أجل جلب الكسور إلى مقام مشترك، يكفي ضرب بسط ومقام الكسر الأول في 2 ∙ 2 (حاصل ضرب العوامل الأولية غير المؤكدة للمقام الثاني)، و بسط ومقام الكسر الثاني بمقدار 3 ("منتج" العوامل الأولية غير المجهدة للمقام الأول). ونتيجة لذلك يصبح مقامات الكسرين مساوية للرقم الذي يمكن تمثيله على النحو التالي:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

من السهل أن نرى أن كلا المقامين الأصليين (105 و140) هما مقسومان على الرقم 420، والرقم 420 بدوره هو مضاعف للمقامين - وليس مجرد مضاعف، فهو كذلك أقل مضاعف مشترك (شهادة عدم الممانعة) الأرقام 105 و 140. مكتوبة هكذا:

م م م (105، 140) = 420.

بإلقاء نظرة فاحصة على تحليل العددين ١٠٥ و١٤٠، نرى ذلك

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

وبالمثل، بالنسبة للأعداد الطبيعية التعسفية بو د:

ب ∙ د= لوك( ب, د) ∙ جي سي دي( ب, د).

الآن دعونا نكمل جمع الكسور لدينا:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

ملحوظة.لحل بعض المسائل عليك أن تعرف ما هو مربع الرقم. قم بتربيع الرقم أاتصل بالرقم أ، مضروبًا في نفسه، أي أ∙أ. (كما هو واضح، فهي تساوي مساحة المربع الذي له ضلع أ).

المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة التي تحمل عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، و انتباه خاصدعونا نركز على حل الأمثلة. أولاً، سنوضح كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين باستخدام GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، سنبحث في كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سوف نركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD

إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. يتيح لنا الاتصال الحالي بين LCM وGCD حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب) . دعونا نفكر في أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة المعطاة.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين 126 و70.

حل.

في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD، المعبر عنها بالصيغة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام باستخدام الصيغة المكتوبة.

دعونا نوجد GCD(126, 70) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 126=70·1+56، 70=56·1+14، 56=14·4، وبالتالي GCD(126, 70)=14.

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: جي سي دي(126, 70)=126·70:جي سي دي(126, 70)= 126·70:14=630.

إجابة:

م م(126, 70)=630 .

مثال.

ما هو LCM (68، 34) يساوي؟

حل.

لأن 68 يقبل القسمة على 34، ثم GCD(68, 34)=34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: جي سي دي(68, 34)=68·34:جي سي دي(68, 34)= 68·34:34=68.

إجابة:

م م(68, 34)=68 .

لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج من جميع العوامل الأولية لأرقام معينة، ثم استبعدت من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في مفكوكات الأرقام المحددة، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة .

القاعدة المعلنة لإيجاد LCM تنبع من المساواة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. بدوره، GCD(a, b) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في توسيعات الأعداد a وb (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام توسيع الأرقام إلى عوامل أولية).

دعونا نعطي مثالا. دعنا نعرف أن 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. لنؤلف الناتج من جميع عوامل هذه التوسعات: 2·3·3·5·5·5·7 . الآن نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في كل من مفكوك العدد 75 ومفكوك العدد 210 (هذه العوامل هي 3 و 5)، فيأخذ الناتج الشكل 2·3·5·5·7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للعددين 75 و210، أي NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

مثال.

قم بتحليل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية وأوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

حل.

دعونا نحلل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441=3·3·7·7 و700=2·2·5·5·7.

لنقم الآن بإنشاء منتج من جميع العوامل المشاركة في توسيع هذه الأرقام: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. هكذا، م م(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

إجابة:

NOC(441, 700)= 44100 .

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا تمت إضافة العوامل المفقودة من مفك الرقم ب إلى العوامل من مفك الرقم أ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للرقمين أ و ب.

على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقمين 75 و210، وتحللهما إلى عوامل أولية كما يلي: 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من مفكوك الرقم 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من مفكوك الرقم 210، نحصل على المنتج 2·3·5·5·7، وقيمته هي يساوي LCM(75، 210).

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

حل.

نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2·2·3·7 و648=2·2·2·3·3·3·3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من مفكوك الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من مفكوك الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و648 هو 4536.

إجابة:

LCM(84, 648)=4,536 .

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. دعونا نتذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

نظرية.

دع الأعداد الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , م ك = LCM(م ك−1 , أ ك) .

لنفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54، 250.

حل.

في هذا المثال، 1 = 140، 2 = 9، 3 = 54، 4 = 250.

أولا نجد م 2 = LOC(أ 1، أ 2) = LOC(140، 9). للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد GCD(140, 9)، لدينا 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، وبالتالي، GCD(140, 9)=1 ، من أين جي سي دي(140, 9)=140 9:جي سي دي(140, 9)= 140·9:1=1,260. أي أن م2=1260.

الآن نجد م 3 = LOC (م 2 , أ 3) = LOC (1 260, 54). لنحسبها من خلال GCD(1 260, 54)، والتي نحددها أيضًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ثم gcd(1,260, 54)=18، ومنها gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. أي أن م 3 = 3 780.

كل ما تبقى هو العثور عليه م 4 = LOC(م 3، أ 4) = LOC(3780، 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3,780, 250) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 3,780=250·15+30، 250=30·8+10، 30=10·3. ولذلك، GCM(3,780, 250)=10، حيث GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. أي أن م 4 = 94,500.

إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

إجابة:

م م(140، 9، 54، 250)=94,500.

في كثير من الحالات، يكون من المناسب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليلات الأولية للأرقام المعطاة. وفي هذه الحالة عليك الالتزام بالقاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي حاصل الضرب الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل الناتجة، وهكذا.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الخمسة 84، 6، 48، 7، 143.

حل.

أولاً، نحصل على تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية: 84=2·2·3·7، 6=2·3، 48=2·2·2·2·3، 7 (7 هو عدد أولي، وهو يتطابق مع تحللها إلى عوامل أولية) و143=11·13.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و2 و3 و7)، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6. لا يحتوي تحليل الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحليل الرقم الأول 84. بعد ذلك، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك الرقم الثالث 48، نحصل على مجموعة العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. لن تكون هناك حاجة لإضافة مضاعفات إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية، نظرًا لأن الرقم 7 موجود فيها بالفعل. أخيرًا، إلى العوامل 2 و2 و2 و2 و3 و7 نضيف العوامل المفقودة 11 و13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2·2·2·2·3·7·11·13، وهو ما يساوي 48,048.

لتتعلم كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر، عليك أن تفهم ما هي الأعداد الطبيعية والأولية والمعقدة.

العدد الطبيعي هو أي رقم يستخدم لحساب العناصر الكاملة.

إذا كان العدد الطبيعي لا يمكن تقسيمه إلا على نفسه وعلى واحد، فإنه يسمى عدد أولي.

جميع الأعداد الطبيعية يمكن قسمتها على نفسها وعلى الواحد، ولكن العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2، أما الأعداد الأخرى فيمكن قسمتها على اثنين. لذلك، الأعداد الفردية فقط هي التي يمكن أن تكون أولية.

هناك الكثير من الأعداد الأولية القائمة الكاملةأنها غير موجودة. للعثور على GCD، من المناسب استخدام جداول خاصة بهذه الأرقام.

معظم الأعداد الطبيعية يمكن قسمتها ليس فقط على الواحد نفسه، ولكن أيضًا على أعداد أخرى. لذلك، على سبيل المثال، يمكن تقسيم الرقم 15 على 3 و 5 آخرين. وتسمى جميعها مقسومات الرقم 15.

وبالتالي فإن المقسوم عليه لأي A هو الرقم الذي يمكن قسمته عليه دون باقي. إذا كان العدد يحتوي على أكثر من عاملين طبيعيين، فإنه يسمى مركبًا.

يمكن أن يحتوي الرقم 30 على قواسم مثل 1، 3، 5، 6، 15، 30.

ستلاحظ أن 15 و30 لهما نفس المقسومات 1، 3، 5، 15. القاسم المشترك الأكبر لهذين الرقمين هو 15.

وبالتالي، فإن القاسم المشترك للرقمين A وB هو الرقم الذي يمكن قسمتهما بالكامل. الأكبر يمكن اعتباره الحد الأقصى الرقم الإجمالي، حيث يمكن تقسيمها.

لحل المشاكل يتم استخدام النقش المختصر التالي:

جي سي دي (أ ؛ ب).

على سبيل المثال، GCD (15؛ 30) = 30.

لتدوين جميع قواسم عدد طبيعي، استخدم الترميز:

د (15) = (1، 3، 5، 15)

جي سي دي (9، 15) = 1

في في هذا المثالالأعداد الطبيعية لها عامل مشترك واحد فقط. يطلق عليهم اسم أولي نسبيًا، لذا فإن الوحدة هي القاسم المشترك الأكبر لهم.

كيفية العثور على القاسم المشترك الأكبر للأرقام

للعثور على GCD لعدة أرقام، تحتاج إلى:

ابحث عن جميع قواسم كل عدد طبيعي بشكل منفصل، أي قم بتحليلها إلى عوامل (أعداد أولية)؛

تحديد جميع العوامل المتطابقة لأرقام معينة؛

اضربهم معًا.

على سبيل المثال، لحساب القاسم المشترك الأكبر للرقمين 30 و56، عليك كتابة ما يلي:

لتجنب الارتباك، من المناسب كتابة العوامل باستخدام الأعمدة الرأسية. على الجانب الأيسر من الخط، تحتاج إلى وضع الأرباح، وعلى الجانب الأيمن - المقسوم عليه. تحت الأرباح، يجب عليك الإشارة إلى الحاصل الناتج.

لذلك، في العمود الأيمن سيكون هناك جميع العوامل اللازمة للحل.

يمكن وضع خط تحت المقسومات المتطابقة (العوامل الموجودة) للراحة. وينبغي إعادة كتابتها ومضاعفتها وكتابة القاسم المشترك الأكبر.

جي سي دي (30؛ 56) = 2 * 5 = 10

هذا هو مدى سهولة العثور على القاسم المشترك الأكبر للأعداد. إذا تدربت قليلاً، يمكنك القيام بذلك بشكل تلقائي تقريبًا.

تتطلب التعبيرات والمسائل الرياضية الكثير من المعرفة الإضافية. NOC هي واحدة من أهمها، خاصة أنها تستخدم غالبًا في دراسة الموضوع في المدرسة الثانوية، وليس من الصعب بشكل خاص فهم المواد؛ لن يواجه الشخص المطلع على القوى وجدول الضرب صعوبة في تحديد الأرقام الضرورية واكتشافها نتيجة.

تعريف

المضاعف المشترك هو رقم يمكن تقسيمه بالكامل إلى رقمين في نفس الوقت (a وb). في أغلب الأحيان، يتم الحصول على هذا الرقم عن طريق ضرب الأرقام الأصلية a و b. يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على كلا الرقمين في وقت واحد، دون انحرافات.

NOC هو التعيين المقبول اسم قصير، تم جمعها من الحروف الأولى.

طرق الحصول على رقم

طريقة ضرب الأعداد ليست مناسبة دائمًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر؛ فهي أكثر ملاءمة للأعداد البسيطة المكونة من رقم واحد أو رقمين. من المعتاد التقسيم إلى عوامل؛ كلما زاد العدد، زاد عدد العوامل.

مثال 1

على سبيل المثال، تستخدم المدارس عادةً أرقامًا أولية أو مكونة من رقم واحد أو رقمين. على سبيل المثال، تحتاج إلى حل المهمة التالية، والعثور على المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 7 و 3، والحل بسيط للغاية، فقط اضربهما. ونتيجة لذلك، هناك رقم 21، وببساطة لا يوجد رقم أصغر.

المثال رقم 2

الإصدار الثاني من المهمة أكثر صعوبة. تم إعطاء الأرقام 300 و1260، وإيجاد LOC أمر إلزامي. لحل المشكلة، يتم افتراض الإجراءات التالية:

تحليل الرقمين الأول والثاني إلى عوامل بسيطة. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. تم الانتهاء من المرحلة الأولى.

تتضمن المرحلة الثانية العمل مع البيانات التي تم الحصول عليها بالفعل. يجب أن يشارك كل رقم من الأرقام المستلمة في حساب النتيجة النهائية. لكل عامل، يتم أخذ أكبر عدد من التكرارات من الأرقام الأصلية. LCM هو رقم عام، لذلك يجب أن تتكرر عوامل الأرقام فيه، كل واحد منها، حتى تلك الموجودة في نسخة واحدة. يحتوي كلا الرقمين الأوليين على الأرقام 2 و3 و5 درجات مختلفة، 7 موجود في حالة واحدة فقط.

لحساب النتيجة النهائية، عليك أن تأخذ كل رقم في أكبر القوى الممثلة في المعادلة. كل ما تبقى هو الضرب والحصول على الإجابة، إذا تم ملؤها بشكل صحيح، فإن المهمة تنقسم إلى خطوتين دون شرح:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) شهادة عدم الممانعة = 6300.

هذه هي المشكلة برمتها، إذا حاولت حساب العدد المطلوب بالضرب، فالإجابة بالتأكيد لن تكون صحيحة، لأن 300 * 1260 = 378000.

فحص:

6300 / 300 = 21 - صحيح؛

6300 / 1260 = 5 - صحيح.

يتم تحديد صحة النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق التحقق - قسمة LCM على كلا الرقمين الأصليين؛ إذا كان الرقم عددًا صحيحًا في كلتا الحالتين، فإن الإجابة صحيحة.

ماذا يعني NOC في الرياضيات؟

كما تعلمون، لا توجد وظيفة واحدة عديمة الفائدة في الرياضيات، وهذه ليست استثناء. الغرض الأكثر شيوعًا لهذا الرقم هو اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. ما يتم دراسته عادة في الصفوف 5-6 المدرسة الثانوية. وهو أيضًا قاسم مشترك لجميع المضاعفات، إذا كانت هذه الشروط موجودة في المشكلة. مثل هذا التعبير يمكن أن يجد مضاعفات ليس فقط من رقمين، ولكن أيضًا من العديد أكثر- ثلاثة، خمسة، وهكذا. كلما زاد عدد الأرقام، زاد عدد الإجراءات في المهمة، لكن التعقيد لا يزيد.

على سبيل المثال، بالنظر إلى الأرقام 250 و600 و1500، فأنت بحاجة إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - يصف هذا المثال التحليل بالتفصيل، دون التخفيض.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

من أجل تكوين تعبير، من الضروري ذكر جميع العوامل، في هذه الحالة يتم إعطاء 2، 5، 3 - لكل هذه الأرقام من الضروري تحديد الدرجة القصوى.

تنبيه: يجب جلب جميع العوامل إلى حد التبسيط الكامل، إن أمكن، متحللة إلى مستوى الأرقام الفردية.

فحص:

1) 3000 / 250 = 12 - صحيح؛

2) 3000 / 600 = 5 - صحيح؛

3) 3000 / 1500 = 2 - صحيح.

هذه الطريقة لا تتطلب أي حيل أو قدرات عبقرية، كل شيء بسيط وواضح.

طريق اخر

في الرياضيات، ترتبط العديد من الأشياء، ويمكن حل العديد من الأشياء بطريقتين أو أكثر، وينطبق الشيء نفسه على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر، LCM. يمكن استخدام الطريقة التالية في حالة الأعداد البسيطة المكونة من رقمين والرقم الواحد. يتم تجميع جدول يتم فيه إدخال المضاعف عموديًا، والمضاعف أفقيًا، ويُشار إلى المنتج في الخلايا المتقاطعة للعمود. يمكنك عكس الجدول باستخدام خط، وأخذ رقم وكتابة نتائج ضرب هذا الرقم بأعداد صحيحة، من 1 إلى ما لا نهاية، وأحيانًا تكون 3-5 نقاط كافية، ويخضع الرقم الثاني والأرقام اللاحقة لنفس العملية الحسابية. كل شيء يحدث حتى يتم العثور على مضاعف مشترك.

بالنظر إلى الأرقام 30، 35، 42، فأنت بحاجة إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر الذي يربط جميع الأرقام:

1) مضاعفات 30: 60، 90، 120، 150، 180، 210، 250، إلخ.

2) مضاعفات العدد 35: 70، 105، 140، 175، 210، 245، إلخ.

3) مضاعفات العدد 42: 84، 126، 168، 210، 252، إلخ.

ومن الملاحظ أن جميع الأرقام مختلفة تمامًا، والرقم المشترك الوحيد بينها هو 210، لذلك سيكون رقم NOC. من بين العمليات المتضمنة في هذا الحساب يوجد أيضًا القاسم المشترك الأكبر، والذي يتم حسابه وفقًا لمبادئ مماثلة وغالبًا ما يتم مواجهته في المسائل المجاورة. الفرق صغير، ولكنه كبير جدًا، حيث يتضمن LCM حساب رقم مقسومًا على جميع القيم الأولية المعطاة، ويتضمن GCD الحساب أعلى قيمةوالتي يتم من خلالها تقسيم الأرقام الأصلية.