تمت دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن ، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها أمر ضروري.

المعادلة التربيعية هي معادلة على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث تكون المعاملات a و b و c أرقامًا عشوائية ، و a 0.

قبل دراسة طرق حل محددة ، نلاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور
2. لديهم جذر واحد بالضبط.
3. لديهم جذرين مختلفين.

هذا هو الاختلاف المهم المعادلات التربيعيةمن الخطية ، حيث يوجد الجذر دائمًا ويكون فريدًا. كيف تحدد عدد الجذور التي تمتلكها المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - مميز.

مميز

فلندع المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0. ثم المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 - 4ac.

يجب أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين أتت غير مهم الآن. شيء آخر مهم: بعلامة المميز ، يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا كان د< 0, корней нет;
2. إذا كانت D = 0 ، فهناك جذر واحد بالضبط ؛
3. إذا كانت D> 0 ، فسيكون هناك جذرين.

يرجى ملاحظة: المميز يشير إلى عدد الجذور ، وليس على الإطلاق علاماتها ، كما يعتقد كثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. كم عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. × 2-8 س + 12 = 0 ؛
2. 5x2 + 3x + 7 = 0 ؛
3. س 2-6 س + 9 = 0.

نكتب معاملات المعادلة الأولى ونجد المميز:
أ = 1 ، ب = 8 ، ج = 12 ؛
د = (8) 2-4 1 12 = 64-48 = 16

إذن ، المميز موجب ، ومن ثم فإن للمعادلة جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5 ؛ ب = 3 ؛ ج = 7 ؛
د \ u003d 3 2-4 5 7 = 9 - 140 \ u003d -131.

المميز سالب ، لا جذور. تبقى المعادلة الأخيرة:
أ = 1 ؛ ب = -6 ؛ ج = 9 ؛
د = (6) 2-4 1 9 = 36-36 = 0.

المميز يساوي صفرًا - الجذر سيكون واحدًا.

لاحظ أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم ، إنها طويلة ، نعم ، إنها مملة - لكنك لن تخلط بين الاحتمالات ولا ترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة ، إذا "تملأ يدك" ، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بمثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الناس في فعل ذلك في مكان ما بعد حل 50-70 معادلة - بشكل عام ، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل. إذا كان المميز D> 0 ، فيمكن إيجاد الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما تكون D = 0 ، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - تحصل على نفس الرقم ، والذي سيكون الإجابة. أخيرًا ، إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. × 2 - 2 س - 3 = 0 ؛
2. 15 - 2x - x2 = 0 ؛
3. س 2 + 12 س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 - 2 س - 3 = 0 ⇒ أ = 1 ؛ ب = −2 ؛ ج = -3 ؛
د = (2) 2-4 1 (3) = 16.

د> 0 ⇒ للمعادلة جذرين. لنجدهم:

المعادلة الثانية:
15-2 س - س 2 = 0 ⇒ أ = -1 ؛ ب = −2 ؛ ج = 15 ؛
د = (2) 2-4 (1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ للمعادلة مرة أخرى جذرين. دعنا نجدهم

\ [\ start (محاذاة) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5 ؛ \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (محاذاة) \]

أخيرًا المعادلة الثالثة:
س 2 + 12 س + 36 = 0 أ = 1 ؛ ب = 12 ؛ ج = 36 ؛
د = 12 2-4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ للمعادلة جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال ، الأول:

كما ترون من الأمثلة ، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وكنت قادرًا على العد ، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان ، تحدث الأخطاء عند استبدال المعامِلات السالبة في الصيغة. هنا ، مرة أخرى ، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا ، وقم برسم كل خطوة - وتخلص من الأخطاء قريبًا جدًا.

معادلات تربيعية غير مكتملة

يحدث أن تختلف المعادلة التربيعية إلى حد ما عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:

1. x2 + 9x = 0 ؛
2. x2 - 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن أحد المصطلحات مفقود في هذه المعادلات. مثل هذه المعادلات التربيعية أسهل في الحل من المعادلات القياسية: فهي لا تحتاج حتى لحساب المميز. لذلك دعونا نقدم مفهومًا جديدًا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير كاملة إذا كانت b = 0 أو c = 0 ، أي معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.

بالطبع ، من الممكن حدوث حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا المعاملين مساويين للصفر: ب \ u003d ج ​​\ u003d 0. في هذه الحالة ، تأخذ المعادلة شكل ax 2 \ u003d 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها واحدة الجذر: x \ u003d 0.

دعونا ننظر في حالات أخرى. دعنا ب \ u003d 0 ، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + c \ u003d 0. دعونا نحولها قليلاً:

لأن الحساب الجذر التربيعيموجود فقط من عدد السلبي، المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط لـ (c / a) 0. الخلاصة:

1. إذا كانت المعادلة التربيعية غير المكتملة بالشكل ax 2 + c = 0 تحقق عدم المساواة (−c / a) ≥ 0 ، فسيكون هناك جذران. الصيغة المذكورة أعلاه ؛
2. إذا (−c / أ)< 0, корней нет.

كما ترى ، لم يكن المميز مطلوبًا - لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في معادلات تربيعية غير مكتملة. في الواقع ، ليس من الضروري حتى تذكر المتباينة (−c / a) ≥ 0. يكفي التعبير عن قيمة x 2 ومعرفة ما يوجد على الجانب الآخر من علامة التساوي. إذا كان هناك عدد موجب ، فسيكون هناك جذران. إذا كانت سلبية ، فلن تكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلات على شكل ax 2 + bx = 0 ، والتي فيها العنصر الحر يساوي صفرًا. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

إخراج العامل المشترك من القوس

حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. هذا هو المكان الذي تأتي منه الجذور. في الختام ، سنقوم بتحليل العديد من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. x2 - 7x = 0 ؛
2. 5 × 2 + 30 = 0 ؛
3. 4 × 2 - 9 = 0.

س 2 - 7 س = 0 س (س - 7) = 0 ⇒ × 1 = 0 ؛ س 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 x2 = -6. لا توجد جذور لأن لا يمكن أن يكون المربع مساويًا لرقم سالب.

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5 ؛ × 2 \ u003d -1.5.

غالبًا ما تظهر المعادلات التربيعية أثناء حل المشكلات المختلفة في الفيزياء والرياضيات. في هذا المقال ، سننظر في كيفية حل هذه المساواة بطريقة عالمية "من خلال التمييز". يتم أيضًا تقديم أمثلة على استخدام المعرفة المكتسبة في المقالة.

ما المعادلات التي نتحدث عنها؟

يوضح الشكل أدناه صيغة يكون فيها x متغيرًا غير معروف ، وتمثل الأحرف اللاتينية a و b و c بعض الأرقام المعروفة.

كل من هذه الرموز يسمى معامل. كما ترى ، فإن الرقم "أ" يقع أمام المتغير التربيعي x. هذه هي القوة القصوى للتعبير الممثل ، وهذا هو سبب تسميتها بالمعادلة التربيعية. غالبًا ما يستخدم اسم آخر: معادلة من الدرجة الثانية. قيمة a نفسها هي المعامل التربيعي (تربيع المتغير) ، ب هي المعامل الخطي(بجانب المتغير المرفوع إلى القوة الأولى) ، أخيرًا ، الرقم c هو عضو حر.

لاحظ أن شكل المعادلة الموضحة في الشكل أعلاه هو تعبير تربيعي كلاسيكي عام. بالإضافة إلى ذلك ، هناك معادلات أخرى من الدرجة الثانية يمكن أن تكون فيها المعامِلات b و c صفرًا.

عندما يتم تعيين المهمة لحل المساواة قيد النظر ، فهذا يعني أنه يجب العثور على قيم المتغير x التي ترضيها. هنا ، أول شيء يجب تذكره هو الشيء التالي: بما أن القوة القصوى لـ x هي 2 ، إذن نوع معينلا يمكن أن تحتوي التعبيرات على أكثر من حلين. هذا يعني أنه إذا تم العثور ، عند حل المعادلة ، على قيمتين x ترضيها ، فيمكنك التأكد من عدم وجود رقم ثالث ، مع استبدال أيهما بدلاً من x ، ستكون المساواة صحيحة أيضًا. تسمى حلول معادلة في الرياضيات بجذورها.

طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية

يتطلب حل معادلات من هذا النوع معرفة بعض النظريات عنها. في دورة الجبر المدرسية ، يتم النظر في 4 طرق مختلفة للحل. دعنا نذكرهم:

• باستخدام العوامل
• باستخدام صيغة المربع الكامل ؛
• تطبيق الرسم البياني للوظيفة التربيعية المقابلة ؛
• باستخدام المعادلة المميزة.

ميزة الطريقة الأولى هي بساطتها ، ومع ذلك ، لا يمكن تطبيقها على جميع المعادلات. الطريقة الثانية عالمية ، لكنها مرهقة إلى حد ما. تتميز الطريقة الثالثة بوضوحها ، ولكنها ليست دائمًا ملائمة وقابلة للتطبيق. وأخيرًا ، يعد استخدام المعادلة المميزة طريقة عامة وبسيطة إلى حد ما لإيجاد جذور أي معادلة من الدرجة الثانية تمامًا. لذلك ، في المقال سننظر فيه فقط.

صيغة للحصول على جذور المعادلة

دعنا ننتقل إلى نظرة عامةمعادلة من الدرجة الثانية. دعنا نكتبها: أ * س² + ب * س + ج = 0. قبل استخدام طريقة حلها "من خلال التمييز" ، يجب دائمًا تقليل المساواة إلى الشكل المكتوب. أي أنه يجب أن يتكون من ثلاثة مصطلحات (أو أقل إذا كانت b أو c تساوي 0).

على سبيل المثال ، إذا كان هناك تعبير: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x² ، فعليك أولاً نقل جميع أعضائها إلى جانب واحد من المساواة وإضافة المصطلحات التي تحتوي على المتغير x في نفس القوى.

في هذه الحالة ، ستؤدي هذه العملية إلى التعبير التالي: -6 * x²-4 * x + 8 = 0 ، وهو ما يعادل المعادلة 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (هنا قمنا بضرب اليسار والجوانب اليمنى من المعادلة بنسبة -1).

في المثال أعلاه ، أ = 6 ، ب = 4 ، ج = -8. لاحظ أن جميع شروط المساواة المدروسة يتم تلخيصها دائمًا فيما بينها ، وبالتالي ، إذا ظهرت علامة "-" ، فهذا يعني أن المعامل المقابل سالب ، مثل الرقم c في هذه الحالة.

بعد تحليل هذه النقطة ، ننتقل الآن إلى الصيغة نفسها ، مما يجعل من الممكن الحصول على جذور المعادلة التربيعية. يبدو أن الصورة أدناه.

كما يتضح من هذا التعبير ، فإنه يسمح لك بالحصول على جذرين (يجب الانتباه إلى علامة "±"). للقيام بذلك ، يكفي التعويض بالمعاملات b و c و a فيه.

مفهوم التمييز

في الفقرة السابقة ، تم إعطاء صيغة تسمح لك بحل أي معادلة من الدرجة الثانية بسرعة. في ذلك ، يُطلق على التعبير الراديكالي المميز ، أي D \ u003d b²-4 * a * c.

لماذا هذا الجزء من الصيغة معزول ، بل وقد تم عزله الاسم الخاص؟ الحقيقة هي أن المميز يربط جميع المعاملات الثلاثة للمعادلة في تعبير واحد. الحقيقة الأخيرةيعني أنه يحمل معلومات كاملة حول الجذور ، والتي يمكن التعبير عنها بالقائمة التالية:

1. D> 0: للمساواة حلين مختلفين ، كلاهما أرقام حقيقية.
2. د = 0: للمعادلة جذر واحد فقط ، وهو رقم حقيقي.

مهمة تحديد المميز

فيما يلي مثال بسيط لكيفية إيجاد المميز. دع المساواة التالية تعطى: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

دعنا نحضره إلى النموذج القياسي، نحصل على: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0 ، من حيث نصل ​​إلى المساواة: -2 * x² + 2 * س- 11 = 0. هنا أ = -2 ، ب = 2 ، ج = -11.

يمكنك الآن استخدام الصيغة المسماة للمميز: D \ u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \ u003d -84. الرقم الناتج هو إجابة المهمة. منذ في المثال المميز أقل من الصفر، إذن يمكننا القول إن هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. سيكون حلها عبارة عن أعداد من النوع المركب فقط.

مثال على عدم المساواة من خلال المميز

دعونا نحل مسائل من نوع مختلف قليلاً: المساواة -3 * x²-6 * x + c = 0 من الضروري إيجاد قيم c التي من أجلها D> 0.

في هذه الحالة ، لا يُعرف سوى 2 من 3 معاملات ، لذلك لن يكون من الممكن حساب القيمة الدقيقة للمميز ، لكن من المعروف أنه موجب. نستخدم الحقيقة الأخيرة عند تجميع المتباينة: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. يؤدي حل المتباينة الناتجة إلى النتيجة: c> -3.

دعونا نتحقق من الرقم الناتج. للقيام بذلك ، نحسب D لحالتين: c = -2 و c = -4. الرقم -2 يرضي النتيجة (-2> -3) ، المميز المقابل سيكون له القيمة: D = 12> 0. في المقابل ، لا يُرضي الرقم -4 المتباينة (-4 ، وبالتالي ، فإن أي رقم أكبر من -3 يفي بالشرط.

مثال على حل معادلة

هذه مشكلة لا تتمثل فقط في إيجاد المميز ، ولكن أيضًا في حل المعادلة. من الضروري إيجاد جذور المساواة -2 * x² + 7-9 * x = 0.

في هذا المثال ، المميز يساوي القيمة التالية: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. ثم يتم تحديد جذور المعادلة على النحو التالي: x = (9 ± √137) / (- 4). هذه هي القيم الدقيقة للجذور ، إذا قمت بحساب الجذر تقريبًا ، فستحصل على الأرقام: x \ u003d -5.176 و x \ u003d 0.676.

مشكلة هندسية

لنحل مشكلة لا تتطلب فقط القدرة على حساب المميز ، ولكن أيضًا استخدام مهارات التفكير المجرد ومعرفة كيفية كتابة المعادلات التربيعية.

كان بوب لديه لحاف 5 × 4 أمتار. أراد الصبي أن يخيط شريطًا مستمرًا من القماش الجميل حول المحيط بأكمله. ما هي سماكة هذا الشريط إذا كان من المعروف أن بوب يحتوي على 10 أمتار مربعة من القماش.

دع الشريط بسمك xm ، فإن مساحة القماش على طول الجانب الطويل من البطانية ستكون (5 + 2 * x) * x ، وبما أن هناك جانبان طويلان ، فلدينا: 2 * س * (5 + 2 * س). على الجانب القصير ، ستكون مساحة القماش المُخيَّط 4 * x ، نظرًا لوجود جانبين من هذه الجوانب ، نحصل على القيمة 8 * x. لاحظ أنه تمت إضافة 2 * x إلى الجانب الطويل لأن طول اللحاف زاد بهذا الرقم. تبلغ المساحة الإجمالية للنسيج المخيط بالبطانية 10 م². لذلك نحصل على المساواة: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

في هذا المثال ، المميز هو: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. جذره هو 22. باستخدام الصيغة ، نجد الجذور المرغوبة: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5 ؛ 0.5). من الواضح ، من بين الجذور ، أن الرقم 0.5 فقط هو المناسب لحالة المشكلة.

وهكذا ، فإن شريط القماش الذي يخيطه بوب في بطانيته سيكون عرضه 50 سم.

على سبيل المثال ، بالنسبة لثلاثية الحدود \ (3x ^ 2 + 2x-7 \) ، سيكون المميز \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). وبالنسبة لثلاثية الحدود \ (x ^ 2-5x + 11 \) ، فسيكون مساويًا لـ \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

يتم الإشارة إلى المميز بالحرف \ (د \) وغالبًا ما يتم استخدامه عند الحل. أيضًا ، من خلال قيمة المميز ، يمكنك فهم شكل الرسم البياني (انظر أدناه).

التمييز وجذور المعادلة التربيعية

توضح قيمة المميز مقدار المعادلة التربيعية:
- إذا كان \ (D \) موجبًا ، فسيكون للمعادلة جذرين ؛
- إذا كان \ (D \) يساوي صفرًا - جذر واحد فقط ؛
- إذا كان \ (D \) سالبًا ، فلا توجد جذور.

هذا لا يحتاج إلى تعليمه ، فمن السهل التوصل إلى مثل هذا الاستنتاج ، مع العلم أنه من المميز (أي ، \ (\ sqrt (D) \) مضمن في الصيغة لحساب جذور المعادلة التربيعية : \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) و \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D )) (2 أ) \) لنلقي نظرة على كل حالة أكثر.

إذا كان المميز موجبًا

في هذه الحالة ، جذره هو عدد موجب ، مما يعني أن \ (x_ (1) \) و \ (x_ (2) \) سيكونان مختلفين في القيمة ، لأنه في الصيغة الأولى \ (\ sqrt (D) يضاف \) ، وفي الثانية - يطرح. ولدينا جذرين مختلفين.

مثال : أوجد جذور المعادلة \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
المحلول :

إجابه : \ (x_ (1) = 1 \) ؛ \ (س_ (2) = - 3 \)

إذا كان المميز صفرًا

وكم عدد الجذور إذا كان المميز صفرًا؟ دعونا نفكر.

تبدو صيغ الجذر كما يلي: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) و \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- ب- \ الجذر التربيعي (د)) (2 أ) \). وإذا كان المميز صفرًا ، فإن جذره يساوي صفرًا أيضًا. ثم اتضح:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ فارك (-ب + 0) (2 أ) \) \ (= \) \ (\ فارك (-ب) (2 أ) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ فارك (-ب-0) (2 أ) \) \ (= \) \ (\ فارك (-ب) (2 أ) \)

أي أن قيم جذور المعادلة سوف تتطابق ، لأن إضافة الصفر أو طرحه لا يغير شيئًا.

مثال : أوجد جذور المعادلة \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
المحلول :

\ (س ^ 2-4 س + 4 = 0 \)		نكتب المعاملات:
\ (أ = 1 ؛ \) \ (ب = -4 ؛ \) \ (ج = 4 ؛ \)		احسب المميز باستخدام الصيغة \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		إيجاد جذور المعادلة
\ (x_ (1) = \) \ (\ فارك (- (- 4) + \ الجذر التربيعي (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ فارك (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (س_ (2) = \) \ (\ فارك (- (- 4) - \ الجذر التربيعي (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ فارك (4) (2) \) \ (= 2 \)		لدينا جذرين متطابقين ، لذلك لا معنى لكتابتهما بشكل منفصل - نكتبهما كواحد.

إجابه : \ (س = 2 \)

الخامس مجتمع حديثيمكن أن تكون القدرة على إجراء عمليات مع المعادلات التي تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العلمية و التطورات التقنية. يمكن إثبات ذلك من خلال تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. بمساعدة مثل هذه الحسابات ، فإن معظم مسارات الحركة هيئات مختلفة، بما في ذلك الأجسام الفضائية. تستخدم أمثلة حل المعادلات التربيعية ليس فقط في التنبؤ الاقتصادي ، في تصميم المباني وتشييدها ، ولكن أيضًا في أكثر الظروف اليومية العادية. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات التخييم ، في الأحداث الرياضية ، في المتاجر عند التسوق وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.

دعنا نقسم التعبير إلى عوامل مكونة

يتم تحديد درجة المعادلة من خلال الحد الأقصى لقيمة درجة المتغير التي يحتوي عليها التعبير المحدد. إذا كانت تساوي 2 ، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة من الدرجة الثانية.

إذا تحدثنا بلغة الصيغ ، فإن هذه التعبيرات ، بغض النظر عن شكلها ، يمكن دائمًا إحضارها إلى النموذج عندما يتكون الجانب الأيسر من التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير تربيع مع معامله) ، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مكون مجاني ، أي رقم عادي). كل هذا على الجانب الأيمن يساوي 0. في حالة عدم احتواء كثير الحدود على أحد المصطلحات المكونة له ، باستثناء المحور 2 ، يطلق عليه معادلة تربيعية غير مكتملة. ينبغي النظر أولاً في الأمثلة المتعلقة بحل مثل هذه المشكلات ، والتي لا يصعب العثور فيها على قيمة المتغيرات.

إذا كان التعبير يبدو وكأنه يوجد حدين في الجانب الأيمن من التعبير ، وبشكل أكثر دقة ax 2 و bx ، فمن الأسهل إيجاد x عن طريق وضع المتغير بين أقواس. ستبدو معادلتنا الآن على النحو التالي: x (ax + b). علاوة على ذلك ، يصبح من الواضح أن إما x = 0 ، أو يتم تقليل المشكلة لإيجاد متغير من التعبير التالي: ax + b = 0. هذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج 0 فقط إذا كان أحدهما صفرًا.

مثال

س = 0 أو 8 س - 3 = 0

نتيجة لذلك ، حصلنا على جذرين للمعادلة: 0 و 0.375.

يمكن أن تصف المعادلات من هذا النوع حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية ، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة ، باعتبارها الأصل. هنا تدوين رياضييأخذ الشكل التالي: y = v 0 t + gt 2/2. استبدال القيم الضرورية ، معادلة الجانب الأيمن 0 والعثور على المجهول المحتمل ، يمكن للمرء أن يكتشف الوقت المنقضي من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه ، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكن سنتحدث عن هذا لاحقًا.

تحليل التعبير

القاعدة الموصوفة أعلاه تجعل من الممكن حل هذه المشاكل وأكثر الحالات الصعبة. ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.

X2 - 33x + 200 = 0

اكتمل هذا المربع ثلاثي الحدود. أولاً ، نقوم بتحويل التعبير وتفكيكه إلى عوامل. يوجد اثنان منهم: (x-8) و (x-25) = 0. ونتيجة لذلك ، لدينا جذرين 8 و 25.

تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف 9 لهذه الطريقة بإيجاد متغير في التعبيرات ليس فقط من الرتب الثانية ، بل حتى في الرتبتين الثالثة والرابعة.

على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير ، هناك ثلاثة منهم ، وهي (x + 1) و (x-3) و (x + 3).

نتيجة لذلك ، يصبح من الواضح أن معادلة معينةله ثلاثة جذور: -3 ؛ -واحد؛ 3.

استخراج الجذر التربيعي

حالة أخرى من معادلة الدرجة الثانية غير المكتملة هي تعبير مكتوب بلغة الحروف بطريقة يتم فيها بناء الجانب الأيمن من المكونين ax 2 و c. هنا للحصول على قيمة المتغير يتم نقل المصطلح الحر إلى الجانب الأيمن ، وبعد ذلك يتم استخراج الجذر التربيعي من طرفي المساواة. وتجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة عادة ما يكون هناك جذران للمعادلة. الاستثناءات الوحيدة هي المساواة التي لا تحتوي على المصطلح c على الإطلاق ، حيث المتغير يساوي صفرًا ، بالإضافة إلى متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرة ، لا توجد حلول على الإطلاق ، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه بالجذور. ينبغي النظر في أمثلة على حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.

في هذه الحالة ، ستكون جذور المعادلة هي العددين -4 و 4.

حساب مساحة الارض

ظهرت الحاجة إلى هذا النوع من الحسابات في العصور القديمة ، لأن تطور الرياضيات في تلك الأوقات البعيدة كان يرجع إلى حد كبير إلى الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.

يجب أن ننظر أيضًا في أمثلة لحل المعادلات التربيعية التي تم تجميعها على أساس مشاكل من هذا النوع.

لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة يزيد عرضها بمقدار 16 مترًا. يجب إيجاد طول وعرض ومحيط الموقع إذا علم أن مساحته 612 م 2.

لنبدأ العمل ، في البداية سنقوم بعمل المعادلة اللازمة. دعنا نشير إلى عرض القسم على أنه x ، فسيكون طوله (x + 16). يستنتج مما كتب أن المنطقة تحدد بالتعبير x (x + 16) ، والذي ، وفقًا لحالة مشكلتنا ، هو 612. وهذا يعني أن x (x + 16) \ u003d 612.

لا يمكن حل المعادلات التربيعية الكاملة ، وهذا التعبير فقط ، بالطريقة نفسها. لماذا ا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر منه لا يزال يحتوي على عاملين ، إلا أن حاصل ضربهما لا يساوي 0 على الإطلاق ، لذلك يتم استخدام طرق أخرى هنا.

مميز

بادئ ذي بدء ، نقوم بعد ذلك بالتحولات اللازمة مظهر خارجيسيبدو هذا التعبير على النحو التالي: x 2 + 16x - 612 = 0. هذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في الشكل المقابل للمعيار المحدد مسبقًا ، حيث أ = 1 ، ب = 16 ، ج = -612.

يمكن أن يكون هذا مثالًا على حل المعادلات التربيعية من خلال المميز. هنا الحسابات اللازمةتم إنتاجه وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. لا تتيح هذه القيمة المساعدة العثور على القيم المرغوبة في معادلة الدرجة الثانية فحسب ، بل إنها تحدد عدد الخيارات الممكنة. في حالة D> 0 ، يوجد اثنان منهم ؛ ل D = 0 هناك جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

حول الجذور وصيغتها

في حالتنا ، المميز هو: 256 - 4 (-612) = 2704. يشير هذا إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعلم ، يجب أن يستمر حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. يسمح لك بحساب الجذور.

هذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18 ، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلاً ، لأن حجم قطعة الأرض لا يمكن قياسه بقيم سالبة ، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 م. من هنا نحسب الطول: 18 + 16 = 34 ، والمحيط 2 (34+ 18) = 104 (م 2).

أمثلة ومهام

نواصل دراسة المعادلات التربيعية. سيتم إعطاء أمثلة وحل مفصل للعديد منها أدناه.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المساواة ، ونجري تحويلًا ، أي نحصل على شكل المعادلة ، والذي يُطلق عليه عادةً المعادلة القياسية ، ونساويها بالصفر.

15x 2 + 20x + 5-12x 2-27x - 1 = 0

بعد إضافة متشابهة ، نحدد المميز: D \ u003d 49-48 \ u003d 1. إذن سيكون لمعادلتنا جذران. نحسبها وفقًا للصيغة أعلاه ، مما يعني أن أولهما سيساوي 4/3 ، والثاني 1.

2) الآن سوف نكشف عن ألغاز من نوع مختلف.

لنكتشف ما إذا كانت هناك جذور x 2 - 4x + 5 = 1 هنا على الإطلاق؟ للحصول على إجابة شاملة ، نأخذ كثير الحدود إلى الشكل المألوف المقابل ونحسب المميز. في هذا المثال ، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية ، لأن جوهر المشكلة ليس في هذا على الإطلاق. في هذه الحالة ، D \ u003d 16-20 \ u003d -4 ، مما يعني أنه لا توجد جذور بالفعل.

نظرية فييتا

من الملائم حل المعادلات التربيعية من خلال الصيغ أعلاه والمميز ، عندما يتم استخراج الجذر التربيعي من قيمة الأخير. لكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك ، هناك العديد من الطرق للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميته على اسم رجل عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وكان له مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. يمكن رؤية صورته في المقال.

النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير كان على النحو التالي. لقد أثبت أن مجموع جذور المعادلة يساوي -p = b / a ، وناتجها يتوافق مع q = c / a.

الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.

3x2 + 21x - 54 = 0

للتبسيط ، دعنا نحول التعبير:

س 2 + 7 س - 18 = 0

باستخدام نظرية Vieta ، سوف يعطينا هذا ما يلي: مجموع الجذور هو -7 ، وحاصل ضربها -18. من هنا نحصل على أن جذور المعادلة هي العددين -9 و 2. بعد إجراء فحص ، سوف نتأكد من أن قيم المتغيرات هذه تتلاءم حقًا مع التعبير.

رسم بياني ومعادلة القطع المكافئ

ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية ارتباطًا وثيقًا بالمعادلات التربيعية. تم بالفعل تقديم أمثلة على ذلك مسبقًا. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. مثل هذا الاعتماد ، المرسوم في شكل رسم بياني ، يسمى القطع المكافئ. أنواعه المختلفة موضحة في الشكل أدناه.

أي قطع مكافئ له رأس ، أي النقطة التي تخرج منها فروعه. إذا كانت القيمة> 0 ، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية ، وعندما يكون<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تساعد التمثيلات المرئية للوظائف في حل أي معادلات ، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى الرسم. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس بالصيغة المعطاة x 0 = -b / 2a. وبالتعويض بالقيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة ، يمكنك معرفة y 0 ، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ الذي ينتمي إلى المحور y.

تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثيات

هناك الكثير من الأمثلة لحل المعادلات التربيعية ، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا نفكر فيها. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع محور 0x لـ> 0 ممكن فقط إذا استغرق y 0 القيم السالبة. وللحصول على<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. خلاف ذلك د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

من الرسم البياني للقطع المكافئ ، يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. أي ، إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي لوظيفة تربيعية ، يمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالرقم 0 وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x ، يسهل رسمها.

من التاريخ

بمساعدة المعادلات التي تحتوي على متغير مربع ، في الأيام الخوالي ، لم يتم إجراء الحسابات الرياضية فقط وتحديد مساحة الأشكال الهندسية. احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات العظيمة في مجال الفيزياء وعلم الفلك ، وكذلك لعمل تنبؤات فلكية.

كما يقترح العلماء المعاصرون ، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث ذلك قبل أربعة قرون من ظهور عصرنا. بالطبع ، كانت حساباتهم مختلفة اختلافًا جوهريًا عن تلك المقبولة حاليًا واتضح أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال ، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجود الأرقام السالبة. كما أنهم لم يكونوا على دراية بأدق التفاصيل التي يعرفها أي طالب في عصرنا.

ربما حتى قبل علماء بابل ، توصل الحكيم من الهند ، Baudhayama ، إلى حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل حوالي ثمانية قرون من ظهور عصر المسيح. صحيح أن معادلات الدرجة الثانية ، طرق الحل التي قدمها ، كانت أبسط. بالإضافة إليه ، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بأسئلة مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا ، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر ، ولكن لاحقًا تم استخدامها في عملهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت والعديد من الآخرين.

استمرارًا لموضوع "حل المعادلات" ، ستعرفك المادة الواردة في هذه المقالة على المعادلات التربيعية.

دعونا نفكر في كل شيء بالتفصيل: جوهر المعادلة التربيعية وتدوينها ، وتحديد المصطلحات ذات الصلة ، وتحليل مخطط حل المعادلات غير الكاملة والكاملة ، والتعرف على صيغة الجذور والمميز ، وإنشاء روابط بين الجذور والمعاملات ، وبالطبع سنقدم حلاً مرئيًا لأمثلة عملية.

Yandex.RTB R-A-339285-1

المعادلة التربيعية أنواعها

التعريف 1

معادلة من الدرجة الثانيةهي المعادلة مكتوبة كـ أ س 2 + ب س + ج = 0، أين x- متغير ، أ ، ب و جهي بعض الأرقام ، بينما أليس صفرا.

في كثير من الأحيان ، تسمى المعادلات التربيعية أيضًا معادلات من الدرجة الثانية ، نظرًا لأن المعادلة التربيعية في الواقع هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية.

دعنا نعطي مثالاً لتوضيح التعريف المحدد: 9 × 2 + 16 × + 2 = 0 ؛ 7 ، 5 × 2 + 3 ، 1 × + 0 ، 11 = 0 ، إلخ. هي معادلات من الدرجة الثانية.

التعريف 2

الأعداد أ ، ب ، جهي معاملات المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، بينما المعامل أيسمى المعامل الأول ، أو الأكبر ، أو المعامل عند x 2 ، b - المعامل الثاني ، أو المعامل عند x، أ جيسمى عضو مجاني.

على سبيل المثال ، في المعادلة التربيعية 6 × 2 - 2 × - 11 = 0أعلى معامل هو 6 ، والمعامل الثاني هو − 2 ، والمصطلح المجاني يساوي − 11 . دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عند المعاملات بو / أو c سالبة ، ثم يتم استخدام الصيغة المختصرة 6 × 2 - 2 × - 11 = 0، لكن لا 6 × 2 + (- 2) × + (- 11) = 0.

دعونا نوضح هذا الجانب أيضًا: إذا كانت المعاملات أو / أو بمساو 1 أو − 1 ، ثم لا يجوز لهم القيام بدور صريح في كتابة المعادلة التربيعية ، وهو ما يفسر بخصائص كتابة المعاملات العددية المشار إليها. على سبيل المثال ، في المعادلة التربيعية ص 2 - ص + 7 = 0المعامل الأول هو 1 والمعامل الثاني هو − 1 .

المعادلات التربيعية المختزلة وغير المختزلة

وفقًا لقيمة المعامل الأول ، يتم تقسيم المعادلات التربيعية إلى مخفضة وغير مخفضة.

التعريف 3

معادلة تربيعية مخفضةهي معادلة من الدرجة الثانية حيث المعامل الرئيسي هو 1. بالنسبة للقيم الأخرى للمعامل الرئيسي ، تكون المعادلة التربيعية غير مخفضة.

فيما يلي بعض الأمثلة: المعادلات التربيعية x 2-4 · x + 3 = 0 ، x 2 - x - 4 5 = 0 يتم اختزالها ، وفي كل منها يكون المعامل الأول هو 1.

9 × 2 - س - 2 = 0- معادلة تربيعية غير مخفضة ، حيث يختلف المعامل الأول عنها 1 .

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مخفضة عن طريق قسمة أجزائها على المعامل الأول (التحويل المكافئ). سيكون للمعادلة المحولة نفس الجذور مثل المعادلة غير المختصرة أو لن يكون لها جذور على الإطلاق.

سيسمح لنا النظر في مثال محدد بإثبات الانتقال بوضوح من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مختصرة.

مثال 1

بالنظر إلى المعادلة 6 × 2 + 18 × - 7 = 0 . من الضروري تحويل المعادلة الأصلية إلى الصيغة المختصرة.

المحلول

وفقًا للمخطط أعلاه ، نقسم كلا الجزأين من المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 6. ثم نحصل على: (6 × 2 + 18 × - 7): 3 = 0: 3، وهذا مماثل لـ: (6 × 2): 3 + (18 ×): 3-7: 3 = 0و كذلك: (6: 6) × 2 + (18: 6) × - 7: 6 = 0.من هنا: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0. وبالتالي ، يتم الحصول على معادلة مكافئة للمعطى المعطى.

إجابه: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0.

معادلات تربيعية كاملة وغير كاملة

دعونا ننتقل إلى تعريف المعادلة التربيعية. في ذلك ، حددنا ذلك أ ≠ 0. شرط مماثل ضروري للمعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0كان مربعًا تمامًا ، منذ ذلك الحين أ = 0يتحول بشكل أساسي إلى معادلة خط مستقيم ب س + ج = 0.

في الحالة التي تكون فيها المعاملات بو جتساوي الصفر (وهو أمر ممكن ، فرديًا وجماعيًا) ، تسمى المعادلة التربيعية غير مكتملة.

التعريف 4

معادلة تربيعية غير كاملةهي معادلة من الدرجة الثانية أ س 2 + ب س + ج \ u003d 0 ،حيث يوجد واحد على الأقل من المعاملات بو ج(أو كلاهما) يساوي صفر.

معادلة تربيعية كاملةهي معادلة من الدرجة الثانية لا تساوي فيها جميع المعاملات العددية صفرًا.

دعونا نناقش سبب إعطاء أنواع المعادلات التربيعية مثل هذه الأسماء على وجه التحديد.

بالنسبة إلى ب = 0 ، تأخذ المعادلة التربيعية الشكل أ س 2 + 0 س + ج = 0، وهو نفس أ س 2 + ج = 0. في ج = 0تتم كتابة المعادلة التربيعية كـ أ س 2 + ب س + 0 = 0، وهو ما يعادل أ س 2 + ب س = 0. في ب = 0و ج = 0ستأخذ المعادلة الشكل أ س 2 = 0. تختلف المعادلات التي حصلنا عليها عن المعادلة التربيعية الكاملة من حيث أن جوانبها اليسرى لا تحتوي على مصطلح مع المتغير x ، أو مصطلح مجاني ، أو كليهما في وقت واحد. في الواقع ، أعطت هذه الحقيقة اسمًا لهذا النوع من المعادلات - غير مكتمل.

على سبيل المثال ، x 2 + 3 x + 4 = 0 و - 7 x 2-2 x + 1، 3 = 0 هي معادلات تربيعية كاملة ؛ × 2 \ u003d 0 ، - 5 × 2 \ u003d 0 ؛ 11 × 2 + 2 = 0 ، - س 2 - 6 س = 0 معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة

يجعل التعريف الوارد أعلاه من الممكن التمييز بين الأنواع التالية من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ س 2 = 0، المعاملات تتوافق مع مثل هذه المعادلة ب = 0و ج = 0 ؛
• أ × 2 + ج \ u003d 0 من أجل ب \ u003d 0 ؛
• أ س 2 + ب س = 0 ل ج = 0.

فكر في حل كل نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة على التوالي.

حل المعادلة أ × 2 \ u003d 0

كما ذكرنا سابقًا ، تتوافق هذه المعادلة مع المعاملات بو جتساوي الصفر. المعادلة أ س 2 = 0يمكن تحويلها إلى معادلة مكافئة س 2 = 0، والتي نحصل عليها بقسمة طرفي المعادلة الأصلية على الرقم أ، لا يساوي الصفر. الحقيقة الواضحة هي أن جذر المعادلة س 2 = 0هو صفر لأن 0 2 = 0 . هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى ، وهذا ما تفسره خصائص الدرجة: لأي عدد صلا يساوي الصفر ، عدم المساواة صحيحة p2> 0، والتي يتبع ذلك متى ص ≠ 0المساواة ع 2 = 0لن يتم الوصول إليه أبدًا.

التعريف 5

وبالتالي ، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 = 0 ، هناك جذر واحد س = 0.

مثال 2

على سبيل المثال ، لنحل معادلة تربيعية غير مكتملة - 3 × 2 = 0. إنه يعادل المعادلة س 2 = 0، جذره الوحيد س = 0، فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد - صفر.

يتلخص الحل على النحو التالي:

- 3 × 2 \ u003d 0 ، × 2 \ u003d 0 ، س \ u003d 0.

حل المعادلة أ س 2 + ج \ u003d 0

التالي في السطر هو حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، حيث ب \ u003d 0 ، ج ≠ 0 ، أي معادلات النموذج أ س 2 + ج = 0. دعنا نحول هذه المعادلة عن طريق نقل المصطلح من أحد طرفي المعادلة إلى الجانب الآخر ، وتغيير الإشارة إلى الجانب المقابل وقسمة كلا طرفي المعادلة على رقم لا يساوي الصفر:

• يكابد جعلى الجانب الأيمن ، وهو ما يعطي المعادلة أ س 2 = - ج;
• قسّم طرفي المعادلة على أ، ونتيجة لذلك نحصل على x = - c a.

تحويلاتنا مكافئة ، على التوالي ، المعادلة الناتجة تعادل أيضًا المعادلة الأصلية ، وهذه الحقيقة تجعل من الممكن استخلاص استنتاج حول جذور المعادلة. من ما هي القيم أو جيعتمد على قيمة التعبير - c a: يمكن أن يكون لها علامة ناقص (على سبيل المثال ، if أ = 1و ج = 2، إذن - ج أ = - 2 1 = - 2) أو علامة زائد (على سبيل المثال ، إذا أ = -2و ج = 6، ثم - ج أ = - 6-2 = 3) ؛ لا يساوي الصفر لأن ج ≠ 0. دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول المواقف التي - c a< 0 и - c a > 0 .

في حالة - ج أ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа صالمساواة ص 2 = - لا يمكن أن يكون ج أ صحيحًا.

يختلف كل شيء عندما - c a> 0: تذكر الجذر التربيعي ، وسيصبح من الواضح أن جذر المعادلة x 2 \ u003d - c a سيكون الرقم - c a ، منذ - c a 2 \ u003d - c a. من السهل أن نفهم أن الرقم - - ج أ - هو أيضًا جذر المعادلة × 2 = - ج أ: في الواقع ، - - ج أ 2 = - ج أ.

لن يكون للمعادلة جذور أخرى. يمكننا توضيح ذلك باستخدام الطريقة المعاكسة. أولًا ، دعنا نضع تدوين الجذور أعلاه على النحو التالي × 1و - × 1. لنفترض أن المعادلة س 2 = - ج أ لها أيضًا جذر x2الذي يختلف عن الجذور × 1و - × 1. نعلم ذلك بالتعويض في المعادلة بدلاً من xبجذورها ، نقوم بتحويل المعادلة إلى مساواة عددية عادلة.

ل × 1و - × 1اكتب: x 1 2 = - c a و for x2- × 2 2 \ u003d - ج أ. استنادًا إلى خصائص المساواة العددية ، نطرح مساواة حقيقية من مصطلح آخر حسب المصطلح ، والذي سيعطينا: × ١ ٢ - × ٢ ٢ = ٠. استخدم خصائص العمليات العددية لإعادة كتابة المساواة الأخيرة كـ (× 1 - × 2) (× 1 + × 2) = 0. من المعروف أن حاصل ضرب عددين يكون صفرًا فقط إذا كان أحدهما على الأقل صفرًا. مما قيل يتبع ذلك x1 - x2 = 0و / أو س 1 + س 2 = 0، وهو نفس الشيء x2 = x1و / أو س 2 = - س 1. نشأ تناقض واضح ، لأنه في البداية تم الاتفاق على جذر المعادلة x2يختلف عن × 1و - × 1. لذا ، فقد أثبتنا أن المعادلة ليس لها جذور أخرى غير x = - c a و x = - - c a.

نلخص كل الحجج أعلاه.

التعريف 6

معادلة تربيعية غير كاملة أ س 2 + ج = 0تكافئ المعادلة س 2 = - ج أ ، والتي:

• لن يكون لها جذور في - ج أ< 0 ;
• سيكون له جذرين x = - c a و x = - - c a عندما - c a> 0.

دعونا نعطي أمثلة على حل المعادلات أ س 2 + ج = 0.

مثال 3

بالنظر إلى المعادلة التربيعية 9 × 2 + 7 = 0.من الضروري إيجاد حلها.

المحلول

ننقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، ثم تأخذ المعادلة الشكل 9 × 2 \ u003d - 7.
نقسم طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، نصل إلى x 2 = - 7 9. على الجانب الأيمن ، نرى عددًا بعلامة ناقص ، مما يعني أن المعادلة المعطاة ليس لها جذور. ثم المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة 9 × 2 + 7 = 0لن يكون لها جذور.

إجابه:المعادلة 9 × 2 + 7 = 0ليس له جذور.

مثال 4

من الضروري حل المعادلة - س 2 + 36 = 0.

المحلول

دعنا ننتقل 36 إلى الجانب الأيمن: - س 2 = - 36.
دعونا نقسم كلا الجزأين إلى − 1 ، نحن نحصل س 2 = 36. يوجد على الجانب الأيمن رقم موجب ، ويمكننا استنتاج ذلك منه س = 36 أو س = - 36.
نستخرج الجذر ونكتب النتيجة النهائية: معادلة تربيعية غير مكتملة - س 2 + 36 = 0له جذور س = 6أو س = -6.

إجابه: س = 6أو س = -6.

حل المعادلة أ س 2 + ب س = 0

دعونا نحلل النوع الثالث من المعادلات التربيعية غير المكتملة ، متى ج = 0. لإيجاد حل لمعادلة غير كاملة من الدرجة الثانية أ س 2 + ب س = 0، نستخدم طريقة التحليل. دعونا نحلل كثير الحدود ، الموجود في الجانب الأيسر من المعادلة ، مع إخراج العامل المشترك من الأقواس x. ستجعل هذه الخطوة من الممكن تحويل المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى معادلة لها س (أ س + ب) = 0. وهذه المعادلة بدورها تعادل مجموعة المعادلات س = 0و أ س + ب = 0. المعادلة أ س + ب = 0خطي وجذره: س = - ب أ.

التعريف 7

وهكذا ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ب س = 0سيكون له جذرين س = 0و س = - ب أ.

دعنا ندمج المادة بمثال.

مثال 5

من الضروري إيجاد حل المعادلة 2 3 · x 2-2 2 7 · x = 0.

المحلول

دعنا نخرج xخارج الأقواس واحصل على المعادلة x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. هذه المعادلة تعادل المعادلات س = 0و 2 3 س - 2 2 7 = 0. الآن يجب أن تحل المعادلة الخطية الناتجة: 2 3 · س = 2 2 7 ، س = 2 2 7 2 3.

باختصار نكتب حل المعادلة كالتالي:

٢ ٣ × ٢ - ٢ ٢ ٧ × = ٠ × ٢ ٣ × - ٢ ٢ ٧ = ٠

س = 0 أو 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو س = 3 3 7

إجابه:س = 0 ، س = 3 3 7.

التمييز ، صيغة جذور المعادلة التربيعية

لإيجاد حل للمعادلات التربيعية ، توجد صيغة جذر:

التعريف 8

س = - ب ± د 2 أ ، أين د = ب 2-4 أ جهو ما يسمى بتمييز المعادلة التربيعية.

تعني الكتابة x \ u003d - b ± D 2 a بشكل أساسي أن x 1 \ u003d - b + D 2 a، x 2 \ u003d - b - D 2 a.

سيكون من المفيد فهم كيفية اشتقاق الصيغة المشار إليها وكيفية تطبيقها.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

افترض أننا نواجه مهمة حل معادلة من الدرجة الثانية أ س 2 + ب س + ج = 0. لننفذ عددًا من التحولات المكافئة:

• قسّم طرفي المعادلة على الرقم أ، بخلاف الصفر ، نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة: x 2 + b a x + c a \ u003d 0 ؛
• حدد المربع الكامل على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  بعد ذلك ، ستأخذ المعادلة الشكل: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \ u003d 0 ؛
• من الممكن الآن نقل المصطلحين الأخيرين إلى الجانب الأيمن ، وتغيير الإشارة إلى العكس ، وبعد ذلك نحصل على: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a؛
• أخيرًا ، نقوم بتحويل التعبير المكتوب على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة:
  ب 2 أ 2 - ج أ \ u003d ب 2 4 أ 2 - ج أ \ u003d ب 2 4 أ 2-4 أ ج 4 أ 2 \ u003d ب 2-4 أ ج 4 أ 2.

وهكذا توصلنا إلى المعادلة س + ب 2 أ 2 = ب 2-4 أ ج 4 أ 2 ، وهو ما يعادل المعادلة الأصلية أ س 2 + ب س + ج = 0.

ناقشنا حل هذه المعادلات في الفقرات السابقة (حل المعادلات التربيعية غير المكتملة). تتيح الخبرة المكتسبة بالفعل استخلاص استنتاج فيما يتعلق بجذور المعادلة x + b 2 a 2 = b 2-4 a c 4 a 2:

• من أجل ب 2-4 أ ج 4 أ 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• بالنسبة إلى ب 2 - 4 أ ج 4 أ 2 = 0 ، فإن المعادلة لها الصورة س + ب 2 أ 2 = 0 ، ثم س + ب 2 أ = 0.

من هنا ، الجذر الوحيد x = - b 2 · a واضح ؛

• بالنسبة لـ b 2-4 a c 4 a 2> 0 ، فإن ما يلي صحيح: x + b 2 a = b 2-4 a c 4 a 2 أو x = b 2 a - b 2-4 ac 4 a 2 ، وهو نفسه مثل س + - ب 2 أ = ب 2-4 أك 4 أ 2 أو س = - ب 2 أ - ب 2-4 أ ج 4 أ 2 ، أي المعادلة لها جذران.

من الممكن أن نستنتج أن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة x + b 2 a 2 = b 2-4 ac 4 a 2 (ومن ثم المعادلة الأصلية) يعتمد على علامة التعبير b 2-4 ac 4 · 2 مكتوب على الجانب الأيمن. وإشارة هذا المقدار تُعطى بعلامة البسط (المقام 4 أ 2ستكون دائمًا إيجابية) ، أي علامة التعبير ب 2-4 أ ج. هذا التعبير ب 2-4 أ جيتم إعطاء اسم - مميز المعادلة التربيعية ويتم تعريف الحرف D على أنه تعيينه. هنا يمكنك كتابة جوهر المميز - بقيمته وإشاراته ، يستنتجون ما إذا كانت المعادلة التربيعية سيكون لها جذور حقيقية ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكم عدد الجذور - واحد أو اثنان.

لنعد إلى المعادلة س + ب 2 أ 2 = ب 2 - 4 أ ج 4 أ 2. دعنا نعيد كتابتها باستخدام الرمز المميز: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

دعنا نلخص الاستنتاجات:

التعريف 9

• في د< 0 المعادلة ليس لها جذور حقيقية ؛
• في د = 0للمعادلة جذر واحد x = - b 2 · a ؛
• في د> 0للمعادلة جذرين: س \ u003d - ب 2 أ + د 4 أ 2 أو س \ u003d - ب 2 أ - د 4 أ 2. بناءً على خصائص الجذور ، يمكن كتابة هذه الجذور على النحو التالي: x \ u003d - b 2 a + D 2 a or - b 2 a - D 2 a. وعندما نفتح الوحدات ونختزل الكسور إلى قاسم مشترك ، نحصل على: x \ u003d - b + D 2 a، x \ u003d - b - D 2 a.

إذن ، نتيجة تفكيرنا كانت اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية:

س = - ب + د 2 أ ، س = - ب - د 2 أ ، مميز دمحسوبة بالصيغة د = ب 2-4 أ ج.

تتيح هذه الصيغ تحديد الجذور الحقيقية عندما يكون المميز أكبر من الصفر. عندما يكون المميز صفرًا ، فإن تطبيق كلتا الصيغتين سيعطي نفس الجذر مثل الحل الوحيد للمعادلة التربيعية. في الحالة التي يكون فيها المميز سالبًا ، نحاول استخدام صيغة الجذر التربيعي ، سنواجه الحاجة إلى استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب ، وهو ما سيأخذنا إلى ما وراء الأعداد الحقيقية. مع التمييز السلبي ، لن يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية ، ولكن زوج من الجذور المترافقة المعقدة ممكن ، تحددها نفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

من الممكن حل معادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر على الفور ، ولكن يتم ذلك بشكل أساسي عندما يكون من الضروري إيجاد جذور معقدة.

في معظم الحالات ، لا يُقصد بالبحث عادة البحث عن الجذور المعقدة ، ولكن للجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. ثم من الأفضل ، قبل استخدام الصيغ لجذور المعادلة التربيعية ، أولاً تحديد المميز والتأكد من أنه ليس سالبًا (وإلا فإننا نستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية) ، ثم ننتقل إلى حساب قيمة الجذور.

يجعل المنطق أعلاه من الممكن صياغة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية.

التعريف 10

لحل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، من الضروري:

• حسب الصيغة د = ب 2-4 أ جأوجد قيمة المميز ؛
• في د< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• من أجل D = 0 أوجد الجذر الوحيد للمعادلة بالصيغة x = - b 2 · a؛
• بالنسبة إلى D> 0 ، حدد جذرين حقيقيين للمعادلة التربيعية بالصيغة x = - b ± D 2 · a.

لاحظ أنه عندما يكون المميز صفرًا ، يمكنك استخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a ، ستعطي نفس نتيجة الصيغة x = - b 2 · a.

ضع في اعتبارك الأمثلة.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

دعونا نعطي مثالا على حل ل قيم مختلفةمميز.

مثال 6

من الضروري إيجاد جذور المعادلة س 2 + 2 س - 6 = 0.

المحلول

نكتب المعاملات العددية للمعادلة التربيعية: أ \ u003d 1 ، ب \ u003d 2 و ج = - 6. بعد ذلك ، نتصرف وفقًا للخوارزمية ، أي لنبدأ في حساب المميز ، الذي نعوض به المعاملين أ ، ب و جفي الصيغة المميزة: د = ب 2-4 أ ج = 2 2-4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

إذن ، حصلنا على D> 0 ، مما يعني أن المعادلة الأصلية سيكون لها جذرين حقيقيين.
للعثور عليهم ، نستخدم صيغة الجذر x \ u003d - b ± D 2 · a واستبدال القيم المناسبة ، نحصل على: x \ u003d - 2 ± 28 2 · 1. نبسط التعبير الناتج عن طريق إخراج العامل من علامة الجذر ، متبوعًا بتقليل الكسر:

س = - 2 ± 2 7 2

س = - 2 + 2 7 2 أو س = - 2 - 2 7 2

س = - 1 + 7 أو س = - 1 - 7

إجابه:س = - 1 + 7 ، س = - 1 - 7.

مثال 7

من الضروري حل المعادلة التربيعية - 4 × 2 + 28 × - 49 = 0.

المحلول

دعنا نحدد المميز: د = 28 2-4 (- 4) (- 49) = 784-784 = 0. بهذه القيمة المميزة ، سيكون للمعادلة الأصلية جذر واحد فقط ، تحدده الصيغة x = - b 2 · a.

س = - 28 2 (- 4) س = 3 ، 5

إجابه: س = 3 ، 5.

المثال 8

من الضروري حل المعادلة 5 ص 2 + 6 ص + 2 = 0

المحلول

ستكون المعاملات العددية لهذه المعادلة: أ = 5 ، ب = 6 ، ج = 2. نستخدم هذه القيم لإيجاد المميز: D = b 2-4 · a · c = 6 2-4 · 5 · 2 = 36-40 = - 4. المميز المحسوب سالب ، وبالتالي فإن المعادلة التربيعية الأصلية ليس لها جذور حقيقية.

في الحالة التي تكون فيها المهمة تحديد الجذور المعقدة ، فإننا نطبق صيغة الجذر من خلال إجراء عمليات بأرقام معقدة:

س \ u003d - 6 ± - 4 2 5 ،

س \ u003d - 6 + 2 أنا 10 أو س \ u003d - 6-2 أنا 10 ،

x = - 3 5 + 1 5 i أو x = - 3 5-1 5 i.

إجابه:لا توجد جذور حقيقية. الجذور المركبة هي: - 3 5 + 1 5 i ، - 3 5 - 1 5 i.

الخامس المناهج الدراسيةبشكل افتراضي ، لا يوجد شرط للبحث عن جذور معقدة ، لذلك إذا تم تحديد المميز على أنه سلبي أثناء الحل ، يتم تسجيل الإجابة على الفور بأنه لا توجد جذور حقيقية.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

صيغة الجذر x = - b ± D 2 a (D = b 2-4 ac) تجعل من الممكن الحصول على صيغة أخرى ، أكثر إحكاما ، تسمح لك بإيجاد حلول للمعادلات التربيعية بمعامل زوجي عند x (أو بمعامل بالصيغة 2 a n ، على سبيل المثال ، 2 3 أو 14 ln 5 = 2 7 ln 5). دعونا نظهر كيف يتم اشتقاق هذه الصيغة.

لنفترض أننا نواجه مهمة إيجاد حل للمعادلة التربيعية أ · س 2 + 2 · ن · س + ج = 0. نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية: نحدد المميز D = (2 n) 2-4 a c = 4 n 2-4 a c = 4 (n 2 - a c) ، ثم نستخدم صيغة الجذر:

x \ u003d - 2 n ± D 2 a، x \ u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a، x \ u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a، x \ u003d - n ± n 2 - أ · كاليفورنيا.

دع التعبير n 2 - a c يُشار إليه على أنه D 1 (أحيانًا يُشار إليه بـ D "). ثم تأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية مع المعامل الثاني 2 n الشكل:

س \ u003d - n ± D 1 أ ، حيث د 1 \ u003d ن 2 - أ ج.

من السهل ملاحظة أن D = 4 · D 1 أو D 1 = D 4. بمعنى آخر ، D 1 هي ربع المميز. من الواضح أن علامة D 1 هي نفس علامة D ، مما يعني أن علامة D 1 يمكن أن تكون أيضًا بمثابة مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

التعريف 11

وبالتالي ، لإيجاد حل لمعادلة تربيعية بمعامل ثانٍ قدره 2 ن ، من الضروري:

• أوجد D 1 = n 2 - a c ؛
• في D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• من أجل D 1 = 0 ، حدد الجذر الوحيد للمعادلة بالصيغة x = - n a ؛
• من أجل D 1> 0 ، أوجد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة x = - n ± D 1 a.

المثال 9

من الضروري حل المعادلة التربيعية 5 · x 2-6 · x - 32 = 0.

المحلول

يمكن تمثيل المعامل الثاني للمعادلة المعطاة على أنها 2 · (- 3). ثم نعيد كتابة المعادلة التربيعية المعطاة كما يلي: 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 = 0 ، حيث a = 5 و n = - 3 و c = - 32.

لنحسب الجزء الرابع من المميز: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2-5 (- 32) = 9 + 160 = 169. القيمة الناتجة موجبة ، مما يعني أن للمعادلة جذرين حقيقيين. نحددهم بالصيغة المقابلة للجذور:

س = - ن ± د 1 أ ، س = - - 3 ± 169 5 ، س = 3 ± 13 5 ،

س = 3 + 13 5 أو س = 3-13 5

س = 3 1 5 أو س = - 2

سيكون من الممكن إجراء العمليات الحسابية باستخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية ، ولكن في هذه الحالة سيكون الحل أكثر تعقيدًا.

إجابه:س = 3 1 5 أو س = - 2.

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان يكون من الممكن تحسين شكل المعادلة الأصلية ، مما يبسط عملية حساب الجذور.

على سبيل المثال ، من الواضح أن المعادلة التربيعية 12 × 2-4 × - 7 \ u003d 0 أكثر ملاءمة لحل من 1200 × 2-400 × - 700 \ u003d 0.

في كثير من الأحيان ، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية بضرب أو قسمة كلا الجزأين على رقم معين. على سبيل المثال ، أظهرنا أعلاه تمثيلًا مبسطًا للمعادلة 1200 × 2-400 × - 700 = 0 ، يتم الحصول عليها بقسمة كلا الجزأين على 100.

مثل هذا التحول ممكن عندما لا تكون معاملات المعادلة التربيعية أعدادًا أولية نسبيًا. ثم من الشائع قسمة طرفي المعادلة على القاسم المشترك الأكبر القيم المطلقةمعاملاتها.

كمثال ، نستخدم المعادلة التربيعية 12 × 2 - 42 × + 48 = 0. دعونا نحدد gcd للقيم المطلقة لمعاملاته: gcd (12، 42، 48) = gcd (12، 42)، 48) = gcd (6، 48) = 6. دعنا نقسم كلا الجزأين من المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ونحصل على المعادلة التربيعية المكافئة 2 · x 2-7 · x + 8 = 0.

بضرب طرفي المعادلة التربيعية ، عادة ما يتم حذف المعاملات الكسرية. في هذه الحالة ، اضرب في المضاعف المشترك الأصغر لمقام معاملاته. على سبيل المثال ، إذا تم ضرب كل جزء من المعادلة التربيعية 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \ u003d 0 بـ LCM (6 ، 3 ، 1) \ u003d 6 ، فسيتم كتابتها أكثر نموذج بسيطس 2 + 4 س - 18 = 0.

أخيرًا ، نلاحظ أنه دائمًا ما يتم التخلص من الطرح عند المعامل الأول للمعادلة التربيعية ، وتغيير إشارات كل مصطلح من المعادلة ، والذي يتحقق بضرب (أو قسمة) كلا الجزأين في - 1. على سبيل المثال ، من المعادلة التربيعية - 2 × 2 - 3 × + 7 \ u003d 0 ، يمكنك الانتقال إلى نسختها المبسطة 2 × 2 + 3 × - 7 \ u003d 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات

الصيغة المعروفة لجذور المعادلات التربيعية x = - b ± D 2 · a تعبر عن جذور المعادلة بدلالة معاملاتها العددية. يعتمد على هذه الصيغة، لدينا الفرصة لتحديد التبعيات الأخرى بين الجذور والمعاملات.

الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق هي صيغ نظرية فييتا:

x 1 + x 2 \ u003d - b a و x 2 \ u003d c a.

على وجه الخصوص ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة ، يكون مجموع الجذور هو المعامل الثاني بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني. على سبيل المثال ، من خلال صيغة المعادلة التربيعية 3 · x 2 - 7 · x + 22 = 0 ، من الممكن تحديد أن مجموع جذورها هو 7 3 ، وحاصل ضرب الجذور هو 22 3.

يمكنك أيضًا العثور على عدد من العلاقات الأخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية من حيث المعاملات:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter