سوف نتعلم كيفية العثور على مشتقات الدوال المحددة ضمنيًا، أي المحددة بواسطة معادلات معينة تربط المتغيرات سو ذ. أمثلة على الوظائف المحددة ضمنيًا:
,
,
يتم العثور على مشتقات الوظائف المحددة ضمنيًا، أو مشتقات الوظائف الضمنية، بكل بساطة. الآن دعونا نلقي نظرة على القاعدة والمثال المقابلين، ثم نكتشف سبب الحاجة إلى ذلك بشكل عام.
من أجل العثور على مشتق دالة محددة ضمنيًا، عليك التفريق بين طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ x. تلك المصطلحات التي يوجد فيها X فقط سوف تتحول إلى المشتق المعتاد للدالة من X. ويجب التمييز بين مصطلحات اللعبة باستخدام قاعدة التمييز بين دالة معقدة، نظرًا لأن اللعبة عبارة عن دالة لـ X. بكل بساطة، فإن المشتق الناتج للمصطلح مع x يجب أن يؤدي إلى: مشتق الدالة من y مضروبًا في المشتق من y. على سبيل المثال، سيتم كتابة مشتق المصطلح كـ، سيتم كتابة مشتق المصطلح كـ . بعد ذلك، من كل هذا، تحتاج إلى التعبير عن "ضربة اللعبة" هذه وسيتم الحصول على المشتق المطلوب للوظيفة المحددة ضمنيًا. دعونا ننظر إلى هذا مع مثال.
مثال 1.
حل. نحن نفرق طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ x، بافتراض أن i دالة لـ x:
من هنا نحصل على المشتقة المطلوبة في المهمة:
الآن شيئًا عن الخاصية الغامضة للوظائف المحددة ضمنيًا، ولماذا هناك حاجة إلى قواعد خاصة لتمييزها. في بعض الحالات، يمكنك التأكد من أن استبدال التعبير بدلالة x في معادلة معينة (انظر الأمثلة أعلاه) بدلا من اللعبة، يؤدي إلى حقيقة أن هذه المعادلة تتحول إلى هوية. لذا. تحدد المعادلة أعلاه ضمنيًا الوظائف التالية:
بعد استبدال تعبير اللعبة التربيعية من خلال x في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية:
.
تم الحصول على التعبيرات التي قمنا باستبدالها عن طريق حل معادلة اللعبة.
إذا أردنا التمييز بين الوظيفة الصريحة المقابلة
فسنحصل على الإجابة كما في المثال 1 - من دالة محددة ضمنيًا:
ولكن لا يمكن تمثيل كل دالة محددة ضمنيًا في النموذج ذ = F(س) . لذلك، على سبيل المثال، الوظائف المحددة ضمنيا
لا يتم التعبير عنها من خلال وظائف أوليةأي أن هذه المعادلات لا يمكن حلها بالنسبة للاعب. لذلك، هناك قاعدة للتمييز بين دالة محددة ضمنيًا، والتي درسناها بالفعل وسنطبقها باستمرار في أمثلة أخرى.
مثال 2.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:
.
نعبر عن العدد الأولي و- عند الإخراج- مشتق الدالة المحددة ضمنيًا:
مثال 3.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:
.
حل. نحن نفرق طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ x:
.
مثال 4.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:
.
حل. نحن نفرق طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ x:
.
نعبر ونحصل على المشتق:
.
مثال 5.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:
حل. ننقل الحدود الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ونترك صفرًا على اليمين. نحن نفرق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x.
تعريف.دع الدالة \(y = f(x)\) محددة في فترة زمنية معينة تحتوي على النقطة \(x_0\). دعونا نعطي الوسيطة زيادة \(\Delta x \) بحيث لا تترك هذه الفترة. لنجد الزيادة المقابلة للدالة \(\Delta y \) (عند الانتقال من النقطة \(x_0 \) إلى النقطة \(x_0 + \Delta x \)) وننشئ العلاقة \(\frac(\Delta ذ)(\دلتا س) \). إذا كان هناك حد لهذه النسبة عند \(\Delta x \rightarrow 0\)، فسيتم استدعاء الحد المحدد مشتق من وظيفة\(y=f(x) \) عند النقطة \(x_0 \) وتدل على \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
غالبًا ما يستخدم الرمز y للدلالة على المشتق. لاحظ أن y" = f(x) هي دالة جديدة، ولكنها مرتبطة بطبيعة الحال بالدالة y = f(x)، المحددة في جميع النقاط x التي يوجد عندها الحد أعلاه. تسمى هذه الوظيفة مثل هذا: مشتقة الدالة y = f(x).
المعنى الهندسي للمشتقعلى النحو التالي. إذا كان من الممكن رسم مماس للرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة ذات الإحداثي السيني x=a، وهي ليست موازية للمحور y، فإن f(a) يعبر عن ميل المماس :
\(ك = و"(أ)\)
بما أن \(k = tg(a) \)، فإن المساواة \(f"(a) = tan(a) \) صحيحة.
والآن دعونا نفسر تعريف المشتقة من وجهة نظر المساواة التقريبية. دع الدالة \(y = f(x)\) لها مشتق عند نقطة محددة \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
هذا يعني أنه بالقرب من النقطة x توجد المساواة التقريبية \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\)، أي \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). المعنى المعنى للمساواة التقريبية الناتجة هو كما يلي: زيادة الدالة "متناسبة تقريبًا" مع زيادة الوسيطة، ومعامل التناسب هو قيمة المشتق في نقطة معينة X. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة \(y = x^2\) تكون المساواة التقريبية \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) صالحة. إذا قمنا بتحليل تعريف المشتق بعناية، فسنجد أنه يحتوي على خوارزمية للعثور عليه.
دعونا صياغة ذلك.
كيف تجد مشتقة الدالة y = f(x)؟
1. أصلح قيمة \(x\)، ابحث عن \(f(x)\)
2. أعط الوسيطة \(x\) زيادة \(\Delta x\)، انتقل إلى نقطة جديدة\(x+ \Delta x \)، ابحث عن \(f(x+ \Delta x) \)
3. أوجد زيادة الدالة: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. قم بإنشاء العلاقة \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. احسب $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
هذه النهاية هي مشتقة الدالة عند النقطة x.
إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عند النقطة x، فإنها تسمى قابلة للتفاضل عند النقطة x. يتم استدعاء الإجراء الخاص بإيجاد مشتق الدالة y = f(x). التفاضلوظائف ص = و(خ).
دعونا نناقش السؤال التالي: كيف ترتبط استمرارية الوظيفة واختلافها عند نقطة ما ببعضها البعض؟
دع الدالة y = f(x) تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة x. بعد ذلك يمكن رسم المماس على الرسم البياني للدالة عند النقطة M(x; f(x))، وتذكر أن المعامل الزاوي للظل يساوي f "(x). مثل هذا الرسم البياني لا يمكن أن "ينكسر" عند النقطة M، أي أن الدالة يجب أن تكون متصلة عند النقطة x.
وكانت هذه حجج "عملية". دعونا نعطي سببا أكثر صرامة. إذا كانت الدالة y = f(x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x، فإن المساواة التقريبية \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) تظل ثابتة. إذا كانت في هذه المساواة \(\Delta x\) \) يميل إلى الصفر، ثم \(\Delta y \) سوف يميل إلى الصفر، وهذا هو شرط استمرارية الدالة عند نقطة ما.
لذا، إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة x، فهي متصلة عند تلك النقطة.
البيان العكسي غير صحيح. على سبيل المثال: الدالة y = |x| تكون مستمرة في كل مكان، خاصة عند النقطة x = 0، لكن مماس الرسم البياني للدالة عند "نقطة الوصل" (0؛ 0) غير موجود. إذا لم يكن من الممكن في مرحلة ما رسم مماس على الرسم البياني للدالة، فإن المشتقة غير موجودة عند تلك النقطة.
مثال آخر. الدالة \(y=\sqrt(x)\) متصلة على خط الأعداد بأكمله، بما في ذلك عند النقطة x = 0. ويكون مماس الرسم البياني للدالة موجودًا عند أي نقطة، بما في ذلك النقطة x = 0 لكن عند هذه النقطة يتزامن المماس مع المحور y، أي أنه عمودي على محور الإحداثي السيني، ومعادلته لها الشكل x = 0. مثل هذا الخط المستقيم ليس له معامل زاوية، مما يعني أن \(f). "(0)\) غير موجود.
لذلك، تعرفنا على خاصية جديدة للوظيفة - التمايز. كيف يمكن للمرء أن يستنتج من الرسم البياني للدالة أنها قابلة للاشتقاق؟
الجواب في الواقع مذكور أعلاه. إذا كان من الممكن في مرحلة ما رسم مماس للرسم البياني لدالة ليست متعامدة مع محور الإحداثي السيني، عند هذه النقطة تكون الدالة قابلة للاشتقاق. إذا كان ظل الرسم البياني للدالة غير موجود في مرحلة ما أو كان عموديًا على محور الإحداثي السيني، فإن الدالة عند هذه النقطة غير قابلة للاشتقاق.
قواعد التمايز
تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل. عند إجراء هذه العملية، غالبًا ما يتعين عليك العمل مع خارج القسمة، والمبالغ، وحاصل الدوال، بالإضافة إلى "وظائف الوظائف"، أي الوظائف المعقدة. استنادًا إلى تعريف المشتقة، يمكننا استخلاص قواعد الاشتقاق التي تسهل هذا العمل. إذا كان C رقمًا ثابتًا وكانت f=f(x) وg=g(x) بعض الدوال القابلة للتفاضل، فإن ما يلي صحيح قواعد التمايز:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
جدول مشتقات بعض الوظائف
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات العملية (على سبيل المثال، في الجيوديسيا العليا أو المسح التصويري التحليلي)، تظهر وظائف معقدة للعديد من المتغيرات، أي الحجج س، ص، ض وظيفة واحدة و (س، ص، ض) ) هي في حد ذاتها وظائف للمتغيرات الجديدة يو، في، دبليو ).
يحدث هذا، على سبيل المثال، عند الانتقال من نظام إحداثيات ثابت أوكيز في نظام الهاتف المحمول يا 0 UVW والعودة. في الوقت نفسه، من المهم معرفة جميع المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات "الثابتة" - "القديمة" و"المتحركة" - "الجديدة"، نظرًا لأن هذه المشتقات الجزئية تميز عادةً موضع الكائن في أنظمة الإحداثيات هذه ، وعلى وجه الخصوص، التأثير على تطابق الصور الجوية مع جسم حقيقي. في مثل هذه الحالات، تنطبق الصيغ التالية:
وهذا هو، يتم إعطاء وظيفة معقدة ت ثلاثة متغيرات "جديدة". يو، في، دبليو من خلال ثلاثة متغيرات "قديمة". س، ذ، ض، ثم:
تعليق. قد تكون هناك اختلافات في عدد المتغيرات. على سبيل المثال: إذا
على وجه الخصوص، إذا ض = و(س ص)، ص = ص (س) ، ثم نحصل على ما يسمى بصيغة "المشتق الإجمالي":
نفس الصيغة لـ "المشتق الإجمالي" في حالة:
سوف تأخذ النموذج:
من الممكن أيضًا استخدام أشكال أخرى من الصيغ (1.27) - (1.32).
ملاحظة: يتم استخدام صيغة "المشتقة الكلية" في مقرر الفيزياء قسم "الهيدروديناميكية" عند استخلاص النظام الأساسي لمعادلات حركة الموائع.
مثال 1.10. منح:
وفقا ل(1.31):
§7 المشتقات الجزئية لدالة معطاة ضمنيا لعدة متغيرات
وكما هو معروف، يتم تعريف دالة محددة ضمنياً لمتغير واحد على النحو التالي: دالة المتغير المستقل س يسمى ضمنيًا إذا تم إعطاؤه بواسطة معادلة لم يتم حلها فيما يتعلق بـ ذ :
مثال 1.11.
المعادلة
يحدد ضمنيًا وظيفتين:
والمعادلة
لا يحدد أي وظيفة.
النظرية 1.2 (وجود دالة ضمنية).
دع الوظيفة ض = و (س، ص) ومشتقاته الجزئية F" س و F" ذ محددة ومستمرة في بعض الأحياء ش م0 نقاط م 0 (x 0 ذ 0 ) . بجانب، و(س 0 ، ذ 0 )=0 و و"(x 0 ، ذ 0 )≠0 فتحدد المعادلة (1.33) في الجوار ش م0 وظيفة ضمنية ص = ص (س) ومستمرة وقابلة للتفاضل في فترة معينة د تتمركز في نقطة ما س 0 ، و ذ(س 0 )=y 0 .
لا إثبات.
من النظرية 1.2 يتبع ذلك في هذه الفترة د :
أي أن هناك هوية في
حيث يوجد المشتقة "الإجمالية" حسب (1.31)
أي أن (1.35) يعطي صيغة إيجاد المشتق ضمنيًا وظيفة معينةمتغير واحد س .
يتم تعريف الوظيفة الضمنية لمتغيرين أو أكثر بالمثل.
على سبيل المثال، إذا كان في بعض المناطق الخامس فضاء أوكيز المعادلة التالية تحمل:
ثم في ظل بعض الظروف على الوظيفة F فهو يحدد ضمنا وظيفة
علاوة على ذلك، وبالقياس على (1.35)، توجد مشتقاتها الجزئية على النحو التالي.
دع الدالة يتم تحديدها ضمنيًا باستخدام المعادلة
(1)
.
ودع هذه المعادلة، لبعض القيمة، يكون لها حل فريد. دع الدالة تكون دالة قابلة للتمييز عند النقطة و
.
ثم، عند هذه القيمة، هناك مشتق، والذي يتم تحديده بواسطة الصيغة:
(2)
.
دليل
لإثبات ذلك، اعتبر الدالة كدالة معقدة للمتغير:
.
دعونا نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة ونجد المشتقة بالنسبة للمتغير من اليسار و الأجزاء الصحيحةالمعادلات
(3)
:
.
بما أن مشتقة الثابت هي صفر و إذن
(4)
;
.
تم إثبات الصيغة.
مشتقات الترتيب العالي
دعونا نعيد كتابة المعادلة (4) باستخدام رموز مختلفة:
(4)
.
وفي نفس الوقت، وهي دوال معقدة للمتغير:
;
.
يتم تحديد الاعتماد بالمعادلة (1):
(1)
.
نجد المشتقة بالنسبة لمتغير من الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة (4).
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:
;
.
وفقا لصيغة مشتق المنتج:
.
باستخدام صيغة المبلغ المشتق:
.
وبما أن مشتقة الطرف الأيمن من المعادلة (4) تساوي صفرًا، إذن
(5)
.
بالتعويض بالمشتقة هنا، نحصل على قيمة المشتقة من الدرجة الثانية في صورة ضمنية.
بتفاضل المعادلة (5) بطريقة مماثلة نحصل على معادلة تحتوي على مشتق من الدرجة الثالثة:
.
بالتعويض هنا بالقيم الموجودة لمشتقات الرتبة الأولى والثانية، نجد قيمة مشتقة الرتبة الثالثة.
مع استمرار التمايز، يمكنك العثور على مشتق من أي أمر.
أمثلة
مثال 1
أوجد المشتقة من الدرجة الأولى للدالة المعطاة ضمنيًا في المعادلة:
(ف1) .
الحل بالصيغة 2
نجد المشتقة باستخدام الصيغة (2):
(2)
.
دعنا ننقل جميع المتغيرات إلى الجانب الأيسر بحيث تأخذ المعادلة الشكل .
.
من هنا.
نجد المشتقة بالنسبة لـ ، معتبرا أنها ثابتة.
;
;
;
.
نجد المشتقة بالنسبة للمتغير، باعتبار المتغير ثابتا.
;
;
;
.
وباستخدام الصيغة (2) نجد:
.
يمكننا تبسيط النتيجة إذا لاحظنا أنه وفقا للمعادلة الأصلية (أ.١)، . دعونا نستبدل:
.
اضرب البسط والمقام بـ:
.
الحل بالطريقة الثانية
دعونا نحل هذا المثال بالطريقة الثانية. للقيام بذلك، سنوجد المشتقة بالنسبة لمتغير الطرفين الأيسر والأيمن للمعادلة الأصلية (A1).
نطبق:
.
نحن نطبق صيغة الكسر المشتقة:
;
.
نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة:
.
دعونا نفرق المعادلة الأصلية (A1).
(ف1) ;
;
.
نحن نضرب في ونجمع الشروط.
;
.
لنستبدل (من المعادلة (A1)):
.
اضرب بـ:
.
إجابة
مثال 2
أوجد المشتقة الثانية للدالة المعطاة ضمنيًا باستخدام المعادلة:
(أ2.1) .
حل
نشتق المعادلة الأصلية بالنسبة للمتغير باعتبار أنها دالة لـ:
;
.
نحن نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة.
.
دعونا نفرق بين المعادلة الأصلية (A2.1):
;
.
من المعادلة الأصلية (A2.1) يتبع ذلك. دعونا نستبدل:
.
افتح الأقواس ثم قم بتجميع الأعضاء:
;
(أ2.2) .
نجد مشتقة الدرجة الأولى:
(أ2.3) .
لإيجاد المشتقة من الدرجة الثانية، نقوم باشتقاق المعادلة (A2.2).
;
;
;
.
دعونا نستبدل التعبير عن المشتقة من الدرجة الأولى (A2.3):
.
اضرب بـ:
;
.
ومن هنا نجد المشتقة من الدرجة الثانية.
إجابة
مثال 3
أوجد المشتقة من الدرجة الثالثة للدالة المعطاة ضمنيًا باستخدام المعادلة:
(أ3.1) .
حل
نحن نشتق المعادلة الأصلية بالنسبة للمتغير، بافتراض أنها دالة لـ .
;
;
;
;
;
;
(أ3.2) ;
دعونا نفرق المعادلة (A3.2) بالنسبة للمتغير.
;
;
;
;
;
(أ3.3) .
دعونا نفرق المعادلة (A3.3).
;
;
;
;
;
(أ3.4) .
من المعادلات (A3.2) و (A3.3) و (A3.4) نجد قيم المشتقات عند .
;
;
.