المحاضرة 18. التطبيقات تكامل محدد.
18.1. حساب مساحات الأشكال المستوية.
من المعروف أن التكامل المحدد للقطعة يمثل المساحة شبه منحرف منحني، يقتصر على الرسم البياني للدالة f(x). إذا كان الرسم البياني يقع أسفل محور الثور، أي. و (خ)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0، فإن المنطقة بها علامة "+".
للعثور على المساحة الإجمالية، استخدم الصيغة.
يمكن إيجاد مساحة الشكل المحدد بخطوط معينة باستخدام تكاملات معينة إذا كانت معادلات هذه الخطوط معروفة.
مثال.أوجد مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = x، y = x2، x = 2.
يمكن العثور على المنطقة المطلوبة (المظللة في الشكل) باستخدام الصيغة:
18.2. إيجاد مساحة القطاع المنحني.
للعثور على مساحة القطاع المنحني، نقدم نظام الإحداثيات القطبية. معادلة المنحنى الذي يحد القطاع في نظام الإحداثيات هذا لها الصيغة = f()، حيث هو طول متجه نصف القطر الذي يربط القطب بنقطة عشوائية على المنحنى، و هي زاوية ميل متجه نصف القطر هذا إلى المحور القطبي.
يمكن العثور على مساحة القطاع المنحني باستخدام الصيغة
18.3. حساب طول قوس المنحنى.
ص ص = و(خ)
S i y i
يمكن العثور على طول الخط المتقطع الذي يتوافق مع القوس على النحو التالي 
.
ثم طول القوس 
.
من الاعتبارات الهندسية: 
في نفس الوقت 
ثم يمكن أن يظهر ذلك
أولئك. 
إذا تم إعطاء معادلة المنحنى بارامتريًا، مع الأخذ في الاعتبار قواعد حساب المشتق المعطى بارامتريًا، نحصل على
,
حيث x = (t) و y = (t).
إذا تم تعيينها المنحنى المكانيو x = (t)، y = (t) وz = Z(t)، ثم
إذا تم إعطاء المنحنى الإحداثيات القطبية، الذي - التي
، = و().
مثال:أوجد محيط الدائرة المعطاة بالمعادلة x 2 + y 2 = r 2 .
1 الطريق.دعونا نعبر عن المتغير y من المعادلة. 
دعونا نجد المشتقة 
ثم S = 2r. لقد حصلنا على الصيغة المعروفة لمحيط الدائرة.
الطريقة 2.إذا قدمنا المعادلة المعطاة في نظام الإحداثيات القطبية، فسنحصل على: r 2 cos 2 + r 2 sin 2 = r 2، أي. الدالة = و() = ص، 
ثم
18.4. حساب أحجام الهيئات.
حساب حجم الجسم بواسطة الساحات الشهيرةأقسامها الموازية.
يجب أن يكون هناك جسم ذو حجم V. تُعرف مساحة أي مقطع عرضي للجسم Q بالدالة المستمرة Q = Q(x). دعونا نقسم الجسم إلى "طبقات" عن طريق المقاطع العرضية التي تمر عبر النقاط x i من قسم القطعة. لأن الدالة Q(x) مستمرة على أي جزء وسيط من القسم، ثم تأخذ أكبر و أصغر قيمة. دعونا نشير إليهم M i و m i على التوالي.
إذا قمنا في هذه الأقسام الأكبر والأصغر ببناء أسطوانات بمولدات موازية للمحور x، فإن أحجام هذه الأسطوانات ستكون مساوية على التوالي لـ M i x i و mi i x i هنا x i = x i - x i -1.
بعد إجراء مثل هذه الإنشاءات لجميع قطاعات القسم، نحصل على أسطوانات ذات أحجام متساوية، على التوالي 
و 
.
عندما تتجه خطوة التقسيم إلى الصفر، يكون لهذه المجاميع حد مشترك:
وهكذا، يمكن العثور على حجم الجسم باستخدام الصيغة:
عيب هذه الصيغة هو أنه للعثور على الحجم تحتاج إلى معرفة الدالة Q(x)، والتي تمثل مشكلة كبيرة بالنسبة للأجسام المعقدة.
مثال:أوجد حجم الكرة التي نصف قطرها R.
في المقاطع العرضية للكرة، يتم الحصول على دوائر ذات نصف قطر متغير y. اعتمادًا على الإحداثي x الحالي، يتم التعبير عن نصف القطر هذا بالصيغة 
.
ثم تكون دالة مساحة المقطع العرضي بالشكل: Q(x) = .
نحصل على حجم الكرة:
مثال:أوجد حجم الهرم الاختياري الذي ارتفاعه H ومساحة قاعدته S.
عندما يتقاطع الهرم بمستويات متعامدة مع الارتفاع، نحصل في المقطع العرضي على أشكال مشابهة للقاعدة. معامل التشابه لهذه الأشكال يساوي النسبة x/H، حيث x هي المسافة من مستوى القسم إلى قمة الهرم.
ومعلوم من الهندسة أن نسبة مساحات الأشكال المتشابهة تساوي مربع معامل التشابه، أي.
ومن هنا نحصل على وظيفة مناطق المقطع العرضي: 
إيجاد حجم الهرم: 
18.5. حجم أجساد الثورة.
خذ بعين الاعتبار المنحنى المعطى بالمعادلة y = f(x). افترض أن الدالة f(x) مستمرة على الفاصل الزمني. إذا تم تدوير شبه المنحرف المنحني المقابل ذو القاعدتين a و b حول محور الثور، فسنحصل على ما يسمى جسد الثورة.
لأن كل قسم من الجسم بالمستوى x = const عبارة عن دائرة نصف قطرها، فيمكن بسهولة العثور على حجم الجسم الدوراني باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها أعلاه:
18.6. مساحة سطح جسم الثورة.
م ط ب
تعريف: مساحة سطح الدورانالمنحنى AB حول محور معين هو الحد الذي تتجه إليه مساحات سطوح دوران الخطوط المتقطعة المدرج في المنحنى AB عندما تتجه أكبر أطوال وصلات هذه الخطوط المتقطعة إلى الصفر.
دعونا نقسم القوس AB إلى أجزاء n بالنقاط M 0، M 1، M 2، ...، M n. إحداثيات رؤوس الخط المتقطع الناتج لها إحداثيات x i و y i . عند تدوير الخط المتقطع حول المحور نحصل على سطح يتكون من الأسطح الجانبية للمخاريط المقطوعة، ومساحته تساوي P i. يمكن العثور على هذه المنطقة باستخدام الصيغة:
حيث S i هو طول كل وتر.
نحن نطبق نظرية لاغرانج (انظر. نظرية لاغرانج) للموقف 
.
مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها من الأعلى الرسم البياني للدالة ص = و (س)واليسار واليمين - مستقيم س=أو س = بوفقا لذلك، من الأسفل - المحور ثور، تحسب بواسطة الصيغة
مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها من اليمين الرسم البياني للدالة س=φ(ص)، فوق وتحت - مستقيم ص = دو ص=جوفقا لذلك، على اليسار - المحور أوي:
مساحة الشكل المنحني الذي يحده من الأعلى الرسم البياني للدالة ص 2 = و 2 (س)أدناه - الرسم البياني للوظيفة ص 1 = و 1 (س)واليسار واليمين - مستقيم س=أو س = ب:
مساحة الشكل المنحني المحدود من اليسار واليمين برسوم بيانية للوظائف س 1 =φ 1 (ص)و س 2 =φ 2 (ص)، فوق وتحت - مستقيم ص = دو ص=جعلى التوالى:
دعونا نفكر في الحالة التي يتم فيها إعطاء الخط الذي يحد شبه المنحرف المنحني من الأعلى بواسطة معادلات بارامترية س = φ 1 (ر), ص = φ 2 (ر)، أين α ≥ ر ≥ β, φ 1 (α)=أ, φ 1 (β)=ب. تحدد هذه المعادلات بعض الوظائف ص = و (س)على المقطع [ أ، ب]. يتم حساب مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام الصيغة
دعنا ننتقل إلى متغير جديد س = φ 1 (ر)، ثم dx = φ" 1 (t) dt، أ ص=و(س)=و(φ 1 (ر))=φ 2 (ر)، لذلك \begin(displaymath)
المساحة بالإحداثيات القطبية
النظر في قطاع منحني الأضلاع أواب، يحدها الخط المعطى بالمعادلة ρ=ρ(φ) في الإحداثيات القطبية، شعاعان الزراعة العضوية.و أو.ب.، لأي منهم φ=α , φ=β .
سنقوم بتقسيم القطاع إلى قطاعات أولية أوم ك-1م ك ( ك=1، …، ن, م 0 =أ, م ن = ب). دعونا نشير بواسطة Δφkالزاوية بين الأشعة أوم ك-1و أوم ك، وتشكيل زوايا مع المحور القطبي φ ك-1و φكعلى التوالى. كل قطاع من القطاعات الابتدائية أوم ك-1 م كاستبدله بقطاع دائري بنصف القطر ρ ك = ρ(φ" ك)، أين φ "ك- قيمة الزاوية φ
من الفاصل [ φ ك-1 , φ ك]، والزاوية المركزية Δφk. يتم التعبير عن مساحة القطاع الأخير بالصيغة 
.
يعبر عن مساحة القطاع "المتدرج" الذي يحل محل قطاع معين تقريبًا أواب.
منطقة القطاع أوابيسمى حد مساحة القطاع "المتدرج" بـ ن → ∞و φ = الحد الأقصى Δφ ك → 0:
لأن 
، الذي - التي
طول القوس المنحنى
دع على المقطع [ أ، ب] يتم إعطاء وظيفة قابلة للتمييز ص = و (س)، الرسم البياني الذي هو القوس. القطعة المستقيمة [ أ، ب] دعونا نقسمها إلى نأجزاء مع النقاط × 1, × 2, …, xn-1. هذه النقاط سوف تتوافق مع النقاط م 1, م 2, …, من-1الأقواس، نربطها بخط مكسور، وهو ما يسمى بالخط المكسور المدرج في القوس. سيتم الإشارة إلى محيط هذا الخط المكسور بواسطة ق ن، إنه
تعريف. طول قوس الخط هو حد محيط الخط المكسور المدرج فيه، عندما يكون عدد الروابط م ك - 1 م كيزداد إلى أجل غير مسمى، ويميل طول أكبرها إلى الصفر:
حيث π هو طول الوصلة الأكبر.
سوف نحسب طول القوس من نقطة ما، على سبيل المثال، أ. اسمحوا عند هذه النقطة م (س، ص)طول القوس هو س، وفي هذه النقطة م"(س+Δ س،ص+Δy)طول القوس هو ق+Δس، حيث i>Δs هو طول القوس. من مثلث مينم"أوجد طول الوتر : .
من الاعتبارات الهندسية يتبع ذلك
أي أن القوس المتناهي الصغر للخط والوتر المقابل له متساويان.
دعونا نحول الصيغة التي تعبر عن طول الوتر:
وبالانتقال إلى نهاية هذه المساواة، نحصل على صيغة مشتقة الدالة الصورة = الصورة (س):
الذي نجد منه
تعبر هذه الصيغة عن تفاضل قوس منحنى المستوى ولها صيغة بسيطة معنى هندسي: يعبر عن نظرية فيثاغورس لمثلث متناهية الصغر ام تي ان (س = طن متري, ).
يتم تحديد الفرق في قوس المنحنى المكاني بواسطة الصيغة
النظر في قوس الخط المكاني المحدد بالمعادلات البارامترية
أين α ≥ ر ≥ β, φأنا(ر) (ط=1، 2، 3) - وظائف الوسيطة القابلة للتمييز ر، الذي - التي
دمج هذه المساواة على مدى الفترة [ α, β ]، نحصل على صيغة لحساب طول هذا الخط الخطي
إذا كان الخط يقع في الطائرة أوكسي، الذي - التي ض=0أمام الجميع تي ∈ [ألفا، β]، لهذا
في حالة إعطاء خط مسطح بالمعادلة ص = و (س) (أ××ب)، أين و (خ)هي دالة قابلة للتفاضل، الصيغة الأخيرة تأخذ الشكل
دع الخط المستوي يُعطى بالمعادلة ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) في الإحداثيات القطبية. في هذه الحالة لدينا المعادلات البارامترية للخط س=ρ(φ) كوس φ, ص=ρ(φ) خطيئة φ، حيث يتم أخذ الزاوية القطبية كمعلمة φ . بسبب ال
ثم الصيغة التي تعبر عن طول قوس الخط ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) في الإحداثيات القطبية، له الشكل
حجم الجسم
لنجد حجم الجسم إذا كانت مساحة أي مقطع عرضي لهذا الجسم عمودي على اتجاه معين معروفة.
دعونا نقسم هذا الجسم إلى طبقات أولية بمستويات متعامدة مع المحور ثورويتم تحديدها بواسطة المعادلات س = ثابت. لأي ثابت س∈منطقة معروفة ق = ق (س)مقطع عرضي لجسم معين.
الطبقة الأولية مقطوعة بالطائرات س=س ك-1, س = س ك (ك=1، …، ن, س 0 = أ, س ن = ب)، استبدلها بأسطوانة ذات ارتفاع Δx ك =x ك -x ك-1ومنطقة القاعدة ق (ξ ك), ξ ك ∈.
يتم التعبير عن حجم الاسطوانة الأولية المشار إليها بالصيغة Δv ك =E(ξ ك)Δx ك. دعونا نلخص كل هذه المنتجات
وهو مجموع لا يتجزأ لوظيفة معينة ق = ق (س)على المقطع [ أ، ب]. إنه يعبر عن حجم الجسم المتدرج الذي يتكون من أسطوانات أولية ويحل محل هذا الجسم تقريبًا.
حجم جسم معين هو الحد الأقصى لحجم الجسم المدرج المحدد λ→0 ، أين λ - طول أكبر الأجزاء الأولية Δxk. دعونا نشير بواسطة الخامسحجم جسم معين، ثم حسب التعريف
على الجانب الآخر،
وبالتالي، يتم حساب حجم الجسم على مقاطع عرضية معينة بواسطة الصيغة
إذا كان الجسم يتكون من الدوران حول محور ثورشبه منحرف منحني يحده من الأعلى قوس من خط متصل ص = و (س)، أين أ××ب، الذي - التي ق(س)=πf 2 (س)والصيغة الأخيرة تأخذ الشكل:
تعليق. حجم الجسم الناتج عن تدوير شبه منحرف منحني يحده من اليمين الرسم البياني للدالة س=φ(ص) (ج ≥ س ≥ د)، حول المحور أويتحسب بواسطة الصيغة
مساحة سطح الدوران
خذ بعين الاعتبار السطح الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير قوس الخط ص = و (س) (أ××ب) حول المحور ثور(افترض أن الوظيفة ص = و (س)له مشتق مستمر). تحديد القيمة س∈، سنعطي زيادة في وسيطة الوظيفة dx، والذي يتوافق مع "الحلقة الأولية" التي يتم الحصول عليها عن طريق تدوير القوس الأولي Δl. دعونا نستبدل هذه "الحلقة" بحلقة أسطوانية - السطح الجانبي لجسم يتكون من دوران مستطيل بقاعدة تساوي تفاضل القوس دل، والارتفاع ح = و (س). من خلال قطع الحلقة الأخيرة وفتحها، نحصل على شريط بالعرض دلوالطول 2πy، أين ص = و (س).
لذلك، يتم التعبير عن فرق مساحة السطح بالصيغة
تعبر هذه الصيغة عن مساحة السطح التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير قوس الخط ص = و (س) (أ××ب) حول المحور ثور.
دعونا نقدم بعض التطبيقات على التكامل المحدد.
حساب مساحة الشكل المسطح
مساحة شبه المنحرف المنحني الذي يحده منحنى (حيث 
)، مستقيم 
,
وشريحة 
محاور 
، تحسب بواسطة الصيغة
.
مساحة الشكل الذي تحده المنحنيات 
و 
(أين 
) مستقيم 
و 
تحسب بواسطة الصيغة
|
|
.إذا تم إعطاء المنحنى بواسطة المعادلات البارامترية 
، ثم مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحده هذا المنحنى خطوط مستقيمة 
,
وشريحة 
محاور 
، تحسب بواسطة الصيغة
,
أين 
و 
يتم تحديدها من المعادلات 
,
، أ 
في 
.
مساحة القطاع المنحني الذي يحده منحنى معين بالإحداثيات القطبية بالمعادلة 
واثنين من نصف القطر القطبي 
,
(
)، تم العثور عليه بواسطة الصيغة
.
مثال 1.27.احسب مساحة الشكل الذي يحده القطع المكافئ 
ومستقيم 
(الشكل 1.1).
|
|
حل.دعونا نجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ. للقيام بذلك، قمنا بحل المعادلة
أين
|
,
.
,
. ثم بالصيغة (1.6) لدينا
.حساب طول قوس منحنى المستوى
إذا كان المنحنى 
على الجزء 
- سلس (أي مشتق 
مستمر)، ثم يتم العثور على طول القوس المقابل لهذا المنحنى بواسطة الصيغة
.
عند تحديد منحنى حدوديا 
(
- وظائف قابلة للتمييز بشكل مستمر) طول قوس المنحنى المقابل للتغير الرتيب في المعلمة 
من 
قبل 
، تحسب بواسطة الصيغة
مثال 1.28.احسب طول قوس المنحنى 
,
,
.
حل.دعونا نجد المشتقات فيما يتعلق بالمعلمة 
:
,
. ثم من الصيغة (1.7) نحصل عليها
.
2. حساب التفاضل والتكامل لوظائف عدة متغيرات
دع كل زوج مرتب من الأرقام 
من بعض المناطق 
يتوافق مع عدد معين 
. ثم 
مُسَمًّى وظيفة اثنين من المتغيرات
و 
,
-المتغيرات المستقلة
أو الحجج
,
-مجال التعريف
وظائف، ومجموعة 
جميع قيم الوظائف - نطاق قيمها
وتدل 
.
هندسيًا، يمثل مجال تعريف الدالة عادةً جزءًا من المستوى 
، يحدها خطوط قد تنتمي أو لا تنتمي إلى هذه المنطقة.
مثال 2.1.العثور على مجال التعريف 
المهام 
.
|
|
حل.يتم تعريف هذه الوظيفة في تلك النقاط من المستوى |
، بحيث 
، أو 
. نقاط الطائرة التي 
، تشكل حدود المنطقة 
. المعادلة 
يحدد القطع المكافئ (الشكل 2.1؛ نظرًا لأن القطع المكافئ لا ينتمي إلى المنطقة 
، ثم يتم تصويره بخط منقط). وعلاوة على ذلك، فمن السهل التحقق مباشرة من النقاط التي 
، وتقع فوق القطع المكافئ. منطقة 
مفتوح ويمكن تحديده باستخدام نظام عدم المساواة:إذا كان المتغير 
إعطاء بعض الزيادة 
، أ 
اترك ثابتا ثم الدالة 
سوف تحصل على زيادة 
، مُسَمًّى زيادة الوظيفة الخاصة 
بواسطة متغير 
:
وكذلك إذا كان المتغير 
يحصل على زيادة 
، أ
تبقى ثابتة، ثم الدالة 
سوف تحصل على زيادة 
، مُسَمًّى زيادة الوظيفة الخاصة 
بواسطة متغير
:
إذا كان هناك حدود:
,
,
انهم يسمى المشتقات الجزئية للدالة 
بواسطة المتغيرات 
و 
على التوالى.
ملاحظة 2.1. يتم تحديد المشتقات الجزئية لوظائف أي عدد من المتغيرات المستقلة بالمثل.
ملاحظة 2.2. بما أن المشتقة الجزئية بالنسبة لأي متغير هي المشتقة بالنسبة لهذا المتغير، بشرط أن تكون المتغيرات الأخرى ثابتة، فإن جميع قواعد اشتقاق دوال متغير واحد تنطبق على إيجاد مشتقات جزئية لدوال أي عدد من المتغيرات.
مثال 2.2.
.
حل. نجد:
,
.
مثال 2.3.أوجد المشتقات الجزئية للدالة 
.
حل. نجد:
,
,
.
زيادة الوظيفة الكاملة
يسمى الفرق
الجزء الرئيسي من زيادة الوظيفة الكاملة
، تعتمد خطيا على زيادات المتغيرات المستقلة 
و 
,يسمى التفاضل الكلي للدالة
ويتم تعيينه 
. إذا كانت الدالة لها مشتقات جزئية متصلة، فإن التفاضل الإجمالي موجود ويساوي
,
أين 
,
- الزيادات التعسفية للمتغيرات المستقلة، تسمى تفاضلاتها.
وبالمثل، بالنسبة لوظيفة من ثلاثة متغيرات 
يتم إعطاء الفرق الإجمالي بواسطة
.
دع الوظيفة 
لديه عند هذه النقطة 
المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى فيما يتعلق بجميع المتغيرات. ثم يتم استدعاء المتجه الانحدار
المهام 
عند هذه النقطة 
ويتم تعيينه 
أو 
.
ملاحظة 2.3.
رمز 
يُطلق عليه عامل هاميلتون ويُنطق "نامبلا".
مثال 2.4.أوجد تدرج الدالة عند نقطة ما 
.
حل. لنجد المشتقات الجزئية:
,
,
وحساب قيمها عند هذه النقطة 
:
,
,
.
لذلك، 
.
المشتق
المهام
عند هذه النقطة 
في اتجاه المتجه
يسمى حد النسبة 
في 
:
، أين 
.
إذا كانت الوظيفة
قابل للاشتقاق، ثم يتم حساب المشتق في اتجاه معين بواسطة الصيغة:
,
أين 
,
- الزوايا، وهي متجهة 
أشكال ذات محاور 
و 
على التوالى.
في حالة دالة من ثلاثة متغيرات 
يتم تعريف المشتق الاتجاهي بالمثل. الصيغة المقابلة هي
|
|
,
أين 
- جيب تمام الاتجاه للمتجه 
.
مثال 2.5.أوجد مشتقة الدالة 
عند هذه النقطة 
في اتجاه المتجه 
، أين 
.
حل. دعونا نجد المتجه 
وجيب تمام الاتجاه:
,
,
,
.
دعونا نحسب قيم المشتقات الجزئية عند هذه النقطة 
:
,
,
;
,
,
.
وبالتعويض في (2.1) نحصل على
.
المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية تسمى المشتقات الجزئية المأخوذة من المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى:
,
,
,
المشتقات الجزئية 
,
وتسمى مختلط
. تكون قيم المشتقات المختلطة متساوية عند النقاط التي تكون فيها هذه المشتقات متصلة.
مثال 2.6.إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدالة 
.
حل. دعونا أولا نحسب المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى:
,
.
وبتمييزهما مرة أخرى نحصل على:
,
,
,
.
وبمقارنة التعبيرات الأخيرة، نرى ذلك 
.
مثال 2.7.اثبات أن الدالة 
يرضي معادلة لابلاس
.
حل. نجد:
,
.
,
.
.
نقطة 
مُسَمًّى النقطة القصوى المحلية
(الحد الأدنى
) المهام 
، إذا لجميع النقاط 
، مختلف عن 
والانتماء إلى حي صغير بما فيه الكفاية منه، هو عدم المساواة
(
).
الحد الأقصى أو الأدنى للدالة يسمى أقصى . تسمى النقطة التي يتم الوصول عندها إلى الحد الأقصى للدالة النقطة القصوى للوظيفة .
نظرية 2.1
(الشروط اللازمة للأقصى
).
إذا كانت النقطة 
هي النقطة القصوى للوظيفة 
أو على الأقل أحد هذه المشتقات غير موجود.
تسمى النقاط التي تتوفر فيها هذه الشروط ثابت أو شديد الأهمية . تكون النقاط القصوى ثابتة دائمًا، لكن النقطة الثابتة قد لا تكون نقطة متطرفة. لكي تكون النقطة الثابتة نقطة نهاية، يجب أن تتوفر الشروط الكافية لذلك الحد الأقصى.
دعونا أولا نقدم الترميز التالي :
,
,
,
.
نظرية 2.2
(الظروف الكافية للأقصى
).
دع الوظيفة 
قابلة للتمييز مرتين في حي نقطة 
والفترة 
ثابت للوظيفة 
. ثم:
1.لو 
، ثم أشر 
هو الحد الأقصى للوظيفة، و 
ستكون النقطة القصوى عند 
(
)والحد الأدنى عند 
(
).
2.لو 
، ثم عند هذه النقطة 
لا يوجد تطرف.
3.لو 
، فإن الحد الأقصى قد يكون موجودًا وقد لا يكون موجودًا.
مثال 2.8.فحص الوظيفة القصوى 
.
حل. نظرًا لأنه في هذه الحالة توجد دائمًا مشتقات جزئية من الدرجة الأولى، للعثور على النقاط الثابتة (الحرجة) نقوم بحل النظام:
,
,
أين 
,
,
,
. وهكذا حصلنا على نقطتين ثابتتين: 
,
.
,
,
.
لنقطة 
فنحصل على: أي أنه لا يوجد حد أقصى في هذه المرحلة. لنقطة 
نحصل على: و 
، لذلك
عند هذه النقطة هذه الوظيفةيصل إلى الحد الأدنى المحلي: .
المحاضرة 21 تطبيقات على التكامل المحدد (ساعتان)
أ) مساحة الشكل
كما لوحظ في المحاضرة 19 عدديا يساوي المساحةشبه منحرف منحني الأضلاع يحده منحنى في = F(س)، مستقيم X = أ, X = بوالقطعة [ أ, ب] محور الثور. وعلاوة على ذلك، إذا F(س) 0 جنيه استرليني على [ أ, ب]، فيجب أن يؤخذ التكامل بعلامة الطرح.
إذا كانت الوظيفة في فترة زمنية معينة في = F(س) علامة التغييرات، ثم لحساب مساحة الشكل المحصور بين الرسم البياني لهذه الدالة ومحور OX، يجب عليك تقسيم القطعة إلى أجزاء، تحتفظ كل منها الدالة بعلامتها، وإيجاد مساحة كل جزء من الشكل. المساحة المطلوبة في هذه الحالة هي المجموع الجبري للتكاملات على هذه الأجزاء، والتكاملات المقابلة لها القيم السلبيةيتم أخذ الوظائف في هذا المبلغ بعلامة الطرح.
إذا كان الشكل محددًا بمنحنيين في = F 1 (س) و في = F 2 (س), F 1 (س)£ F 2 (س)، إذن، وكما يلي من الشكل 9، فإن مساحتها تساوي الفرق في مساحات شبه المنحرف المنحني الأضلاع أشمس بو أإعلان ب، كل منها يساوي عدديا للتكامل. وسائل،
 |
لاحظ أنه تم العثور على مساحة الشكل الموضح في الشكل 10أ باستخدام نفس الصيغة: S = 
(اثبت ذلك!). فكر في كيفية حساب مساحة الشكل الموضح في الشكل 10 ب؟
كنا نتحدث فقط عن شبه منحرف منحني الأضلاع المتاخمة لمحور OX. لكن الصيغ المماثلة صالحة أيضًا للأشكال المجاورة لمحور الوحدة التنظيمية. على سبيل المثال، تم العثور على مساحة الشكل الموضح في الشكل 11 بواسطة الصيغة
دع الخط ذ=F(س) ، التي تحيط شبه منحرف منحني، يمكن أن تعطى عن طريق المعادلات البارامترية، رأو و ي(أ)= أ، ي(ب) = ب، أي. في= . ثم مساحة هذا شبه المنحرف المنحني تساوي
.
ب) طول القوس المنحنى
دع المنحنى يعطى في = F(س). دعونا نفكر في قوس هذا المنحنى المقابل للتغيير Xعلى المقطع [ أ, ب]. دعونا نجد طول هذا القوس. للقيام بذلك، نقوم بتقسيم القوس AB إلى صالأجزاء بالنقاط A = M 0، M 1، M 2، ...، M ص= B (الشكل 14)، الموافق للنقاط X 1 , X 2 , ..., س ن Î [ أ, ب].
 |
دعونا نشير إلى د ل أناطول القوس إذن ل= . إذا كانت أطوال القوس د ل أناصغيرة بما يكفي، فيمكن اعتبارها تقريبًا أطوال متساويةالأجزاء المقابلة التي تربط النقاط M أنا-1، م أنا. هذه النقاط لها إحداثيات M أنا -1 (× ط -1, F (× ط-1)))، م أنا(× ط, F(× ط)). ثم تكون أطوال القطع متساوية على التوالي
يتم استخدام صيغة لاغرانج هنا. هيا نضع × ط – × ط-1 = د × ط، نحن نحصل
ثم ل = 
، أين
ل = 
.
وبالتالي طول قوس المنحنى في = F(س)، الموافق للتغيير Xعلى المقطع [ أ, ب]، وجدت بواسطة الصيغة
ل = 
, (1)
إذا تم تحديد المنحنى بارامتريا، رأوه، أي. ذ(ر) = F(س(ر))، ومن الصيغة (1) نحصل على:
ل= 
.
هذا يعني أنه إذا تم إعطاء منحنى بارامتريًا، فإن طول قوس هذا المنحنى يتوافق مع التغيير رО، تم العثور عليه بواسطة الصيغة
الخامس) حجم الجسم الدوراني.
|
النظر في شبه منحرف منحني أأ.ب ب , يحدها خط في = F(س)، مستقيم X = أ, X = بوالقطعة [ أ,ب] محور الثور (الشكل 15). دع هذا شبه المنحرف يدور حول محور الثور، وستكون النتيجة جسمًا دورانيًا. ويمكن إثبات أن حجم هذا الجسم سيكون مساوياً لـ 
وبالمثل، يمكننا استخلاص صيغة حجم الجسم الناتج عن تدوير شبه منحرف منحني الأضلاع حول المحور OU، مقيدًا بالرسم البياني للدالة X= ي( في)، مستقيم ذ = ج , ذ = دوالقطعة [ ج,د] محور المرجع أمبير (الشكل 15):
التطبيقات الفيزيائية للتكامل المحدد
أثبتنا في المحاضرة 19 أنه من الناحية الفيزيائية، التكامل يساوي عدديًا كتلة قضيب رفيع مستقيم وغير متجانس الطول ل= ب – أ، بكثافة خطية متغيرة r = F(س), F(س) ³ 0، حيث X- المسافة من نقطة القضيب إلى نهايته اليسرى.
دعونا ننظر في التطبيقات الفيزيائية الأخرى للتكامل المحدد.
المشكلة 1. أوجد الشغل اللازم لضخ الزيت من خزان أسطواني رأسي ارتفاعه H ونصف قطر قاعدته R. كثافة الزيت هي r.
حل.لنبني نموذج رياضيمن هذه المهمة. دع محور OX يمر على طول محور التماثل لأسطوانة ارتفاعها H ونصف قطرها R، ويكون الأصل عند مركز القاعدة العلوية للأسطوانة (الشكل 17). دعونا نقسم الاسطوانة إلى صأجزاء أفقية صغيرة. ثم أين أ- أعمال الضخ أناالطبقة الرابعة. يتوافق هذا التقسيم للأسطوانة مع تقسيم جزء التغير في ارتفاع الطبقة إلى صالقطع. دعونا نفكر في إحدى هذه الطبقات الموجودة على مسافة × طمن السطح بعرض د X(أو على الفور dx). يمكن اعتبار ضخ هذه الطبقة بمثابة "رفع" الطبقة إلى الارتفاع × ط.
ثم العمل على ضخ هذه الطبقة يساوي
أ"ر أنا × أنا, 
,
حيث P أنا=rgV أنا= آر جي بي آر 2 dx، ر أنا- الوزن، V أنا– حجم الطبقة . ثم أ" ر أنا × أنا= آر جي بي آر 2 dx.x ط، أين
، وبالتالي 
.
المشكلة 2. أوجد لحظة القصور الذاتي
أ) أسطوانة مجوفة ذات جدران رقيقة بالنسبة لمحور يمر عبر محور التماثل؛
ب) أسطوانة صلبة بالنسبة إلى محور يمر عبر محور التماثل؛
ج) قضيب رفيع الطول لنسبة إلى محور يمر بمنتصفه؛
د) طول قضيب رفيع لنسبة إلى المحور الذي يمر عبر طرفه الأيسر.
حل.وكما هو معروف فإن عزم القصور الذاتي لنقطة بالنسبة إلى المحور يساوي ج=السيد 2، وأنظمة النقاط.
أ) أن تكون الأسطوانة رقيقة الجدران، مما يعني إمكانية إهمال سمك الجدران. فليكن نصف قطر قاعدة الاسطوانة R، وارتفاعها H، وكثافة الكتلة على الجدران تساوي r.
دعونا نقسم الاسطوانة إلى صأجزاء والعثور على أين ي ط- لحظة من الجمود أناالعنصر العاشر من القسم.
دعونا نفكر أناالعنصر الرابع من القسم (اسطوانة متناهية الصغر). وتقع جميع نقاطها على مسافة R من المحور ل. دع كتلة هذه الاسطوانة ر ط، ثم ر ط= rV أنا» آر إس جانب= 2prR دي إكس ط، أين × طيا. ثم ي ط» ص 2 ب ر دي إكس ط، أين
.
إذا كان r ثابتًا، إذن ج= 2prR 3 N، وبما أن كتلة الاسطوانة تساوي M = 2prRН، إذن ج= السيد 2.
ب) إذا كانت الاسطوانة صلبة (مملوءة) فإننا نقسمها إلى ص vloاسطوانات رفيعة مترابطة الواحدة داخل الأخرى. لو صكبيرة، ويمكن اعتبار كل من هذه الأسطوانات رقيقة الجدران. يتوافق هذا القسم مع قسم المقطع الموجود فيه صالأجزاء ذات النقاط R أنا. دعونا نجد الكتلة أناالاسطوانة ذات الجدران الرقيقة: ر ط= rV أنا، أين
الخامس أنا= العلاقات العامة أنا 2 ح – العلاقات العامة أنا- 1 2 ح = الرقم الهيدروجيني(ر أنا 2-ر أنا -1 2) =
الرقم الهيدروجيني (ر أنا-ر أنا-1)(ر أنا+ ر أنا -1).
نظرًا لحقيقة أن جدران الأسطوانة رقيقة، يمكننا أن نفترض أن R أنا+ ر أنا-1 » 2ر أنا، و ر أنا-ر أنا-1 = د أنا، ثم V أنا» الرقم الهيدروجيني 2R أنادكتور. أنا، أين ر ط» rpН×2R أنادكتور. أنا,
و أخيرا 
ج) النظر في قضيب طوله ل، الذي كثافة كتلته تساوي ص. دع محور الدوران يمر بمنتصفه.
نقوم بنمذجة القضيب كقطعة من محور OX، ثم محور دوران القضيب هو محور OU. لنفكر في قطعة أولية، وكتلتها، والمسافة إلى المحور يمكن اعتبارها متساوية تقريبًا ص ط= × ط. إذن فإن عزم القصور الذاتي لهذا القسم يساوي ، حيث أن عزم القصور الذاتي للقضيب بأكمله يساوي 
. باعتبار أن كتلة القضيب تساوي إذن
د) الآن دع محور الدوران يمر عبر الطرف الأيسر من القضيب، أي. نموذج القضيب هو جزء من محور OX. ثم بالمثل، ص ط= × ط، ، أين 
، ومنذ ذلك الحين .
المهمة 3.أوجد قوة الضغط لسائل كثافته r على مثلث قائم الزاوية له أرجل أو بمغمورة عموديا في السائل بحيث تكون الساق أتقع على سطح السائل.
حل.
دعونا نبني نموذجا للمشكلة. دع القمة زاوية مستقيمةالمثلث عند نقطة الأصل، الساق أيتزامن مع جزء من محور OU (يحدد محور OU سطح السائل)، ويتم توجيه محور OX إلى الأسفل، والساق بيتزامن مع جزء من هذا المحور. الوتر في هذا المثلث له المعادلة أو .
ومن المعروف أنه إذا كان على منطقة أفقية من المساحة س، مغمور في سائل كثافته r، يتم ضغطه بواسطة عمود من السائل بارتفاع حفإن قوة الضغط متساوية (قانون باسكال). دعونا نستخدم هذا القانون.