Средната аритметична стойност (наричана по-долу средна) е може би най-популярната статистически параметър. Тази концепция се използва навсякъде - като се започне от поговорката „ средна температураоколо болницата“ и завършва със сериозни научни трудове. Въпреки това, колкото и да е странно, средната стойност е сложна концепция, която често подвежда, вместо да дава яснота и яснота.

Ако говорим за научна работа, тогава статистическият анализ на данни се използва в почти всички приложни науки, дори в хуманитарните науки (например психологията). Средната стойност се изчислява за характеристики, измерени на така наречените непрекъснати скали. Такива признаци са например концентрации на вещества в кръвния серум, ръст, тегло, възраст. Средната аритметична може лесно да се изчисли и това се учи в гимназия. Въпреки това (в съответствие с разпоредбите на математическата статистика) средната стойност е адекватна мярка за централната тенденция в извадката само в случай на нормално (гаусово) разпределение на характеристиката (фиг. 1). ориз. 1. Нормално (гаусово) разпределение на характеристиката в извадката. Средното (M) и медианата (Me) са еднакви

Ако разпределението се отклонява от нормалния закон, е неправилно да се използва средната стойност, тъй като тя е твърде чувствителен параметър към така наречените „извънредни стойности“ - нехарактерни за изследваната извадка, твърде голяма или твърде малка стойност (фиг. 2). В този случай трябва да се използва друг параметър, медианата, за характеризиране на централната тенденция в извадката. Медиана е стойността на атрибута, отдясно и отляво на който е равен бройнаблюдения (по 50%). Този параметър (за разлика от средната стойност) е устойчив на отклонения. Имайте предвид също, че медианата може да се използва и в случая нормално разпределение- в този случай медианата съвпада със средната стойност.

ориз. 2. Разпределението на признака в извадката е различно от нормалното. Средното (m) и медианата (ME) не са едно и също

За да разберете дали разпределението на дадена характеристика в дадена извадка е нормално (по Гаус) или не, т.е., за да разберете кой параметър трябва да се използва (среден или медианен), има специални статистически тестове.

Нека дадем пример. Скоростта на утаяване на еритроцитите в групата пациенти със скорошна пневмония е 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Средната стойност за тази проба е 17,8, медианата е 12. Разпределение (според теста на Shapiro-Wilk) не е нормално (фиг. 3), така че трябва да се използва медианата. ориз. 3. Пример

Колкото и да е странно, в някои области на икономиката външен наблюдател не може да забележи никакви следи от правилното прилагане на математическата статистика. По този начин непрекъснато ни казват за средната заплата (например в изследователски институти) и тези цифри обикновено изненадват не само обикновените служители, но и ръководителите на отдели (сега наричани „среден мениджър“). Изненадани сме, че средната заплата в Москва е 40 хиляди рубли, но, разбира се, разбираме, че сме „осреднени“ с олигарсите. Ето пример от живота на учените: заплатите на служителите в лабораторията (хиляди рубли) - 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Средната стойност е 17,8, медианата е 12. Съгласете се, че това са различни числа!

Разбира се, не може да се изключи, че мълчанието за свойствата на средния е неискрено, тъй като винаги е по-изгодно за ръководството да представи ситуацията със заплатите на служителите като по-добра, отколкото е в действителност.

Не е ли време научна общностпризоваваме нашите лидери да спрат неправилното използване на математическата статистика?

Олга Реброва,
док. мед. науки, вицепрезидент
MOO „Общество на специалистите по медицина, базирана на доказателства“

Поради факта, че изследователят не разполага с данни за обема на продажбите във всяко обменно бюро, изчисляването на средната аритметична стойност за определяне на средната цена на долар е непрактично.

Медиана на поредица от числа

Въпреки това е възможно да се определи стойността на атрибута, който се нарича медиана (Me). Медиана

в нашия пример

Средно число: NoMe = ;

Мода

Таблица 3.6.

f— сума от честотите на серията;

S кумулативни честоти

12_

_

S—натрупани честоти.

На фиг. 3.2. Показана е хистограма на разпределението на банките по норма на печалба (съгласно таблица 3.6.).

x - размер на печалбата, милиони рубли,

f е броят на банките.

„МЕДИАНА НА ПОДРЕДЕНА СЕРИЯ“

Текстова HTML версия на публикацията

Конспекти от уроци по алгебра в 7 клас

Тема на урока: „МЕДИАНА НА ПОДРЕДЕНА СЕРИЯ.“

учител на училище Озёрная, филиал на средното училище MCOU Бурковская Еременко Татяна Алексеевна
Цели:
понятието медиана като статистическа характеристика на подреден ред; развиват способността да намират медианата за подредени серии с четен и нечетен брой членове; да развият способността да интерпретират стойностите на медианата в зависимост от практическата ситуация, да консолидират концепцията за средната аритметична стойност на набор от числа. Развивайте умения самостоятелна работа. Развийте интерес към математиката.
Напредък на урока

Устна работа.
Дадени са редовете: 1) 4; 1; 8; 5; 1; 2) ; 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0,2; ; 4; 6; 7.3; 6. Намерете: а) най-големите и най-малките стойности на всяка серия; б) обхвата на всеки ред; в) режимът на всеки ред.
II. Обяснение на нов материал.
Работа по учебника. 1. Да разгледаме задачата от параграф 10 от учебника. Какво означава поръчани серии? Бих искал да подчертая, че преди да намерите медианата, винаги трябва да подреждате сериите от данни. 2. На дъската се запознаваме с правилата за намиране на медианата за серии с четен и нечетен брой членове:
Медиана

подреден

ред
числа
с

странно

номер

членове
е числото, написано в средата, и
медиана

поръчани серии
числа
с четен брой членове
се нарича средно аритметично на две числа, записани в средата.
Медиана

произволен

ред
се нарича медиана 1 3 1 7 5 4 на съответната подредена серия.
отбелязвам това показатели - средниаритметика, режим и медиана по

различно

характеризират

данни,

получени

резултат

наблюдения.

III. Формиране на умения и способности.
1-ва група. Упражнения за прилагане на формули за намиране на медиана на подредена и неподредена редица. 1.
№ 186.
Решение:а) Брой членове на поредицата п= 9; медиана мех= 41; б) п= 7, редът е подреден, мех= 207; V) п= 6, редът е подреден, мех= = 21; G) п= 8, редът е подреден, мех= = 2,9. Отговор: а) 41; б) 207; в) 21; г) 2.9. Учениците коментират как да намерят медианата. 2. Намерете средноаритметичното и медианата на редица от числа: а) 27, 29, 23, 31, 21, 34; V) ; 1. б) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Решение:За да намерите медианата, е необходимо да подредите всеки ред: а) 21, 23, 27, 29, 31, 34. п = 6; X = = 27,5; мех= = 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + b) 56, 58, 62, 64, 66, 74.

Как да намерите медианата в статистиката

п = 6; X = 63,3; мех= = 63; V) ; 1. п = 5; X = : 5 = 3: 5 = 0,6; мех = . 3.
№ 188
(устно). Отговор: да; б) не; в) не; г) да. 4. Знаейки, че една подредена серия съдържа Тчисла, къде Т– нечетно число, посочете номера на термина, който е медианата, ако Те равно на: а) 5; б) 17; в) 47; г) 201. Отговор: а) 3; б) 9; в) 24; г) 101. 2-ра група. Практически задачи за намиране на медианата на съответния ред и интерпретиране на получения резултат. 1.
№ 189.
Решение:Брой членове на серията п= 12. За да се намери медианата, серията трябва да бъде подредена: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Медианата на серията мех= = 176. Месечната продукция е по-голяма от медианата за следните членове на артела: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125 ; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 22 xx+ + = 1) Квитко; 4) Бобков; 2) Баранов; 5) Рилов; 3) Антонов; 6) Астафиев. Отговор: 176. 2.
№ 192.
Решение:Нека сортираме сериите от данни: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; брой членове на серията п= 20. Люлка А = хмакс – х min = 42 – 30 = 12. Мода мо= 32 (тази стойност се среща 6 пъти - по-често от останалите). Медиана мех= = 35. В този случай диапазонът показва най-голяма вариация във времето за обработка на детайла; режимът показва най-типичната стойност на времето за обработка; медиана – време за обработка, което не е превишено от половината стругари. Отговор: 12; 32; 35.
IV. Обобщение на урока.
– Как се нарича медианата на поредица от числа? – Може ли медианата на редица от числа да не съвпада с нито едно от числата в редицата? – Какво число е медианата на подредена серия, съдържаща 2 пчисла? 2 п– 1 числа? – Как да намерим медианата на неподредена серия?
домашна работа:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

Към раздела основно общо образование

Режим и медиана

Средните стойности също включват режим и медиана.

Медианата и режимът често се използват като средна характеристикав тези популации, където изчисляването на средната стойност (аритметична, хармонична и т.н.) е невъзможно или непрактично.

Например, извадково проучване на 12 търговски бюра за обмяна на валута в Омск позволи да се запишат различни цени за долара при продажбата му (данни от 10 октомври 1995 г. при обменния курс на долара -4493 рубли).

Поради факта, че изследователят не разполага с данни за обема на продажбите във всяко обменно бюро, изчисляването на средната аритметична стойност за определяне на средната цена на долар е непрактично. Въпреки това е възможно да се определи стойността на атрибута, който се нарича медиана (Me). Медианалежи в средата на класирания ред и го разделя наполовина.

Изчисляването на медианата за негрупирани данни е както следва:

а) подредете отделните стойности на характеристиката във възходящ ред:

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570

б) определете поредния номер на медианата, като използвате формулата:

в нашия пример това означава, че медианата в този случай се намира между шестата и седмата стойност на атрибута в класираната серия, тъй като серията има четен брой отделни стойности. Така Me е равно на средноаритметичното на съседните стойности: 4550, 4560.

в) разгледайте процедурата за изчисляване на медианата в случай на нечетен брой отделни стойности.

Да кажем, че наблюдаваме не 12, а 11 точки за обмяна на валута, тогава класираните серии ще изглеждат така (изхвърлете 12-та точка):

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570

Средно число: NoMe = ;

на шесто място е = 4560, което е медианата: Me = 4560. От двете му страни има еднакъв брой точки.

Мода— това е най-често срещаната стойност на характеристика сред единици от дадена популация. Съответства на определена стойност на атрибута.

В нашия случай модалната цена на долар може да се нарече 4560 рубли: тази стойност се повтаря 4 пъти, по-често от всички останали.

На практика модата и медианата обикновено се намират с помощта на групирани данни. В резултат на групирането се получава поредица от разпределения на банките според размера на получената печалба за годината (Таблица 3.6.).

Таблица 3.6.

Групиране на банките по размера на получената печалба за годината

За да определите медианата, трябва да изчислите сумата от кумулативните честоти. Общото увеличение продължава, докато кумулативната сума на честотите надвиши половината от сумата на честотите. В нашия пример сумата от натрупаните честоти (12) надвишава половината от всички стойности (20:2). Тази стойност съответства на средния интервал, който съдържа медианата (5,5 - 6,4). Нека определим стойността му по формулата:

където е началната стойност на интервала, съдържащ медианата;

— стойността на средния интервал;

f— сума от честотите на серията;

— сумата от кумулативните честоти, предхождащи средния интервал;

— честота на средния интервал.

Така 50% от банките имат печалба от 6,1 милиона рубли, а 50% от банките имат печалба от над 6,1 милиона рубли.

Най-високата честота също съответства на интервала 5,5 - 6,4, т.е. режимът трябва да е в този интервал. Определяме стойността му по формулата:

където е началната стойност на интервала, съдържащ режима;

— стойността на модалния интервал;

— честота на модалния интервал;

— честота на интервала, предшестващ модалния;

— честота на интервала, следващ модалния.

Дадената модна формула може да се използва във вариационни серии с равни интервали.

По този начин в тази популация най-често срещаният размер на печалбата е 6,10 милиона рубли.

Медианата и модата могат да се определят графично. Медианата се определя от кумулата (фиг. 3.1.). За да се конструира, е необходимо да се изчислят кумулативните честоти и честоти. Кумулативните честоти показват колко единици на съвкупността имат стойности на атрибути не по-големи от разглежданата стойност и се определят чрез последователно сумиране на интервални честоти. При конструиране на кумулативна серия на интервално разпределение долната граница на първия интервал съответства на честотата равно на нула, а горната граница е цялата честота на даден интервал. Горната граница на втория интервал съответства на кумулативна честота, равна на сумата от честотите на първите два интервала и т.н.

Нека построим кумулативна крива според данните в табл. 6 относно разпределението на банките по норма на печалба.

S кумулативни честоти

12_

_

3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 X печалба

ориз. 3.1. Кумулати на серията от разпределение на банките по размер на печалбата:

x - размер на печалбата, милиони рубли,

S—натрупани честоти.

За да се определи медианата, височината на най-голямата ордината, която съответства на общия размер на населението, се разделя наполовина. През получената точка се изчертава права линия, успоредна на абсцисната ос, докато се пресече с кумулата. Абсцисата на пресечната точка е медианата.

Режимът се определя от хистограмата на разпределението. Хистограмата е изградена по следния начин:

На абсцисната ос се нанасят равни сегменти, които в приетия мащаб съответстват на размера на интервалите вариационна серия. Върху сегментите са изградени правоъгълници, чиито площи са пропорционални на честотите (или честотите) на интервала.

Медиана в статистиката

3.2. Показана е хистограма на разпределението на банките по норма на печалба (съгласно таблица 3.6.).

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 X

ориз. 3.2. Разпределение на търговските банки по норма на печалба:

x - размер на печалбата, милиони рубли,

f е броят на банките.

За да определим режима, свързваме десния връх на модалния правоъгълник с горния десен ъгъл на предишния правоъгълник, а левия връх на модалния правоъгълник с горния ляв ъгъл на следващия правоъгълник. Абсцисата на пресечната точка на тези линии ще бъде режимът на разпределение.

Медиана (статистика)

Медиана (статистика), В математическа статистика— число, характеризиращо проба (например набор от числа). Ако всички елементи на извадката са различни, тогава медианата е номерът на извадката, така че точно половината от елементите на извадката са по-големи от нея, а другата половина са по-малки от нея. По-общо, медианата може да бъде намерена чрез подреждане на елементите на извадка във възходящ или низходящ ред и вземане на средния елемент. Например извадката (11, 9, 3, 5, 5) след подреждане се превръща в (3, 5, 5, 9, 11) и нейната медиана е числото 5. Ако извадката има четен брой елементи, медианата може да не е уникално определена: за числови данни най-често се използва полусумата от две съседни стойности (т.е. медианата на набора (1, 3, 5, 7) се приема равна на 4).

С други думи, медианата в статистиката е стойност, която разделя серия наполовина по такъв начин, че от двете й страни (надолу или нагоре) има еднакъв брой единици в дадена популация.

Задача No1. Изчисляване на средно аритметично, модални и медианни стойности

Поради това свойство този показател има няколко други имена: 50-ти персентил или 0,5 квантил.

• Средна стойност
  
• Медиана
  
• Мода
  

Медиана (статистика)

Медиана (статистика), в математическата статистика, число, характеризиращо извадка (например набор от числа). Ако всички елементи на извадката са различни, тогава медианата е номерът на извадката, така че точно половината от елементите на извадката са по-големи от нея, а другата половина са по-малки от нея. По-общо, медианата може да бъде намерена чрез подреждане на елементите на извадка във възходящ или низходящ ред и вземане на средния елемент. Например извадката (11, 9, 3, 5, 5) след подреждане се превръща в (3, 5, 5, 9, 11) и нейната медиана е числото 5.

5.5 Мода и медиана. Изчисляването им в дискретни и интервални вариационни редове

Ако има четен брой елементи в извадката, медианата може да не е уникално определена: за числови данни най-често се използва полусумата от две съседни стойности (т.е. медианата на набора (1, 3, 5, 7) се приема равно на 4).

С други думи, медианата в статистиката е стойност, която разделя серия наполовина по такъв начин, че от двете й страни (надолу или нагоре) има еднакъв брой единици в дадена популация. Поради това свойство този показател има няколко други имена: 50-ти персентил или 0,5 квантил.

Медианата се използва вместо средноаритметичната стойност, когато екстремните варианти на класираната серия (най-малката и най-голямата) в сравнение с останалите се окажат прекалено големи или прекалено малки.

Функцията MEDIAN измерва централната тенденция, която е центърът на набор от числа в статистическо разпределение. Има три най-често срещани начина за определяне на централната тенденция:

• Средна стойност- средно аритметично, което се изчислява чрез събиране на набор от числа и след това получената сума се разделя на техния брой.
  Например средната стойност на числата 2, 3, 3, 5, 7 и 10 е 5, което е резултат от разделянето на сбора им от 30 на сбора им от 6.
• Медиана- число, което е средата на набор от числа: половината числа имат стойности, по-големи от медианата, а половината числа имат стойности по-малки.
  Например медианата за числата 2, 3, 3, 5, 7 и 10 би била 4.
• Мода- числото, което най-често се среща в даден набор от числа.
  Например режимът за числата 2, 3, 3, 5, 7 и 10 ще бъде 3.

Урок по алгебра в 7 клас.

Тема: “Медианата като статистическа характеристика.”

Учител Егорова Н.И.

Целта на урока: да се формира у учениците представа за медианата на набор от числа и способността да се изчислява за прости числови набори, да се консолидира концепцията за средното аритметично число на набор от числа.

Тип урок: обяснение на нов материал.

Напредък на урока

1. Организационен момент.

Информирайте темата на урока и формулирайте неговите цели.

2. Актуализиране на предишни знания.

Въпроси към учениците:

Какво е средноаритметичното на набор от числа?

Къде се намира средната аритметична стойност в набор от числа?

Какво характеризира средноаритметичната стойност на набор от числа?

Къде е често използваната средна аритметична стойност на набор от числа?

Устни задачи:

Намерете средната аритметична стойност на набор от числа:

Проверка на домашните.

Учебник: № 169, № 172.

3. Изучаване на нов материал.

В предишния урок се запознахме с такава статистическа характеристика като средноаритметичното на набор от числа. Днес ще посветим урок на още един статистически характеристики– медиана.

Не само средното аритметично показва къде на числовата ос се намират числата от всяко множество и къде е техният център. Друг показател е медианата.

Медианата на набор от числа е числото, което разделя набора на две равни части. Вместо „медиана“, можете да кажете „среда“.

Първо, нека да разгледаме примери как да намерим медианата и след това да дадем строго определение.

Разгледайте следния устен пример с помощта на проектор

В края на учебната година 11 ученици от 7 клас преминаха норматив на бягане на 100 метра. Бяха записани следните резултати:

След като момчетата пробягаха разстоянието, Петя се приближи до учителя и попита какъв е резултатът му.

„Най-среден резултат: 16,9 секунди“, отговори учителят.

"Защо?" – изненада се Петя. – Все пак средноаритметичното от всички резултати е приблизително 18,3 секунди, а аз бягах с повече от секунда по-добре. И като цяло резултатът на Катя (18,4) е много по-близо до средния от моя.

„Вашият резултат е среден, тъй като петима души тичаха по-добре от вас, а петима - по-лошо. Тоест вие сте точно по средата”, каза учителят.

Запишете алгоритъм за намиране на медианата на набор от числа:

Подредете набор от числа (направете класирана серия).

Едновременно задраскайте „най-големите“ и „най-малките“ числа от даден набор от числа, докато останат едно или две числа.

Ако остане едно число, това е медианата.

Ако останат две числа, тогава медианата ще бъде средната аритметична на двете останали числа.

Поканете учениците самостоятелно да формулират дефиницията на медианата на набор от числа, след това да прочетат дефиницията на медианата в учебника (стр. 40), след което да решат № 186 (а, б), № 187 (а) от учебника (стр. 41).

коментар:

Обърнете вниманието на учениците към важен факт: медианата е практически нечувствителна към значителни отклонения на отделни екстремни стойности на набори от числа. В статистиката това свойство се нарича стабилност. Устойчивост статистически показател– много важно свойство, то ни застрахова срещу случайни грешки и отделни ненадеждни данни.

4. Затвърдяване на изучения материал.

Разрешаване на проблеми.

Нека обозначим x-средно аритметично, Me-медиана.

Набор от числа: 1,3,5,7,9.

x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,

Набор от числа: 1,3,5,7,14.

x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.

а) Набор от числа: 3,4,11,17,21

б) Набор от числа: 17,18,19,25,28

в) набор от числа: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Заключение: медианата на набор от числа, състояща се от нечетен брой членове, е равна на числото в средата.

а) Набор от числа: 2, 4, 8, 9.

Аз = (4+8):2=12:2=6

б) набор от числа: 1,3,5,7,8,9.

Аз = (5+7):2=12:2=6

Медианата на набор от числа, съдържащ четен брой членове, е равна на половината от сбора на двете числа в средата.

През тримесечието ученикът получи следните оценки по алгебра:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Намерете GPAи медианата на това множество.

Нека намерим средния резултат, тоест средноаритметичното:

x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4,4

Нека намерим медианата на този набор от числа:

Нека подредим набора от числа: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Има само 10 числа, за да намерите медианата, трябва да вземете двете средни числа и да намерите тяхната полусума.

Аз = (5+5):2 = 5

Въпрос към учениците: Ако бяхте учител, каква оценка бихте поставили на този ученик за тримесечието? Обосновете отговора си.

Президентът на компанията получава заплата от 300 000 рубли. трима от неговите заместници получават по 150 000 рубли, четиридесет служители - по 50 000 рубли. и заплатата на чистачката е 10 000 рубли. Намерете средноаритметичната и медианата на заплатите във фирмата. Коя от тези характеристики е по-изгодна за президента да използва за рекламни цели?

x = (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45=61333,33 (руб.)

No 6. Устно.

А) Колко числа има в набор, ако неговият девет член е неговата медиана?

Б) Колко числа има в набор, ако неговата медиана е средноаритметичното на 7-ия и 8-ия член?

В) В набор от седем числа най-голямото число се увеличава с 14. Това ще промени ли средното аритметично и медианата?

Г) Всяко от числата в набора се увеличава с 3. Какво се случва със средното аритметично и медианата?

Сладките в магазина се продават на тегло. За да разбере колко бонбони се съдържат в един килограм, Маша реши да намери теглото на един бонбон. Тя претегли няколко бонбона и получи следните резултати:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

И двете характеристики са подходящи за оценка на теглото на един бонбон, т.к те не се различават много един от друг.

Така че, за да се характеризира статистическата информация, се използват средната аритметична стойност и медианата. В много случаи една от характеристиките може да няма никакво смислено значение (например, имайки информация за времето на пътните произшествия, едва ли има смисъл да говорим за средно аритметично на тези данни).

Домашна работа: параграф 10, № 186 (c, d), № 190.

5. Обобщение на урока. Отражение.

1. "Статистически изследвания: събиране и групиране на статистически данни"

   урок

   … теми, предложен за седми клас. ТЕМАТИЧНО ПЛАНИРАНЕ. § 1. Статистическихарактеристики. P 1. Средно аритметично, диапазон и мода 1h. П 2. Медианакакстатистическихарактеристика …

2. Работна програма на учебната програма по алгебра в 7 клас (основно ниво) обяснителна записка

   Работна програма

   ... клауза 10 Медианакакстатистическихарактеристика 23 стр.9 Средно аритметично, диапазон и мода 24 Тест№ 2 от тема …

3. Работна програма. Математика. 5 клас Стр. Канаши. 2011 г

   Работна програма

   ... уравнения. Средно аритметично, диапазон и мода. Медианакакстатистическихарактеристика. Целта е да се систематизира и обобщи информацията за ... и умения, придобити при уроциспоред теми(добре алгебра 10 клас). 11 Клас(4 часа седмично...

4. Заповед № 51 от 30 август 2012 г. Работна програма по алгебра 7. клас

   Работна програма

   … учебен материал МедианакакстатистическихарактеристикаПознаване на определението за средно аритметично, диапазон, режим и медианикакстатистическихарактеристикиФронтални и индивидуални...

5. Работна програма по математика 7 клас II ниво основно ниво (1)

   Работна програма

   Как да намерим медианата на серия

   същото, какна 6 клас. Учене темизавършва със запознаване на учениците с най-простите статистическихарактеристики: средно... М.: Издателство "Генжер", 2009. 3. Жохов, В.И. Уроциалгебрана 7 клас: книга за учителя / В. И. Жохов ...

Други подобни документи...

Структурни (позиционни) средниса средните стойности, които заемат конкретно място(позиция) в серията от класирани вариации.

Мода(мо) е стойността на атрибута, който се среща най-често в изследваната популация.

За дискретни вариационни сериимода ще бъде стойността на опциите с най-висока честота

Пример. Определете режима, като използвате наличните данни (Таблица 7.5).

Таблица 7.5 - Разпределение на дамските обувки, продавани в магазин за обувки Н, февруари 2013 г

Според таблицата. 5 е ясно, че най-високата честота f макс= 28, съответства на стойността на атрибута х= размер 37. следователно мо= 37 номер обувки, т.е. Това е точният размер обувки, който използвах най-търсени, най-често купуваните обувки са номер 37.

IN първо определено модален интервал, т.е. съдържащ режим – интервалът с най-висока честота (в случая интервално разпределениес равни интервали, при неравни интервали - според най-високата плътност).

Режимът се счита приблизително за средата на модалния интервал. Конкретната стойност на режима за интервална серия се определя по формулата:

Къде x Mo– долна граница на модалния интервал;

i Mo– стойността на модалния интервал;

f Mo– честота на модалния интервал;

f Mo -1– честота на интервала, предхождащ модалния;

f Mo +1– честота на интервала, следващ модалния.

Пример. Определете режима, като използвате наличните данни (Таблица 7.6).

Таблица 7.6 – Разпределение на служителите по трудов стаж

Според таблицата. 6 е ясно, че най-високата честота f макс= 35, съответства на интервала: 6-8 години (модален интервал). Нека да определим режима по формулата:

години.

следователно мо= 6,8 години, т.е. Повечето служители имат 6,8 години опит.

Името медиана е взето от геометрията, където се отнася до сегмент, свързващ един от върховете на триъгълник със средата на противоположната страна и по този начин разделя страната на триъгълника на две равни части.

Медиана(аз) – Това е стойността на атрибута, който попада в средата на класираната популация. В противен случай медианата е стойност, която разделя броя на подредена вариационна серия на две равни части - едната част има стойности на вариращата характеристика, по-малки от средната опция, а другата има по-големи стойности.

За класирани серии(т.е. подредени - изградени във възходящ или низходящ ред на отделни стойности на характеристика) с нечетен брой термини ( n=нечетно) медианата е опцията, разположена в центъра на реда. Пореден номер на медианата ( N Аз) се определя, както следва:

N Me =(n+1)/ 2.

Пример.В поредица от 51 термина средното число е (51+1)/2 = 26, т.е. Медианата е опцията, която е 26-та по ред в реда.

За класирана серия с четен брой термини ( n=дори) – медианата ще бъде средната аритметична стойност на две стойности на атрибути, разположени в средата на серията. Серийните номера на двете централни опции се определят, както следва:

N Me 1 =n/ 2; N Me 2 =(n/ 2)+ 1.

Пример.Когато n=50; N Me1 = 50/2 = 25; N Me2= (50/2)+1 = 26, т.е. Медианата е средната стойност на опциите, които са 25-ти и 26-ти по ред.

IN дискретни вариационни серииМедианата се намира по натрупаната честота, съответстваща на поредния номер на медианата или надвишаваща го за първи път. В противен случай натрупаната честота е равна или за първи път надвишава половината от сбора на всички честоти на серията.

Пример. Определете медианата въз основа на наличните данни (Таблица 7.7).

Таблица 7.7 ​​- Разпределение на дамски обувки, продавани в магазин за обувки Н, февруари 2013 г

Според таблицата. 7 определяме поредния номер на медианата: N Me =( 67+1)/2=34.

Мода. Медиана. Методи за тяхното изчисляване (стр. 1 от 2)

Натрупаната честота надвишава тази стойност за първи път С= 41, съответства на стойността на атрибута х= размер 37. следователно аз= 37 номер обувки, т.е. Половината от чифтовете се купуват по-малки от размер 37, а другата половина се купуват по-големи.

В този пример режимът и медианата са еднакви, но може да не са еднакви.

IN интервални вариационни сериинатрупаните честоти се определят въз основа на данните за натрупаните честоти, които са намерени среден интервал– интервал, в който натрупаната честота е наполовина или за първи път надхвърля половината от общата сума на честотите. Формулата за определяне на медианата в серия с интервално разпределение е следващ изглед:

.

Къде xMe– долна граница на медианния интервал;

аз аз– стойността на медианния интервал;

∑f i– сума от честотите на серията;

S Me -1– сумата от натрупаните честоти на интервала, предхождащ медианата;

е аз– честота на медианния интервал.

Пример. Определете медианата въз основа на наличните данни (Таблица 7.8).

Таблица 7.8 – Разпределение на служителите по трудов стаж

Според таблицата. 8 определяме поредния номер на медианата: N Me = 100/2=50. Натрупаната честота надвишава тази стойност за първи път С= 82, съответства на интервал от 6-8 години (среден интервал). В този пример модалният интервал и средният интервал са еднакви, но може да не са еднакви. Нека определим медианата по формулата:

години

следователно аз= 6,2 години, т.е. половината от работниците са с по-малко от 6,2 години стаж, а другата половина с над 6,2 години стаж.

Модата и медианата се използват широко в различни области на икономиката. По този начин изчисляването на модалната производителност на труда, модалните разходи и т.н. дава възможност на икономиста да прецени преобладаващото в моментатяхното ниво. Тази характеристика трябва да се използва за идентифициране на резервите на нашата икономика. Модата има значение за решаването на практически проблеми. По този начин при планирането на масовото производство на облекло и обувки се установява размерът на продукта, който е в най-голямо търсене (модален размер). Режимът може да се използва като приблизителна характеристика на нивото на изследваната характеристика вместо средноаритметично, ако честотното разпределение е близко до симетрично и има един неплосък връх.

Медианата трябва да се използва като средна стойност в случаите, когато няма достатъчно доверие в хомогенността на изследваната популация. Медианата се влияе не толкова от самите стойности, колкото от броя на случаите на определено ниво. Трябва също да се отбележи, че медианата винаги е специфична (при голям брой наблюдения или в случай на нечетен брой членове на съвкупността), т.к. под мехнякакъв действителен реален елемент от съвкупността се подразбира, докато средната аритметична честота приема стойност, която никоя друга единица в популацията не може да приеме.

Основна собственост мехе, че сумата от абсолютните отклонения на стойностите на атрибута от медианата е по-малка от всяка друга стойност: . Този имот мехможе да се използва например при определяне на строителната площадка на обществени сгради, т.к мехопределя точката, която дава най-късото разстояние, например на детските градини от местоживеенето на родителите, жителите селищеот киното, при проектиране на трамвайни и тролейбусни спирки и др.

В системата от структурни показатели показателите за характеристиките на формата на разпределение са опциите, които заемат определено място в класираните вариационни серии (всеки четвърти, пети, десети, двадесет и пети и т.н.). По подобен начин, с намирането на медианата във вариационни серии, можете да намерите стойността на характеристика за всяка единица от класираната серия.

Квартили– характерни стойности, разделящи класираната съвкупност на четири равни части. Има по-ниски квартили ( Въпрос 1), средно ( Въпрос 2) и отгоре ( Въпрос 3). Долният квартил разделя 1/4 от населението с най-ниски стойности на характеристиката, горният - 1/4 от населението с най-високи стойностизнак. Това означава, че 25% от единиците в популацията ще бъдат с по-малък размер Въпрос 1; 25% от единиците ще бъдат договорени между Въпрос 1И Въпрос 2; 25% – между Въпрос 2И Въпрос 3; останалите 25% надвишават Въпрос 3. Среден квартил ( Въпрос 2) е медианата .

За да изчислите квартили с помощта на интервална серия, използвайте следните формули:

;

.

Къде x Q1– долната граница на интервала, съдържащ долния квартил (интервалът се определя от натрупаната честота, като първата надвишава 25%);

x Q3– долната граница на интервала, съдържащ горния квартил (интервалът се определя от натрупаната честота, като първата надвишава 75%);

S Q 1-1– акумулирана честота на интервала, предхождащ интервала, съдържащ долния квартил;

S Q 3-1– акумулирана честота на интервала, предхождащ интервала, съдържащ горния квартил;

f Q1– честота на интервала, съдържащ долния квартил;

f Q3– честота на интервала, съдържащ горния квартил.

Децили– това са стойностите на вариантите, които разделят класираната серия на десет равни части: 1-ви децил ( d 1) разделя населението в съотношение 1/10 към 9/10, 2-ри децил ( г 2) - в съотношение 2/10 към 8/10 и т.н. Децилите се изчисляват по същата схема като медианата и квартилите:

;

.

Използването на разпределението на характеристиките, обсъдени по-горе, в анализа на вариационни серии ни позволява да характеризираме изследваната популация в дълбочина и детайли.

ВИЖТЕ ПОВЕЧЕ:

Структурни средни

Наред със средните мощности, структурните средни са широко разпространени.

Структурата на статистическите агрегати варира. Освен това, колкото по-симетрично е разпределението на единиците на съвкупността, толкова по-качествено хомогенен е нейният състав според изследваната характеристика, толкова по-добре и по-достоверно средната стойност на характеристиката характеризира изследваното явление. Но за случаите на рязко изкривяване (асиметрия) на серията на разпределение средноаритметичната стойност вече не е толкова типична. Например средният размер на депозита в спестовните банки не представлява особен интерес, тъй като по-голямата част от депозитите са под това ниво, а средният размер се влияе значително от големите депозити, които са малко и които не са характерни за масата на депозити.

Мода (статистика)

В такива случаи статистиката използва друга система - системата на спомагателните структурни средни. Те включват режим, медиана, както и квартели, квинтели, децели, процентели.

Мода (Mo)– най-често срещаната стойност на характеристика, а в дискретна вариационна серия – това е вариантът с най-висока честота.

В статистическата практика модата се използва при изследване на доходите на населението, потребителското търсене, регистрирането на цените и при анализа на някои технически и икономически показатели за ефективността на предприятието.

В някои случаи това е режимът, който представлява интерес, а не средноаритметичното. Понякога се използва вместо средно аритметично, например, за характеризиране на структурата на сериите на разпределение.

Процедурата за определяне на режима зависи от вида на разпределителната серия. Ако варираща характеристика е представена под формата на дискретна серия, тогава не са необходими изчисления за определяне на режима. В такава серия режимът ще бъде стойността на атрибута, който има най-висока честота.

Ако стойността на дадена характеристика е представена под формата на серия от интервални вариации с равни интервали, тогава режимът се определя чрез изчисление по формулата:

Къде X мо– долна граница на модалния интервал,

аз мо– стойността на модалния интервал,

f мо , f Mo-1 , f Mo+1– съответно честотите на модалните, премодалните (предишните) и постмодалните (следващите модални) интервали.

Медиана (аз)– това е стойността на характеристика, която е в средата на класирана серия от вариации, където отделните стойности на характеристиката (вариантите) са подредени във възходящ или низходящ ред (по ранг).

Медианата трябва да се използва като средна стойност в случаите, когато няма достатъчно доверие в хомогенността на изследваната популация. Медианата се използва в маркетингови дейности. Например местоположението на асансьори, заводи за първично винопроизводство, консервни фабрики, сборът от разстоянията, до които от доставчиците на суровини трябва да бъде най-малък.

Медианата, подобно на режима, се определя по различни начини. Това зависи от структурата на серията за разпространение.
За да определите медианата в дискретни вариационни серии:

1) намерете серийния му номер, като използвате формулата

N Me =
2) изградете поредица от натрупани честоти

3) намерете натрупаната честота, която е равна на поредния номер на медианата или я надвишава

4) опция, съответстваща на дадена натрупана честота, е медианата.

Ако броят на членовете на дискретна серия е нечетен, тогава медианата е в средата на серията и разделя тази серия наполовина на две равни части според броя на членовете на серията. Поредният номер на медианата в този случай се изчислява по формулата:

N Me =(f + 1)2,

Къде  f – брой членове на поредицата.

При интервални серии първо се определя средният интервал. За това, същото като в дискретна серия, изчислете поредния номер на медианата. Натрупаната честота, която е равна на медианното число или първата, която го надвишава, в интервалната вариационна серия съответства на медианния интервал. Нека означим тази натрупана честота S Me. Медианата се изчислява директно по формулата:

,
където е долната граница на средния интервал

— стойността на средния интервал

— натрупаната честота на интервала, предхождащ медианата

— честота на средния интервал

Графично определение на мода и медиана
Модата и медианата в интервална серия могат да се определят графично.

Режимът се определя от хистограмата на разпределението. За да направите това, изберете най-високия правоъгълник, който в този случай е модален. След това свързваме десния връх на модалния правоъгълник с горния десен ъгъл на предишния правоъгълник. А левият връх на модалния правоъгълник - с горния ляв ъгъл на следващия правоъгълник. След това от точката на тяхното пресичане се спуска перпендикуляр върху абсцисната ос. Абсцисата на пресечната точка на тези линии ще бъде режимът на разпределение (фиг. 1). Медианата се изчислява от кумулата (фиг. 2). За да се определи, от точка на скалата на натрупаните честоти (честоти), съответстваща на 50%, се начертава права линия, успоредна на абсцисната ос, докато се пресече с кумулата. След това от точката на пресичане на посочената линия с кумулата се спуска перпендикуляр към абсцисната ос. Абсцисата на пресечната точка е медианата.

Индикатори за вариация в статистиката.

В ход статистически анализМоже да възникне ситуация, когато стойностите на средните стойности съвпадат и популациите, въз основа на които се изчисляват, се състоят от единици, чиито стойности на атрибути се различават доста рязко една от друга. В този случай се изчисляват индексите на вариация.

Каталог:изтегляния -> Sotrudniki
изтегляния -> Н. Л. Иванова М. Ф. Луканина
изтегляния -> Лекция за предучилищни специалисти и родители „Превенция агресивно поведениедеца в предучилищна възраст"
изтегляния -> Психологическа професионална адаптация на личността
изтегляния -> Министерство на образованието и науката Кемеровска областКемеровски регионален психологически и валеологичен център
изтегляния -> Федерална служба на Руската федерация за контрол на наркотиците, Управление за Кемеровска област
Sotrudniki -> Bow Чувашка република SPO "Chetk" Министерство на образованието на Чувашия
изтегляния -> Характеристики на психологическата и педагогическа подкрепа за развитието на деца в предучилищна възраст
изтегляния -> Мишина М. М. Развитие на мисленето в зависимост от участието в семейните отношения
Сътрудники -> Формиране на професионално значими качества у ученици с интелектуални затруднения по професия

ТЕСТ

По темата: "Режим. Медиана. Методи за тяхното изчисляване"

Въведение

Средните стойности и свързаните с тях показатели за вариация играят много важна роля в статистиката, което се дължи на предмета на нейното изследване. Ето защо тази темае един от централните в курса.

Средната стойност е много често срещана обобщена мярка в статистиката. Това се обяснява с факта, че само с помощта на средната стойност една съвкупност може да се характеризира с количествено вариращ признак. В статистиката средната стойност е обобщаваща характеристика на набор от подобни явления, основана на някаква количествено варираща характеристика. Средната стойност показва нивото на тази характеристика на единица от населението.

Когато изучават социалните явления и се опитват да идентифицират техните характерни, типични черти в конкретни условия на място и време, статистиците широко използват средни стойности. Използвайки средни стойности, можете да сравнявате различни популации една с друга според различни характеристики.

Средните стойности, използвани в статистиката, принадлежат към класа на степенните средни. От средните мощности най-често се използва средноаритметичното, по-рядко средното хармонично; Средната хармонична стойност се използва само при изчисляване на средните темпове на динамика, а средната квадратична стойност се използва само при изчисляване на индексите на вариация.

Средно аритметичното е частното от разделянето на сбора на вариантите на техния брой. Използва се в случаите, когато обемът на вариращ признак за цялата съвкупност се формира като сума от характерните стойности на отделните му единици. Средноаритметичната стойност е най-често срещаният вид средна стойност, тъй като съответства на природата социални явления, където обемът на вариращите признаци в съвкупността най-често се формира именно като сума от характерните стойности на отделните единици от съвкупността.

Съгласно определящото си свойство хармоничната средна трябва да се използва, когато общият обем на атрибута се формира като сума от обратните стойности на варианта. Използва се, когато в зависимост от материала теглата не трябва да се умножават, а да се разделят на опции или, което е същото, да се умножат по реципрочната им стойност. Средната хармонична в тези случаи е реципрочната на средната аритметична стойност на реципрочните стойности на характеристиката.

Към хармоничната средна стойност трябва да се прибягва в случаите, когато като тегла се използват не единиците от съвкупността - носители на характеристиката, а произведенията на тези единици по стойността на характеристиката.

1. Дефиниция на режим и медиана в статистиката

Аритметичните и хармоничните средни са обобщаващи характеристики на съвкупността по един или друг вариращ признак. Спомагателни описателни характеристики на разпределението на вариращ признак са мода и медиана.

В статистиката модата е стойността на характеристика (вариант), която най-често се среща в дадена популация. В серия от варианти това ще бъде опцията с най-висока честота.

В статистиката медианата е опцията, която е в средата на вариационната серия. Медианата разделя серията наполовина; от двете й страни (нагоре и надолу) има еднакъв брой съвкупност.

Режимът и медианата, за разлика от степенните средства, са специфични характеристики; тяхното значение се приписва на всяка конкретна опция в вариационната серия.

Режимът се използва в случаите, когато е необходимо да се характеризира най-често срещаната стойност на характеристика.

5.5 Мода и медиана. Изчисляването им в дискретни и интервални вариационни редове

Ако имате нужда, например, да разберете най-често срещания размер заплатив предприятието, пазарната цена, на която е продадено най-голямото числостоки, най-търсеният от потребителите размер обувки и т.н., в тези случаи прибягват до модата.

Медианата е интересна с това, че показва количествената граница на стойността на варираща характеристика, която половината от членовете на съвкупността са достигнали. Нека средната заплата на банковите служители е 650 000 рубли. на месец. Тази характеристика може да бъде допълнена, ако кажем, че половината от работниците са получили заплата от 700 000 рубли. и по-висока, т.е. Нека дадем медианата. Модата и медианата са типични характеристики в случаите, когато популациите са хомогенни и големи на брой.

Намиране на модата и медианата в дискретна вариационна серия

Намирането на режима и медианата в вариационна серия, където стойностите на дадена характеристика са дадени с определени числа, не е много трудно. Нека разгледаме таблица 1 с разпределението на семействата по брой деца.

Таблица 1. Разпределение на семействата по брой деца

Очевидно в този пример модата ще бъде семейство с две деца, тъй като тази стойност на опцията съответства на най-голям брой семейства. Може да има разпределения, при които всички опции се срещат еднакво често, в който случай няма режим или, с други думи, можем да кажем, че всички опции са еднакво модални. В други случаи не една, а две опции могат да бъдат с най-висока честота. Тогава ще има два режима, разпределението ще бъде бимодално. Бимодалните разпределения могат да показват качествена хетерогенност на популацията според изследваната характеристика.

За да намерите медианата в серия от дискретни вариации, трябва да разделите сумата от честотите наполовина и да добавите ½ към резултата. И така, при разпределението на 185 семейства по броя на децата, медианата ще бъде: 185/2 + ½ = 93, т.е. 93-та опция, която разделя наредения ред наполовина. Какъв е смисълът на 93-та опция? За да разберете, трябва да натрупате честоти, започвайки от най-малките опции. Сумата от честотите на 1-ви и 2-ри вариант е 40. Ясно е, че тук няма 93 варианта. Ако добавим честотата на 3-та опция към 40, получаваме сума, равна на 40 + 75 = 115. Следователно 93-та опция съответства на третата стойност на вариращия признак, а медианата ще бъде семейство с две деца.

Режим и медиана в в този примерсъвпадна. Ако имахме четна сума от честоти (например 184), тогава, използвайки горната формула, ще получим числото на средната опция, 184/2 + ½ =92,5. Тъй като няма дробни опции, резултатът показва, че медианата е по средата между 92 и 93 опции.

3. Изчисляване на мода и медиана в интервални вариационни серии

Описателният характер на модата и медианата се дължи на факта, че те не компенсират индивидуалните отклонения. Те винаги отговарят на конкретна опция. Следователно режимът и медианата не изискват изчисления, за да се установи дали всички стойности на атрибута са известни. Въпреки това, в серия от интервални вариации, за да намерите приблизителната стойност на режима и медианата в рамките определен интервалприбягват до изчисления.

За да изчислите определена стойност на модалната стойност на характеристика, съдържаща се в интервал, използвайте формулата:

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/((f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

Където XMo е минималната граница на модалния интервал;

i Mo – стойността на модалния интервал;

f Mo – честота на модалния интервал;

f Mo-1 – честота на интервала, предхождащ модалния;

f Mo+1 – честота на интервала, следващ модалния.

Нека покажем изчислението на режима, като използваме примера, даден в таблица 2.

Таблица 2. Разпределение на работниците в предприятието по изпълнение на производствените норми

За да намерим режима, първо определяме модалния интервал тази серия. Примерът показва, че най-високата честота съответства на интервала, където вариантите са в диапазона от 100 до 105. Това е модалният интервал. Стойността на модалния интервал е 5.

Замествайки числовите стойности от таблица 2 в горната формула, получаваме:

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108,8

Значението на тази формула е следното: стойността на тази част от модалния интервал, която трябва да се добави към минималната му граница, се определя в зависимост от големината на честотите на предходния и следващите интервали. В този случай добавяме 8,8 към 100, т.е. повече от половината интервал, защото честотата на предходния интервал е по-малка от честотата на следващия интервал.

Нека сега изчислим медианата. За да намерим медианата в серия от интервални вариации, първо определяме интервала, в който се намира (медианен интервал). Такъв интервал ще бъде този, чиято кумулативна честота е равна или по-голяма от половината от сбора на честотите. Кумулативните честоти се формират чрез постепенно сумиране на честотите, като се започне от интервал от най-ниска стойностзнак. Половината от сбора на честотите е 250 (500:2). Следователно, според таблица 3, средният интервал ще бъде интервалът със стойност на заплатата от 350 000 рубли. до 400 000 rub.

Таблица 3. Изчисляване на медианата в интервална вариационна серия

Преди този интервал сумата от натрупаните честоти беше 160. Следователно, за да се получи средната стойност, е необходимо да се добавят още 90 единици (250 – 160).

При определяне на средната стойност се приема, че стойността на единиците в интервала е разпределена равномерно. Следователно, ако 115 единици, разположени в този интервал, са разпределени равномерно в интервал, равен на 50, тогава следната стойност ще съответства на 90 единици:

Мода в статистиката

Медиана (статистика)

Медиана (статистика), в математическата статистика, число, характеризиращо извадка (например набор от числа). Ако всички елементи на извадката са различни, тогава медианата е номерът на извадката, така че точно половината от елементите на извадката са по-големи от нея, а другата половина са по-малки от нея.

По-общо, медианата може да бъде намерена чрез подреждане на елементите на извадка във възходящ или низходящ ред и вземане на средния елемент. Например извадката (11, 9, 3, 5, 5) след подреждане се превръща в (3, 5, 5, 9, 11) и нейната медиана е числото 5. Ако извадката има четен брой елементи, медианата може да не е уникално определена: за числови данни най-често се използва полусумата от две съседни стойности (т.е. медианата на набора (1, 3, 5, 7) се приема равна на 4).

С други думи, медианата в статистиката е стойност, която разделя серия наполовина по такъв начин, че от двете й страни (надолу или нагоре) има еднакъв брой единици в дадена популация. Поради това свойство този показател има няколко други имена: 50-ти персентил или 0,5 квантил.

Медианата се използва вместо средноаритметичната стойност, когато екстремните варианти на класираната серия (най-малката и най-голямата) в сравнение с останалите се окажат прекалено големи или прекалено малки.

Функцията MEDIAN измерва централната тенденция, която е центърът на набор от числа в статистическо разпределение. Има три най-често срещани начина за определяне на централната тенденция:

• Средна стойност- средно аритметично, което се изчислява чрез събиране на набор от числа и след това получената сума се разделя на техния брой.
  например, средната стойност на числата 2, 3, 3, 5, 7 и 10 е 5, което е резултат от разделянето на сбора им от 30 на сбора им от 6.
• Медиана- число, което е средата на набор от числа: половината числа имат стойности, по-големи от медианата, а половината числа имат стойности по-малки.
  например, медианата за числата 2, 3, 3, 5, 7 и 10 е 4.
• Мода- числото, което най-често се среща в даден набор от числа.

  напримеррежимът за числата 2, 3, 3, 5, 7 и 10 е 3.

За изчисляване на медианата в MS EXCEL има специална функция MEDIAN(). В тази статия ще дефинираме медианата и ще научим как да я изчисляваме за извадка и за даден закон на разпределение случайна променлива.

Да започнем с медианиЗа мостри(т.е. за фиксиран набор от стойности).

Примерна медиана

Медиана(медиана) е число, което е средата на набор от числа: половината от числата в набора са по-големи от медиана, а половината числа са по-малки от медиана.

Да се ​​изчисли медианинеобходимо първо (стойности в проба). например, медианаза проба (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) ще бъде 4. Защото просто вътре проба 7 стойности, три от които са по-малки от 4 (т.е. 2; 3; 3), а три стойности са по-големи (т.е. 5; 7; 10).

Ако наборът съдържа четен брой числа, тогава се изчислява за двете числа в средата на набора. например, медианаза проба (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) ще бъде 4,5, защото (3+6)/2=4,5.

За определяне медианив MS EXCEL има функция със същото име MEDIAN(), английската версия на MEDIAN().

Медианане е задължително да съвпада с . Съвпадение възниква само ако стойностите в извадката са разпределени симетрично по отношение на средно. Например за мостри (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) медианаИ средноравно на 3,5.

Ако е известно Разпределителна функция F(x) или функция на плътността на вероятността стр(X), Това медианаможе да се намери от уравнението:

Например, след като решихме това уравнение аналитично за логнормалното разпределение lnN(μ; σ 2), получаваме, че медианаизчислено по формулата =EXP(μ). Когато μ=0, медианата е 1.

Обърнете внимание на точката Функции на разпределение, за което Е(x)=0,5(вижте снимката по-горе) . Абсцисата на тази точка е равна на 1. Това е стойността на медианата, която естествено съвпада с предварително изчислената стойност по формулата em.

В MS EXCEL медианаЗа логнормално разпределение LnN(0;1) може да се изчисли с помощта на формулата =LOGNORM.REV(0,5;0;1).

Забележка: Припомнете си, че интегралът на в цялата област на определяне на случайната променлива е равно на единица.

Следователно средната линия (x=медиана) разделя областта под графиката функция на плътността на вероятносттана две равни части.

Режим и медиана– специален вид средни, които се използват за изследване на структурата на вариационните серии. Те понякога се наричат ​​структурни средни, за разлика от обсъдените по-рано средни мощности.

Мода– това е стойността на признак (вариант), който най-често се среща в дадена популация, т.е. има най-висока честота.

Модата има голямо практическо приложение и в някои случаи само модата може да характеризира социалните явления.

Медиана- Това е вариант, който е в средата на подредена серия от варианти.

Медианата показва количествената граница на стойността на вариращ признак, която е достигната от половината единици в популацията. Използването на медианата заедно със средната стойност или вместо нея е препоръчително, ако има отворени интервали във вариационната серия, т.к. за изчисляване на медианата не се изисква условно установяване на границите на отворените интервали и следователно липсата на информация за тях не влияе върху точността на изчисляването на медианата.

Медианата се използва и когато индикаторите, които ще се използват като тегла, са неизвестни. Медианата се използва вместо средноаритметичната стойност в статистическите методи за контрол на качеството на продукта. Сумата от абсолютните отклонения на опциите от медианата е по-малка, отколкото от всяко друго число.

Нека разгледаме изчисляването на модата и медианата в серия от дискретни вариации :

Определете модата и медианата.

Мода Mo = 4 години, тъй като тази стойност съответства на най-високата честота f = 5.

Тези. най-много работници са с 4 години стаж.

За да изчислим медианата, първо намираме половината от сумата на честотите. Ако сумата от честотите е нечетно число, тогава първо добавяме единица към тази сума и след това разделяме наполовина:

Медианата ще бъде осмият вариант.

За да разберем коя опция ще бъде осмата по номер, ще трупаме честоти, докато получим сбор от честоти, равен или по-голям от половината от сбора на всички честоти. Съответната опция ще бъде медианата.

мех = 4 години.

Тези. половината от работниците имат по-малко от четири години опит, половината повече.

Ако сумата от натрупаните честоти срещу една опция е равна на половината от сумата от честотите, тогава медианата се определя като средноаритметично на тази опция и следващата.

Изчисляване на мода и медиана в интервални вариационни серии

Модата в интервалната вариационна серия се изчислява по формулата

Къде X M0- начална граница на модалния интервал,

чм 0 – стойността на модалния интервал,

fм 0 , fм 0-1 , fм 0+1 – честота на модалния интервал, съответно предхождащ и следващ модалния интервал.

МодаленИзвиква се интервалът, на който съответства най-високата честота.

Пример 1

Групи по опит	Брой работници, хора	Натрупани честоти

Определете модата и медианата.

Модален интервал, т.к съответства на най-високата честота f = 35. Тогава:

хм 0 =6, fм 0 =35