Имеется n -канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность , а поток обслуживаний – интенсивность . Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний s 0 , s 1 , s 2 ,…,s k ,…,s n , нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: s 0 – в системе нет заявок (все каналы свободны); s 1 – занят один канал, остальные свободны; s 2 – заняты два канала, остальные свободны;…; s k – занято k каналов, остальные свободны;…; s n – заняты все n каналов (очереди нет); s n +1 – заняты все n каналов, в очереди одни заявка;…; s n + r – заняты все n каналов, r заявок в очереди.

Граф состояний приведен на рис. 7

… …

В отличие от одноканальной СМО интенсивность потока обслуживаний не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины до , т.к. соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок больше, чем n , интенсивность потока обслуживаний сохраняется равной . Если в системе n каналов обслуживания с интенсивностью , интенсивность входящего потока равна , то, чтобы очередь не стала бесконечно большой, необходимо выполнение условия стационарности

Это условие означает, что суммарная скорость обслуживания всех каналов системы должна превосходить скорость поступления требований , иначе система не справится с обслуживанием потока.

Данное условие характерно только для систем с очередью в отличие от систем с отказом, т.к. все поступившие требования должны получить обслуживание.

Используя формулы (11)для процесса гибели и размножения, можно получить формулы для предельных вероятностей состояний n -канальной СМО с неограниченной очередью

(31)

,…, ,…, (32)

,…,

Вероятность того, что в системе заняты обслуживанием все n каналы, определяется по формуле

(33)

Для n -канальной СМО с неограниченной очередью, используя прежние приемы, можно найти:

Среднее число занятых каналов

Среднее число заявок в очереди

,

Среднее число заявок в системе

,

Среднее время обслуживания заявки

Среднее время ожидания обслуживания

Полученные выше формулы значительно упрощаются в случае одно – или двухканальной системы

При n=1

Т.к.

;

При n=2

Т.к.

,

Пример 7. К двум продавцам поступает на обслуживание поток покупателей с интенсивностью 220 человек в час. Каждый из продавцов затрачивает на обслуживание покупателя в среднем 30 секунд. Определите среднюю длину очереди и показатели занятости продавцов.

Решение. , ,

– интенсивность загрузки

– среднее число занятых обслуживанием каналов

– средняя длина очереди

– доля времени простоя продавцов

– доля времени занятости одного из двух продавцов

– доля времени занятости двух продавцов

Пример 8. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью . Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя . Определить минимальное количество контролеров-кассиров n мин , при котором очередь не будет расти до бесконечности и соответствующие характеристики обслуживания при n=n мин .

Решение. По условию , . Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии , т.е. при . Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n min =3 .Р отк =0 , относительная пропускная способность Q=1 , а абсолютная пропускная способность равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. .

Для нашей задачи абсолютная пропускная способность узла расчета A=1,35 1/мин или 81 1/ч , т.е. 81 покупатель в час.

Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.

В систему поступает пуассоновский поток требований интенсивностью λ, поток обслуживания имеет интенсивность μ, максимальное число мест в очереди – т. Если заявка поступает в систему, когда все места в очереди заняты, она покидает систему необслуженной.

Финальные вероятности состояний такой системы всегда существуют, так как число состояний конечно:

S 0 – система свободна и находится в состоянии простоя;

S 1 – обслуживается одна заявка, канал занят, очереди нет;

S 2 – одна заявка обслуживается, одна в очереди;

S m +1 - одна заявка обслуживается,т в очереди.

Граф состояний такой системы показан на рисунке номер 5:

S 0 S 1 S 2 S m+1

μ μ μ ………. μ μ

Рисунок 5: Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

В формуле для р 0 найдем сумму конечного числа членов геометрической прогрессии:

(52)

С учетом формулы для ρ получим выражение:

В скобках находится (m+2) элементов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем ρ. По формуле суммы (m+2) членов прогрессии:

(54)

(55)

Формулы для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:

Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему ее канал будет занят и все места в очереди также заняты:

(57)

Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность ) равны вероятности противоположного события:

Абсолютная пропускная способность – число заявок, обслуженных системой в единицу времени:

(59)

Среднее число заявок под обслуживанием:

(60)

(61)

Среднее число заявок в системе:

(62)

Одноканальную СМО с ограниченной очередью можно рассмотреть в Mathcad.

Пример :

На стоянке обслуживается 3 машины с интенсивностью потока 0,5 и средним временем обслуживания 2,5 минуты. Определить все показатели системы.

6 Многоканальная смо с неограниченной очередью

Пусть дана система S, имеющаяп каналов обслуживания, на которые поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Пусть поток обслуживания также простейший и имеет интенсивность μ. Очередь на обслуживание не ограничена.

По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , гдеS k – состояние системы, когда в ней находитсяkзаявок (максимальное число заявок под обслуживанием -n). Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 6:

λ λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S m+1 S n

μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ

Рисунок 6: Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Интенсивность потока обслуживаний меняется в зависимости от состояния системы: kμ при переходе из состоянияS k в состояниеS k -1 так как может освободиться любой изk каналов; после того, как все каналы заняты обслуживанием, интенсивность потока обслуживаний остается равнойпμ, при поступлении в систему следующих заявок.

Для нахождения финальных вероятностей состояний получим формулы аналогично тому, как это было сделано для одноканальной системы.

(63)

Отсюда формулы для финальных вероятностей выражаются через

Для нахождения р 0 получим уравнение:

Для слагаемых в скобках, начиная с (n+ 2)-го, можно применить формулу нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членоми знаменателем ρ/n:

(66)

Окончательно получим формулу Эрланга для нахождения вероятности простоя системы:

(67)

Приведем формулы для расчета основных яоказателей эффективности работы системы.

Система будет справляться с потоком заявок, если

выполнено условие

, (68)

которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время. При этом вероятность отказа в обслуживании равна нулю.

Отсюда вероятность обслуживания (а также иотносительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события, то есть единице:

(69)

Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженныхсистемой в единицу времени:

(70)

Если система справляется с потоком заявок, то в стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна интенсивности потока поступающих в систему заявок, так как обслуживаются все заявки:

ν=λ . (71)

Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:

(72)

Среднее время обслуживания каналом одной заявки;

. (73)

Вероятность того, что при поступлении в систему заявка окажется в очереди, равна вероятности того, что в системе находится более чем п заявок:

(74)

Число заявок, находящихся под обслуживанием, равно числу занятых каналов:

(75)

Среднее число заявок в очереди:

(76)

Тогда среднее число заявок в системе:

(77)

Среднее время пребывания заявки в системе (в очереди):

(78)

(79)

Многоканальную СМО с неограниченной очередью можно рассмотреть в системе Mathcad.

Пример 1 :

Салон-парикмахерская имеет 5 мастеров. В час пик интенсивность потока клиентов равна 6 человек. В час. Обслуживание одного клиента длится в среднем 40 минут. Определить среднюю длину очереди, считая ее неограниченной.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Пример 2:

В железнодорожной кассе имеются 2 окна. Время на обслуживания одного пассажира 0,5 минут. Пассажиры подходят к кассе по 3 человека. Определить все характеристики системы.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Продолжение решения задачи в Mathcad.

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:

Относительная пропускная способность равна:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов

21. Многоканальная СМО с ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

Все каналы свободны;

Занят один канал, остальные свободны;

Заняты каналов, остальные нет;

Заняты все каналов, свободных нет;

есть очередь:

Заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;

Заняты все n каналов, r заявок в очереди;

Заняты все n каналов, r заявок в очереди.

У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

Среднее число занятых каналов. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии используя соотношение для нее, получаем:

Среднее число заявок в системе:

22. Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все п каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (5.59) только множителем , т. е.

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

23/24. Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .

Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при > 1. Допустив, что < 1 и устремив в формулах (5.56) величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

Среднее число заявок в очереди получим при из (5.59):

асреднее время ожидания - из (5.60):

Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):

СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, раз ставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.

Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой число мест в очереди не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной со средним значением , таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет марковским. Найдем для него вероятности состояний. Нумерация состояний системы связывается с числом заявок в системе - как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

нет очереди:

Все каналы свободны;

Занят один канал;

Заняты два канала;

Заняты все n каналов; есть очередь:

Заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди;

Заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди и т. д.

Граф состояний и переходов системы показан на рис. 5.10.

Разметим этот граф, как и раньше; у всех стрелок, ведущих слева направо, будет стоять интенсивность потока заявок . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех n каналов плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна

Как видно из графа, имеет место схема размножения и гибели; применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме (используя сокращенные обозначения , запишем:

Отметим некоторые особенности СМО с ограниченным ожиданием сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.

Если длина очереди не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае (присоответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при ).

Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок . Это следует из того, что ряд для в знаменателе формулы сходится при любых положительных значениях и .

Для СМО с «нетерпеливыми» заявками понятие «вероятность отказа» не имеет смысла - каждая заявка становится в очередь, но может и не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью . Значит, из среднего числа заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания, заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться

заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

Среднее число занятых каналов по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на :

Среднее число заявок в очереди. Соотношение (5.64) позволяет вычислить среднее число заявок в очереди , не суммируя бесконечного ряда (5.63). Из (5.64) получаем:

а входящее в эту формулу среднее число занятых каналов можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2, ..., n с вероятностями , :

25. Игры с противоположными интересами. Основные понятия. Платежная матрица.

Ситуация, в которой сталкиваются две или более сторон, преследующие различные цели, называется конфликтной. Одним из подходов к реализации оптимизационной мат. модели в условиях неопределенности, когда возникает конфликтная ситуация, является теорией игр.

Игра-мероприятие, состоящее из ряда действий сторон.

Правила игры есть совокупность системы условий, регламентирующих возможные варианты действий сторон, объема информации у каждой стороны о поведении другой, результатов, к которым приводят набор возможных вариантов действий. Игра состоит из ряда последовательных ходов.

Ход-есть выбор одного действия из предусмотренных правилами набора действий.

Стороны, участвующие в конфликте наз. игроками, а исход конфликта-проигрышем(выигрышем).

Стратегией наз. совокупность правил, определяющих выбор варианта при каждом ходе.

Оптимальной наз. стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данной стороне максимально возможный средний выигрыш.

Стратегические игры моделируют конфликтные ситуации, в которых действуют не менее двух сторон, каждая из которых выступает со своими вариантами действий. Нестратегические игры моделируют конфликтные ситуации, когда либо действует одна сторона, либо существует коалиция сторон, все участники которой выступают с одним набором вариантов действий. Игра называется парной, если в ней участвуют ровно 2 игрока и множественной, если число игроков больше двух. Парная стратегия является антагонистической, если цели сторон прямопротивоположны. В этом случае выигрыш одного игрока является проигрышем другого. Конечные стратегии игры описывают конфликтную ситуацию, в которой все стороны имеют конечное число возможных вариантов действий. Если хотя бы одна сторона имеет бесконечное число вариантов, игра относится к классу бесконечных. При одноходовой игре, любая из сторон имеет по одному ходу. При многоходовой, делается более двух ходов.

Матричной игрой наз. стратегическая парная антагонистическая одноходовая игра с конечным числом вариантов действий у каждой из сторон.

Платежная матрица- статистический метод принятия решения, помогающий руководителю выбирать из возможных альтернатив.

А, В	В 1	В 2	…	В n
А 1	a 11	a 12	…	a 1n
А 2	a 21	a 22	…	a 2n
…	…	…	…	…
А m	a m1	a m2	…	a mn

Строки этой матрицы соответствуют стратегиям игрока A , а столбцы – стратегиям игрока B .

26. Нижняя и верхняя цена игры. Принцип минимакса.

В основе решения матричной игры лежит принцип минимакса или максимина, который состоит в том, что одна сторона оценивает целесообразность применения любой из своих стратегий, исходит из возможности наиболее неблагоприятного для себя ответного хода другой стороны.

Выбранная таким образом стратегия гарантирует одной стороне максимально возможный выигрыш (А) при самой неблагоприятной для него стратегии для любой стороны.

А: оценивает для каждой своей стратегии минимально возможный выигрыш αij..

αi= min αij i=1,m

βj= max αij j=1,n

α= max αi i=1,m

α= max min αij i=1,m, j=1,n –нижняя цена игры

β= min max αij i=1,m, j=1,n –верхняя цена игры

Стратегия игрока А, доставляющая максимальный выигрыш, называется максимальной стратегией. Стратегия В, доставляющая минимальной проигрыш, называется минимальной стратегией.

Величина υ=α=β наз. чистой ценой игры.

27. Игры с седловой точкой.

Элемент платежной матрицы, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце, наз. седловой точкой.

При наличии у игры седловой точкой, любая из сторон, уклонившаяся от стратегии, выбранной в соответствии с принципом минимакса, обязательно потеряет эффективность, если только другая сторона придерживается при этом своей стратегии. Подобная ситуация наз. ситуацией равновесия.

При наличии седловой точки, решением игры является пара оптимальной стратегии (A * ij , B * ij), соответствующая этой точке.

Совокупность оптимальных стратегий наз. решением игры чистых стратегий.

1. Если А выбрал оптим. стратегию, то независимо от стратегии В, его выигрыш будет не меньше чистой цены игры.

2. Если В выбрал оптим. стратегию, то какой бы стратегии не придерживался бы А, выигрыш В не превысит чистой цены игры.

28. Решение игры в смешанных стратегиях. Активные стратегии. Теорема об активных стратегиях.

Рассмотрим α ≠β, α<β, α<υ<β.

В случае, если α ≠β, то у такой игры нет седловой точки В этом случае принцип минимакса или максимина не подходит.

(Решение игр 2х2)

Смешанные стратегии предполагают, что каждый игрок будет выбирать случайные из возможно допустимых чистых стратегий, либо частично реализовывать чистые стратегии в заданных пропорциях.

Активными называются те стратегии, которые доминируют над другими.

Рассмотрим игру 2хn

Наносим на оси цену игрока В.

Из самой высокой точки опускаем перпендикуляр.

Самая высокая точка нижней ломаной является точкой пересечения прямых, соответствующих активным стратегиям В*1 и В*2.

Таким образом исходная игра сокращается до игры 2х2.

Решаем игру и находим вероятности активных стратегий. Вероятности активных стратегий.

Вероятности пассивных стратегий приравниваем к нулю.

36. Игра 2*2.Аналитический и графический способы решения.

В общем случае игра 2 2 определяется матрицей

Прежде всего необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет чистых стратегий, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями. В противном случае один из игроков (например 1) имеет чистую оптимальную стратегию, а другой – только смешанные. Не ограничивая общности, можно считать, что оптимальной стратегией игрока 1 является выбор с вероятностью 1 первой строки. Далее, по свойству 1 следует, что а 11 = а 12 =  и матрица имеет вид

Легко видеть, что для матриц такого вида одна из стратегий игрока 2 является доминируемой. Следовательно, по свойству 4 этот игрок имеет чистую стратегию, что противоречит предположению.

Пусть Х = (, 1   ) – оптимальная стратегия игрока 1. Так как игрок 2 имеет смешанную оптимальную стратегию, из свойства 1 получим, что (см. также свойство 7)

Отсюда следует, что при   0 столбцы матрицы А не могут быть пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, отличным от единицы. Если же коэффициент пропорциональности равен единице, то матрица А принимает вид

и игрок 1 имеет чистую оптимальную стратегию (он выбирает с вероятностью 1 ту из строк, элементы которой не меньше соответствующих элементов другой), что противоречит предположению. Следовательно, если   0 и игроки имеют только смешанные оптимальные стратегии, то определитель матрицы А отличен от нуля. Из этого следует, что последняя система уравнений имеет единственное решение. Решая её, находим

;

.

Аналогичные рассуждения приводят нас к тому, что оптимальная стратегия игрока 2 Y = ( , 1 -  ) удовлетворяет системе уравнений

.

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай.

Рассмотрим игру (2х2) с матрицей без седловой точки.

Решением игры являются смешанные страте­гии игроков и , где

х 1 - вероятность применения первым игроком первой стратегии,

х 2 - вероятность применения первым игроком второй стратегии,

у 1 - вероятность применения вторым игроком первой стратегии,

у 2 - вероятность применения вторым игроком второй стратегии.

Очевидно, что

Найдем решение игры графическим методом (рис.1).

На оси ОХ отложим отрезок, длина которого равна единице.

Левый конец (х = 0) соответствует стратегии первого игрока А 1 , правый
(х = 1) - стратегии А 2 .

Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям
первого игрока, где

Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОХ, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В 1 , то выиг­рыш при использовании первым игроком стратегий А 1 и А 2 соста­вит соответственно а 11 и а 21 . Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В 1 В 1 . Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежа­щая на этом отрезке.

Аналогично строится отрезок В 2 В 2 , соответствующий страте­гии В 2 игрока В.

Определение 20. Ломаная линия, составленная из частей от­резков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша , полу­чаемого игроком А .

Определение 21. Стратегии, части которых образуют ниж­нюю границу выигрыша, называются активными стратегиями .

В игре (2х2) обе стратегии являются активными.

Ломаная В 1 КВ 2 является нижней границей выигрыша (рис. 2), получаемого игроком А. Точка К, в которой он максимален, опре­деляет цену игры и ее решение.

Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учиты­вая, что получим

(1)

(2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

(3)

Если игра 2xn или mx2 не является игрой в чистых стратегиях, то необходимо попытаться уменьшить размер игры за счет дублирования и доминирования. Если же это не удается, то с помощью графо-аналитического метода выявить активные стратегии.

Замечание. Активной стратегией называются те стратегии, которые доминируют над другими(те, которые останутся после сокращения)

Рассмотрим игру 2xn

Решаем игру 2х2 и находим вероятности активых стратегий. Вероятностям пассивных стратегий присваиваем нули.

Рассмотрим игру mx2

	В1	В2
А1	a 11	a 12
А2	a 21	a 22
…	…..	……
Аn	a m1	a m2

Нижняя точка верхней ломаной соответствует активным стратегиям ai и aj.

После этого задача сводится к размеру 2х2 и решается способом упомянутом выше.

38. игры m x n сведение решения игры m x n к задаче линейного програмирования. Основная теорема теории игр.

Игра размера mxn не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко, но принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задаче линейного программирования.

б) СМО с неограниченным ожиданием:

– средние число заявок в очереди;

– средние число заявок в системе;

– среднее время ожидания заявки в очереди;

– среднее время пребывания заявки в системе;

– среднее число занятых каналов.

в) СМО с ограниченным временем ожидания.

Для этого типа СМО интерес представляют обе группы характеристик, как относительная и абсолютная пропускная способность, так и характеристики ожидания.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, необходимо знать следующие параметры системы:

– число каналов n ;

– интенсивность потока заявок;

– производительность каждого канала (средние число заявок в единицу времени);

– условие образования очереди.

Под интенсивностью потока заявок (интенсивность нагрузки) понимается среднее число вызовов в 1 час. За единицу измерения интенсивности нагрузки (T – среднее время занятия станции при одном вызове) принимается 1 Эрланг (1 часо-занятие в час). В течение суток нагрузка изменяется, достигая максимума в час наибольшей нагрузки (ЧНН).

Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, считаются пуассоновскими. Если рассматриваются немарковские СМО, то это оговаривается особенно.

В теории массового обслуживания в общем случае принята 5-ти буквенная система обозначения А/В/k/r/m, представленная на рис. 5.16.

Рис. 5.16. Нотация СМО с очередями

В заключении сделаем ряд выводов.

1. Основной проблемой многоканальной передачи сообщений является повышение эффективности использования дорогостоящих трактов передачи (линий связи). С этой целью тракт передачи предоставляется для одновременной и независимой передачи сигналов от большого числа источников сообщений. Передаваемый по тракту передачи групповой сигнал формируется из канальных сигналов, удовлетворяющих условию линейной независимости или ортогональности.

2. К основным способам разделения канальных сигналов относятся частотное и временное разделение, разделение по фазе и по форме, кодовое разделение. Предельное число каналов в многоканальной системе при одновременной независимой передаче определяется базой группового сигнала.

3. Пропускная способность систем многоканальной связи ограничивается не только мощностью шума в канале, но также мощностью взаимных помех между каналами. Поэтому увеличить пропускную способность многоканальной системы за счет увеличения мощности канальных сигналов нельзя. Для снижения уровня взаимных помех приходится вводить защитные промежутки, что приводит к снижению эффективности использования многоканальных трактов.

4. Наиболее перспективными являются цифровые многоканальные системы с временным разделением в сочетании со статистическим кодированием.

5. С целью организации обмена информацией между территориально разделенными пользователями системы передачи и каналы объединяются в сети связи – системы передачи и распределения информации, в состав которых входят оконечные пункты, узлы коммутации и каналы передачи, взаимодействующие между собой по определенному регламенту, определяемому протоколами многоуровневой архитектуры сетей передачи информации (эталонной модели ВОС).

6. Перспективными направлениями развития современных сетей связи являются: создание интегральных цифровых сетей, внедрение систем синхронной цифровой иерархии, внедрение цифровых систем интегрального обслуживания и широкополосных цифровых систем интегрального обслуживания, создание интеллектуальных сетей.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные преимущества многоканальной связи.

2. Нарисуйте структурную схему многоканальной системы и поясните принцип её работы.

3. Каким требованиям должны удовлетворять канальные сигналы при формировании группового сигнала системы многоканальной передачи?

4. Запишите условие линейной независимости сигналов и поясните её физическую сущность.

5. В чём состоит различие между ортогональными и линейно независимыми сигналами?

6. Приведите геометрическую трактовку условия линейного разделения сигналов при многоканальной передаче.

7. Сформулируйте принципы построения коммутационных систем на основе коммутации каналов, сообщений и пакетов.

8. Перечислите основные цели и функции, реализуемые различными уровнями эталонной модели взаимодействия открытых систем.

9. Приведите классификацию систем массового обслуживания.

10. Назовите основные характеристики систем массового обслуживания.

1. Теория электрической связи [Текст]: учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик и др. – М.: Радио и связь, 1999. 432 с.

2. Теория электрической связи [Текст]: учебное пособие / К.К. Васильев, В.А. Глушков, А.В. Дормидонтов и др.; под общ. ред. К.К. Васильева. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 452 с.

3. Лев, А.Ю. Теоретические основы многоканальной связи [Текст]: учебник для вузов /А.Ю. Лев. – М.: Связь, 1978. 192 с.

4. Основы многоканальной связи [Текст]: учебник для вузов /Баева Н.Н., Бобровская И.К., Брескин В.А и др. – М.: Связь, 1975. 328 с.

5. Гордиенко, В.Н., Тверецкий М.С. Многоканальные телекоммуникационные системы [Текст]: учебник для вузов / В.Н. Гордиенко, М.С. Тверецкий. – М.: Горячая линия – Телеком, 2007. 416 с.

6. Кириллов, В.И. Многоканальные системы передачи [Текст]: учебник / В.И. Кириллов. – М.: Новое знание, 2002. 751 с.

7. Теория телетрафика [Текст]: учебник для вузов / Б.С. Лившиц, А.Л. Пшеничников, А.Б. Харкевич. – М.: Связь, 1979. 224 с.

6. Анализ эффективности и элементы оптимизации систем связи

Развитие сетей и систем связи требует решения самых разнообразных задач, связанных как с оптимальным построением новых, так и с улучшением эффективности использования существующих сетей и систем связи. Решение задач оптимального построения систем с учётом исходных данных связано с выбором стратегии действий, результатом которых может стать создание системы или сети связи, обладающих некоторыми наперёд заданными свойствами. Задачи построения оптимальных систем и сетей связи относятся к задачам их синтеза и, как правило, относятся к классу технико-экономических задач, связанных с поиском оптимального решения по ряду экономических категорий (капиталовложения, эксплуатационные расходы, расходы дефицитного сырья и т.п.).

Другие задачи, связанные с изучением существующих систем и сетей связи, с разработкой мероприятий, обеспечивающих возможность увеличения их пропускной способности или придания им новых свойств (например, повышения надёжности), относятся к задачам анализа.

6.1. Методология системного анализа и оптимизации систем связи

Сложность задач, связанных с построением систем и сетей связи резко возрастает по мере увеличения их масштаба. Это обусловлено их комбинаторной природой. В связи с этим решение этих задач необходимо проводить на основе системного подхода.

6.1.1. Основы системного похода при анализе и синтезе систем и сетей связи

Решение подобных задач как за один приём, так и при простом разбиении всей большой задачи на ряд мелких последовательных этапов редко приводит к успеху. Поэтому для создания таких систем необходим определенный идео­логический и организационный план, пронизывающий весь процесс создания, на­чиная от фазы исследовательской проработки до фазы изготовления, испытаний и применения опытного образца. Необходимость системного подхода при создании систем и сетей связи обусловливается увеличением темпов развития науки и производства, возрастанием сложности систем и, как следствие, увеличением длительности разработки. Создание подобных систем требует больших капиталовложений, в результате чего требуются гарантии того, что будет создана систе­ма с нужными свойствами. Отсюда выявляется основ­ное целевое назначение системного подхода в создании систем и сетей связи – сокращение периода разработки системы между моментом возникновения потребности в созда­нии подобной системы и моментом ввода её в эксплуата­цию при сохранении соответствия качества выполняе­мых функций требуемому для достижения поставленных целей.

Принцип системного подхода базируется на представлении объекта (системы или сети связи) как сложной системы с учётом её специфических связей и свойств. Термин «сложная система» ассоциируется с объектом составным, представляющим собой совокупность отдельных частей, и в то же время объектом комплексным, от­дельные части которого функционируют в тесном взаимодей­ствии и составляют с некоторой точки зрения единое целое. Основными отличительными признаками сложных систем являются:

– наличие большого количества взаимно связанных и взаимодействующих между собой элементов;

– сложность функции, выполняемой системой и направленной на достижение заданной цели функционирования;

– возможность разбиения системы на подсистемы, цели функционирования которых подчинены общей цели функциони­рования всей системы;

– наличие управления (часто имеющего иерархическую структуру), разветвлённой информационной сети и интенсивных потоков информации;

– наличие взаимодействия с внешней средой и функционирование в условиях воздействия случайных факторов.

Система опре­деляется как целостное образование, состоящее из связанных между собой элементов. Поэтому система обладает собственными свойствами, не вытекаю­щими непосредственно из свойств её элементов. Главное свойство системы – её законченность, которая рассматривается как целостность. Концепция целост­ности является основой методологии системного подхода. Специфика сложной системы не исчерпывается особенностями составляющих её элементов, а свя­зана, прежде всего, с характером взаимосвязей между элементами. Совокупность устойчивых связей между элементами, определяющих целостность и основные свойства системы, образует структуру системы.

При системном подходе любой объект рассматривается как некоторая сис­тема, которую можно разделить на подсистемы. Каждая из этих подсистем мо­жет быть разделена на подсистемы более низкого уровня и т. д. Система имеет иерархическую структуру.

Исследование любой системы предполагает создание модели системы, позволяющей предсказывать ее поведение в определенном диапазоне условий. Модель – описание системы, отображающее определенную группу ее свойств; углубление описания – это детализация модели. Математическая модель является основой для решения главных системо­технических задач:

– анализа – определения численных зна­чений показателей эффективности при заданных парамет­рах системы и характеристиках внешней среды, фиксиро­ванной структуре и алгоритме взаимодействия элементов;

– синтеза – выбора оптимальной структуры, алгоритмов вза­имодействия, параметров системы, оптимального управле­ния системой и др.

Свойства системы, прежде всего, определяются её целевым назначением (целями функционирования), которое трактуется как совокупность задач, решае­мых данной системой. Для получения желаемого результата необходимо со­вершить определённую совокупность операций, направленных на достижение поставленной задачи. Эти операции реализуются за счёт использования неко­торых ресурсов системы. В телекоммуникационных системах (ТС) такими операциями являются кодирование, модуляция, усиление сигнала, селекция сигналов, демодуляция, декодирование и т.п., а ресурсами системы являются мощность сигнала и полоса частот кана­ла. Все признаки сложной системы имеют и телекоммуникационные системы (ТС):

1) они являются информационными системами, смысл функционирования этих систем – транспортировка (перенос) информации;

2) состоят из двух основных подсистем: технической и пользовательской, взаимодействие этих различных по своей физической сущности подсистем определяет структуру и функции ТС;

3) являются «большими» сис­темами, содержащими огромное количество компонентов, многие из которых – сами большие системы либо многофункциональные устройства. Компоненты ТС имеют различное устройство и выполняют различные функции;

4) ТС многосвязные: их различные компоненты соединены между собой и имеют как прямые, так и обратные связи. Структура и топология ТС переменны, управляемы, зависят от пользователей;

5) ТС являются крупномасштаб­ными системами, охватывающими крупные территории и интегри­рующимися в мировую систему телекоммуникаций, они взаимно проникающие. Процессы в ТС могут проходить с различными скоростями;

6) ТС являются пространственно-распределенными и содержат как дискретные, так и непрерывные (пространственно-протяжённые) компоненты. Элементы системы могут быть стационарными (статическими) или движущимися (дина­мическими). Такая природа ТС порожда­ет особую специфику происходящих в них процессов;

7) ТС являются эргатическими (эргатическия система – сложная система управления, составным элементом которой выступает человек-оператор (или группа операторов));

8) ТС являются немарковскими с точки зрения протекающих в них процессов. Это означает, что пове­дение системы определяется не только текущим состоянием, но и предысторией, причём довольно длительной, а также скрытыми воз­можностями, включающимися спонтанно в определённых условиях.

9) ТС нелинейны. Важно отметить следующие моменты:

– нелинейная зависимость между различными видами оборудования в системе – техническая нелинейность;

– нелинейная зависимость между нагрузкой, создаваемой або­нентами системы, и пропускной способностью системы. Абонент­ская нагрузка существенно ситуационна, пропускная способность определяется инженерными решениями.

10)ТС синергетичны, т. е. самоор­ганизуемы и склонны к самостоятельному автономному поведению, обладают способностями к самосохранению и противодействию внешним воздействиям, устранению произошедших изменений вну­тренними средствами (в определённых пределах), а также функцио­нальной инертностью;

11) ТС находятся в непрерывном развитии;

12) они наукоёмки и базируются на перспективных технических разработках;

13) ТС являются сложными систе­мами высокого уровня, т. е. сверхсложными. Сверхсложными называ­ются системы, состоящие из нескольких сложных систем. Сложность образуется в результате взаимодействия ряда указанных выше факторов: многокомпонентности; нелинейности; большого числа степе­ней свободы; наличия памяти.

В отличие от сложных систем у про­стых систем выходные параметры функционально связаны с входны­ми воздействиями.

Телекоммуникационная система как техниче­ская система имеет ряд специфических особенностей. Наиболее существенны­ми из них являются объект (продукт) передачи и среда (условия).

Объектом передачи в ТС является информация, природа которой чрезвычайно сложна, и наши знания о ней пока лишь самые общие. Определить количественную меру информации с учётом её ценности, а тем более семантики весьма затруд­нительно.

Среда в ТС – это не только линия (среда распространения сигнала), ис­пользуемая для передачи сигналов от передатчика к приёмнику, но и другие системы естественного и искусственного происхождения, оказывающие опре­делённые воздействия на ТС. Обычно это мешающие воздействия (помехи и искажения), затрудняющие качественную передачу информации по каналу свя­зи. Необходимость борьбы с вредными воздействиями помех существенно ус­ложняет ТС.

Для исследования того или иного явления или технического объекта (телекоммуникационной системы) в создаваемой для про­ведения исследований модели объекта должны быть отображены наиболее существенные его свойства и признаки. Модель пред­ставляет собой отра­жение системы, её образ, используемый для решения задач анализа и синтеза реальной системы. В зависимости от задач и целей моделирования оно может производиться на раз­личных уровнях абстракции. Модель используется для по­следую­щих теоретических и экспериментальных исследований системы. В про­цессе этих исследований модель может совершенствоваться с целью более пол­ного отражения свойств реальной системы.

Модель – это частичное или полное описание системы, пред­ставленное в виде схем, чертежей, математических формул (соот­ношений), имитационных программ для ЭВМ и т. п. Математиче­ская модель технической системы пред­ставляет собой совокуп­ность математических соотношений, отображающих структуру системы, алгоритмы её функционирования, статистические харак­те­ристики канала, сигнала и помех, технические и экономические показатели системы.

Стохастический характер помех и непредсказуемость сооб­щений и сигналов обусловливают широкое использование вероят­ностных моделей.

Применение декомпозиции сложной системы на отдельные подсистемы и раздельная оптимизация элементов системы не га­рантирует оп­тимизации системы в целом. Для системного анализа характерен переход от анализа отдель­ных элементов (блоков) к анализу альтернативных вариантов построения системы как еди­ного целого с интеграционной оценкой их эффективности.

6.1.2. Общая методология оптимизации телекоммуникационных систем

Качество работы ТС характеризуется совокупностью большого числа показателей, основными из которых являются помехоустойчивость, скорость передачи, пропускная способность, дальность действия, электромагнитная совместимость, масса и габариты аппаратуры, стоимость, экологическая совместимость. Совокупность показателей качества СПИ можно записать в виде вектора

Q = {q 1 , q 2, … , q n }. (6.1)

Оптимальной (наилучшей) считается такая система S , которой соответствует наибольшее (наименьшее) значение некоторой функции j (q 1 , q 2, … , q n) от частных показателей качества q 1 , q 2, … , q n . Величина Q называется обобщенным показателем качества (эффективностью ) системы , а функция j – целевой функцией (критерием качества ) системы .

Любая оценка эффективности ТС производится с целью принятия определённого решения. Так, при проектировании требуется определить совокупность параметров системы, при которых достигается наибольшая эффективность. Количественная оценка эффективности должна удовлетворять определённым требованиям:

– она должна достаточно полно характеризовать систему в целом и иметь ясный физический смысл;

– оценка эффективности системы должна быть конструктивной – пригодной как для анализа, так и для синтеза системы;

– наконец, она должна быть достаточно простой для вычисления и удобной для практического использования.

Современные сложные ТС не могут быть охарактеризованы одним показателем. Оценка по нескольким показателям является более полной и более предметной, позволяющей охарактеризовать различные свойства системы. Нужно иметь несколько показателей, характеризующих основные наиболее существенные свойства системы (информационные, технические, экономические и т. п.). Во многих случаях достаточно двух показателей, например помехоустойчивость и скорость передачи, частотная и энергетическая эффективность, технический эффект и затраты.

Окончательное решение, как правило, принимается не только на основании расчёта, но и на опыте, интуиции и других эвристических категорий, а также на дополнительных соображениях, которые не были учтены при построении математической модели.

В общем случае задача оптимизации ТС сводится к нахождению максимума целевой функции Y(S ) = max j(q 1 , q 2, … , q n) при вариации системы S (её структуры и значений её параметров) с учётом исходных данных и ограничений на структуру и параметры системы.

Если задана целевая функция Y(S ) и определена совокупность допустимых систем (или их вариантов) S 1 , S 2 ,…, S N , то оптимизация сводится к задаче выбора из конечного числа N заданных систем, т.е. к выбору системы, которой соответствует наибольшее (наименьшее) из значений Y 1 = j(S 1), Y 2 = j(S 2), …, Y N = j(S N).

Более сложной задачей является задача оптимизации (синтеза) структуры системы. Если структура системы достаточно полно описана известными функциями с конечным числом параметров, то задача сводится к оптимизации этих параметров. В частном случае, когда целевая функция и все функции, определяющие ограничения, линейно зависят от параметров x 1 , x 2 ,…, x m , задача сводится к линейному программированию. В некоторых случаях задачу удаётся решить аналитически на основании методов функционального анализа.

В общем виде решение задачи оптимизации ТС может оказаться очень сложным и мало пригодным для принятия решения. В этом случае применяют поэтапную процедуру оптимизации. Сначала, например, производится оптимизация по информационным параметрам, а затем – по технико-экономическим показателям. На первом этапе определяется структурная схема системы, позволяющая оценить её основные потенциальные характеристики, выбрать способы модуляции и методы кодирования, методы обработки сигнала в приёмнике. Затем определяются алгоритмы функционирования и параметры отдельных блоков системы. Завершающим этапом является конструирование системы.

6.2. Методы повышения помехоустойчивости, помехоза­щищённости и пропускной способности реальных каналов связи

6.2.1. Показатели эффективности систем связи

Повышение помехоустойчивости и эффективности ТС является одной из важнейших проблем современной теории и техники связи. Основные исследования сосредоточены на создании ТС, в которых достигаются скорость и достоверность передачи, близкие к предельным. Реализация таких систем возможна только на основе комплексного подхода с учётом всех видов преобразований, которым подвергаются сообщения и сигналы. Основным направлением повышения эффективности ТС является использование наиболее совершенных способов передачи (кодирования и модуляции) и приёма (демодуляции и декодирования), позволяющих наиболее полно использовать шенноновскую пропускную способность канала при высокой верности передачи. Практически это позволяет повысить верность или скорость передачи информации (или то и другое) без существенного увеличения ОСШ на входе приёмника. В ЦСП имеется возможность эффективно использовать не только помехоустойчивое кодирование канала, но и кодирование источника с целью сокращения избыточности. Сжатие данных даёт возможность повысить эффективность ТС в несколько раз.

В системах, в которых используется кодирование источника с целью сокращения избыточности или помехоустойчивое кодирование (кодирование с избыточностью) канала, или то и другое вместе, оптимизация на основе традиционного критерия минимума ошибки становится затруднительной. В таких системах ошибка принципиально не ограничена – она может быть сделана произвольно малой, в то время как скорость передачи v ограничена пропускной способностью канала C . Таким образом, в ТС с кодированием важнейшим показателем эффективности является скорость передачи, при которой обеспечивается заданная верность (ошибка) передачи и приемлемая (или минимальная) сложность системы.

Скорость передачи целесообразно оценивать не в абсолютных, а в относительных единицах. Телекоммуникационные системы, обеспечивающие необходимую скорость передачи информации v при заданной помехоустойчивости, различаются степенью использования ими ресурсов канала: пропускной способности С , мощности сигнала P с и занимаемой полосы частот ΔF .

Наиболее часто для сравнительной оценки эффективности систем связи используют три показателя:

– информационная эффективность, характеризующая степень использования пропускной способности канала (относительная скорость):

– частотная эффективность, характеризующая затраты полосы частот на 1 бит информации при заданной помехоустойчивости:

– энергетическая эффективность, характеризующая расход ОСШ на единицу переданной информации:

где – мощность сигнала; – СПМ помехи (шума).

По этим показателям можно осуществить оптимизацию ТС в целом с учётом способов как модуляции – демодуляции, так и кодирования – декодирования.

Предельные характеристики вытекают из теоремы Шеннона:

При получаем предельную зависимость

Эта зависимость, графически представленная на рис. 6.1, является предельной и отражает наилучший обмен между β и γ в гауссовском непрерывном канале (ГНК).

Рис. 6.1. Эффективность систем передачи информации

Частотная эффективность g изменяется в пределах от 0 до ¥ для аналоговых систем и от 0 до для дискретных, в то время как энергетическая эффективность b ограничена сверху величиной:

Для двоичного канала (m = 2) = 2 бит/с/Гц – предел Найквиста.

Используя формулу для пропускной способности канала можно построить аналогичные предельные кривые b = f (g) для других типов каналов. На рис. 6.1 приведены предельные кривые для симметричных m -ичных каналов (m СК) и дискретно-непрерывных каналов (ДНК) при основании кода сигнала m = 2 и m = 4 и примитивном кодировании (R = 1 – скорость кода).

В ДНК при кривая энергетической эффективности асимптотически приближается к предельной кривой ГНК. При логарифмическом масштабе в соответствии с соотношением, где – отношение средних мощностей сигнала и шума, зависимости β от γ при одинаковых значениях превышения сигналов над шумом отображаются прямыми с углом наклона, равным p/4 (45º).

В реальных системах вероятность ошибки всегда имеет конечное значение и η < 1. В этом случае при заданной вероятности ошибки можно определить отдельно β и γ и построить зависимости b = f (g), аналогичные рис. 6.1. В координатах β и γ каждой реальной системе передачи дискретных сообщений будет соответствовать точка на плоскости. Все эти точки располагаются ниже предельной кривой Шеннона и ниже предельных кривых ДНК и m СК. Вид этих кривых зависит от вида модуляции, кода и способа обработки сигналов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Энергетическая и частотная эффективности систем с многопозиционными сигналами и корректирующими кодами

Цифры на кривых рис. 6.2 показывают число позиций дискретного сигнала. Кривые рассчитаны для оптимального приёма сигналов при равной априорной вероятности их передачи и вероятности ошибки на бит. При этом принималось: занимаемая полоса частот ∆ – для ЧМ и ∆ – для ФМ. Здесь T – длительность передачи 1 бита.

6.2.2. Эффективность систем связи

Эффективность систем передачи дискретныз сообщений. В системах передачи дискретных сообщений (СПДС) сигнал формируется с помощью кодирования и модуляции. При этом кодирование производится обычно в два этапа: кодирование источника с целью сокращения его избыточности æ и и кодирование канала с целью уменьшения ошибки (за счёт введения избыточности кода æ к). Тогда выражение для информационной эффективности СПДС можно представить в виде произведения

где – æ и – эффективность кодера источника; æ к – эффективность кодера канала; – эффективность модема, которая зависит от вида модуляции и способа обработки сигнала в канале.

Средняя скорость передачи информации в СПДС при использовании многопозиционных сигналов длительностью Т равна

(бит/с), (6.9)

где – скорость кода.

Тогда (6.10)

и γ = æ и /∆F = , (6.11)

где – энергия сигнала; – энергия, затрачиваемая на передачу 1 бита информации (битовая энергия).

Значения ОСШ (Е в /N 0) вычисляются в заданном канале по формулам или соответствующим графикам для вероятности ошибки p .

Эффективность аналоговых и цифровых систем передачи. В аналоговых системах передачи (АСП) (системах передачи непрерывных сообщений) скорость источника v и определяется эпсилон – производительностью источника. Для гауссовского источника:

где ∆F c – полоса частот сигнала, в пределах которой СПМ сигнала s (t ) – считается равномерной; ρ вых – ОСП на выходе приёмника.

Тогда формулу для информационной эффективности (6.2) можно записать в следующем виде

В табл. 6.1 приведены результаты расчета выигрыша g , обобщенного выигрыша g ¢ и информационной эффективности h для некоторых систем передачи непрерывных сообщений при заданном значении r вых = 40 дБ.

Таблица 6.1.

Результаты расчета g , g ¢ и h для различных систем модуляции

Система модуляции	a = F к / F с	g = r вых / r вх	g¢ = g/ a	h =v и /С ¢
АМ		0,2	0,1	0,42
БМ				0,50
ОМ
ФМ			11,1	0,12
ЧМ			33,3	0,17
ФИМ-АМ			33,3	0,17
ИКМ-АМ			12,5	0,23
ИКМ-ЧМ				0,32
ИКМ-ФМ				0,48
ИС

Выигрыш g и обобщенный выигрыш g ¢ рассчитывались по соответствующим формулам для оптимального приёма сигналов. При этом полагалось, что во всех системах передаётся одно и то же сообщение с наивысшей частотой F c и пик-фактором П = 3. Там же для сравнения приведены также результаты расчета для идеальной системы(ИС).

Из анализа данных табл. 6.1 следует, что наибольшую информационную эффективность имеет система с однополосной модуляцией (ОМ). Однако помехоустойчивость этой системы (выигрыш), так же как и систем АМ и БМ, низкая и верность передачи может быть повышена только за счет увеличения мощности сигнала. Необходимо помнить, что порог помехоустойчивости в системах ОМ и АМ отсутствует. Одноканальные системы ЧМ и ФИМ-АМ одинаковы. В этих системах, а также в цифровых системах с ИКМ, высокая помехоустойчивость может быть достигнута за счёт увеличения ширины спектра сигнала, т.е. за счет частотной избыточности. Во всех этих системах резко выражен порог помехоустойчивости (рис. 6.1).

На рис. 6.3 приведены кривые энергетической и частотной эффективности аналоговых и цифровых систем связи, из которых следует, что эффективность реальных систем существенно ниже предела Шеннона.

Рис. 6.3. Энергетическая и частотная эффективность аналоговых и цифровых систем связи

Аналоговые системы ОМ, АМ и узкополосная ЧМ обеспечивают высокую частотную эффективность g при сравнительно низкой энергетической эффективности b. Применение этих систем целесообразно в каналах с хорошей энергетикой (при больших значениях r вх) или в тех случаях, когда требуемое значение r вых мало.

Цифровые системы обеспечивают высокую энергетическую эффективность при достаточно хорошей частотной эффективности. В каналах с ограниченной энергетикой (при малых значениях r вх) преимущества ЦСП особенно заметны.

В системах проводной связи важнейшим показателем является частотная эффективность. Здесь определяющим является требование наилучшего использования полосы частот канала при заданной верности передачи. Этому требованию наиболее полно отвечает ОМ.

В системах космической связи определяющим является требование наилучшего использования мощности сигнала при заданной верности передачи. Этому требованию наиболее полно удовлетворяют ЦСП с ФМ и ОФМ. Эффективность этих систем можно существенно повысить, используя корректирующие коды.

Эффективность многоканальных систем связи снижается за счёт несовершенства системы разделения сигналов. Для таких систем можно пользоваться следующими расчётными формулами

где – усреднённая эффективность методов модуляции по всем n каналам (отношение средней скорости передачи информации в одном v и, i (парциальном) канале к средней пропускной способности канала C i );
– эффективность метода разделения, которая определяется как сумма отношений пропускной способности парциальных каналов к пропускной способности общего канала.

Величины С¢ и С¢ i определяются для гауссовских каналов по формуле Шеннона.

В общем случае величина h р зависит не только от числа каналов n, но и от ОСШ r в канале. Поэтому сравнивать разные методы разделения необходимо при одинаковых значениях r. Расчеты показывают, что наиболее эффективным является метод временного разделения каналов (ВРК), менее эффективным – метод частотного разделения по форме (РФК). При ВРК в каждый момент времени передается один сигнал, и поэтому пропускная способность не зависит от числа каналов В такой системе при отсутствии защитных промежутков между каналами h р = 1. При ЧРК пропускная способность канала с ограниченной средней мощность сигнала также не зависит от числа каналов и при отсутствии защитных полос h р = 1. Однако при ограничении пиковой мощности сигнала картина резко меняется, и величина h р уменьшается с увеличением n. При РФК между парциальными каналами делится только мощность, полоса частот и время передачи используются всеми сигналами одновременно. В этом случае h р уменьшается с увеличением n , причем амплитудное ограничение сигнала слабо влияет на эту зависимость.

6.2.3. Пути повышения эффективности систем связи

Полученные β γ – номограммы позволяют определить системы, удовлетворяющие заданным требованиям по энергетической и частотной эффективности, и установить, насколько эти показатели для реальных систем близки к предельным. Совокупность кривых b = f (g) позволяет выбрать наилучшую систему при заданных ограничениях на верность передачи. При этом можно осуществить оптимизацию по одной из частных стратегий:

1) максимизировать β при и;

2) максимизировать γ при и,

где и – области допустимых изменений β и γ.

При известных R * , F * и ОСШ область возможных значений можно разбить на четыре квадранта. Системы, расположенные в этих квадрантах, удовлетворяют требованиям:

I квадрант – β > β * и γ > γ * ;

II квадрант – β < β * ;

III квадрант – β < β * и γ < γ * ;

IV квадрант – β < β * и γ > γ * .

Возможные системы передачи можно условно разбить на две группы:

1) с высокой β-эффективностью, но малой γ (первостепенное значение имеют энергетические показатели – космические и спутниковые системы связи), необходимо обеспечить наилучшее использование мощности сигнала при заданной;

2) с высокой γ-эффективностью (системы проводной связи), необходимо добиться наилучшего использования полосы частот канала при заданной.

Повышение эффективности систем модуляции и кодирования . Для повышения информационной эффективности η необходимо повышать как эффективность систем кодирования, так и эффективность систем модуляции. Применение циклического кода в канале с ФМ или сверточного кода в канале с КАФМ позволяет получить одновременно выигрыш как β, так и γ , или, во всяком случае, выигрыш по одному из показателей без ухудшения другого.

Применение помехоустойчивого кодирования является эффективным средством повышения энергетической эффективности систем передачи информации (т.е. уменьшения минимального ОСШ для обеспечения требуемой достоверности передачи информации). При этом процесс помехоустойчивого кодирования рассматривается независимо от процесса модуляции. Ценой применения такого метода повышения энергетической эффективности системы передачи информации является уменьшение ее спектральной эффективности (т.е. расширения относительной полосы частот, занимаемых сигналом) на величину, обратно пропорциональную скорости кода.

Одно из решений, обеспечивающих высокую спектральную и энергетическую эффективность системы передачи информации, лежит в согласованном объединении процессов модуляции и помехоустойчивого кодирования в единую эффективную конструкцию, позволяющее за счёт расширения ансамбля используемых сигналов получить избыточность, необходимую для применения помехоустойчивого кода, обеспечивающего увеличение минимального эвклидова расстояния между последовательностями модулированных сигналов.

Получаемая в процессе такого объединения согласованная конструкция получила название сигнально-кодовой конструкции (СКК ) или кодовой модуляции.

Любую СКК, вне зависимости от способа согласования модуляции и кодирования, можно представить в виде каскадного кода с ансамблем сигналов на внутренней ступени кодирования и одним или несколькими помехоустойчивыми кодами на внешней. При использовании нескольких помехоустойчивых кодов говорят о построении СКК на основе обобщенного каскадного кода (ОКК). В процессе формирования модуляционного кода на входе модулятора участвуют не только двоичные комбинации с выхода помехоустойчивого кодера, но и некодированные биты. Кроме того, в процессе кодирования может производиться перемежение входной или выходной последовательности, дифференциальное кодирование и другие преобразования, существенно влияющие на свойства СКК.

В качестве помехоустойчивых кодов в СКК обычно используются свёрточные и каскадные коды, а в качестве многопозиционных сигналов – сигналы ФМ, АФМ и ЧМНФ (частотная модуляция с непрерывной фазой). Устройство, реализующее СКК, состоит из кодека, модема и согласующих устройств. Возможно построение СКК и на основе многомерных сигналов. Построение более совершенных СКК связано с усложнением их реализации. Показатели эффективности СКК определяются следующими соотношениями:

где b м и g м – показатели эффективности системы модуляции (модема); Db к – энергетический выигрыш кодирования (кодека); g к – частотная эффективность кодека.

Результаты расчётов показывают, что применение СКК позволяет получить одновременно выигрыш как по энергетической, так и по частотной эффективности или, во всяком случае, выигрыш по одному показателю, не ухудшая другой. Например, система ФМ8-СК при использовании перфорированного свёрточного кода со скоростью R = 2/3 обеспечивает энергетический выигрыш Db = 2,8 дБ без снижения величины g, а система АФМ16-СК при R = 1/2 и кодовым ограничении g = 3 обеспечивает выигрыш Dg = 2 дБ без снижения энергетической эффективности b. Информационная эффективность этих систем h » 0,6…0,7.

Согласование параметров источника и канала связи . Среди методов повышения эффективности важное место отводится методам сокращения избыточности сообщений. При передаче дискретных сообщений (ДС) для сокращения избыточности применяют статистическое кодирование. Универсальным способом сокращения избыточности ДС является укрупнение сообщений и эффективное кодирование целых блоков.

Для сокращения избыточности непрерывных сообщений используют методы декорреляции, основанные на аппроксимации непрерывных сообщений с помощью различных базисных функций. В частности, широкое применение находят методы линейного предсказания.

Для повышения эффективности передачи ДС наряду с рассмотренными методами применяют также разнесенный приём сигналов, приём в целом, системы с информационной и решающей обратной связью, системы с шумоподобными сигналами и др.

Для повышения пропускной способности и скорости передачи информации очень большое значение имеет согласование системы в информационном отношении с источником информации и с её получателем. В системах передачи информации это согласование сводится, к следующему:

– обеспечение выполнения условия v max ≤ C ;

– устранение излишней избыточности передаваемых символов, не требуемой для повышения помехоустойчивости.

Кроме того, повысить пропускную способность реального канала связи возможно применением многоуровневых и многопозиционных сигналов (кодов) и видов модуляции. При этом скорость передачи данных многоуровневой системой равна

v = (log 2 L )/T , (6.16)

где L – количество уровней.

При цифровой передаче непрерывных сообщений необходимая полоса частот канала увеличивается примерно в 10…15 раз по сравнению с аналоговой передачей. Здесь к естественной избыточности сообщения добавляется частотная избыточность сигнала. Для таких систем широко используются системы с предсказанием – АДИКМ (адаптивная дифференциальная импульсно-кодовая модуляция) и АДМ (адаптивная дельта-модуляция). Эти системы рекомендованы МСЭ для цифровой передачи со скоростью 32 кбит/с. В сочетании с интерполяцией речи АДИКМ позволяет снизить скорость до 16 и даже 9,6 кбит/с при том же качестве передачи речевой информации, что и в системах ИКМ при стандарте 64 кбит/с. Проявляется большой интерес к интерполяционным методам сжатия данных с применением кусочно - полиномиальной интерполяции на основе сплайн - функций.

Компенсация помех и искажений в канале . В реальных условиях эффективность СПИ может снижаться по целому ряду причин, основными из которых являются межсимвольные и межканальные помехи, неточность формирования и синхронизации сигнала, нестабильность тактовых и несущих частот. Случайные изменения параметров канала, наличие сосредоточенных и импульсных, чаще всего негауссовских помех также могут существенно увеличить потери информации в канале.

Осуществить обработку сигналов, при которой устранятся влияния любых помех и искажений в канале – задача практически неразрешимая. Гауссовский флуктуационный шум принципиально неустраним, его можно только ослабить до определённого предела, определяемого потенциальной помехоустойчивостью при заданном виде сигнала. Влияния сосредоточенных и импульсных помех могут быть полностью устранены. В принципе могут быть также устранены линейные и нелинейные искажения, межсимвольные и межканальные помехи. Для каждого отдельного вида помех и искажений задача их компенсации разрешима. Задача компенсации помех и искажений сильно усложняется при одновременном действии различных помех и искажений. В этом случае приёмник должен быть сложным адаптивным устройством, выполняющим большое число операций; его основными блоками будут устройства компенсации негауссовских помех и искажений и корреляционные устройства, осуществляющие оптимальную обработку сигнала при гауссовском шуме.

Таким образом, с помощью модема и устройств обработки сигнала потери в канале за счет негауссовских помех и искажений можно в принципе свести до минимума и тем самым преобразовать реальный канал, близкий к идеальному гауссовскому каналу. При этом будут созданы условия для наиболее эффективного использования корректирующего кода в канале, что позволяет достигнуть высокой эффективности СПИ в целом.

Современные элементная база и вычислительные средства позволят внедрять цифровые методы обработки сигналов, на основе которых строятся сложные алгоритмы оптимального приёма в условиях действия в канале различных помех и искажений. Для этого используются программные методы построения аппаратуры с помощь универсальных и специализированных микропроцессоров.

Таким образом, на основании изложенного выше, можно сделать следующие выводы.

1. Характерной особенностью системного анализа является переход от анализа отдельных частей (устройств) системы к анализу альтернативных вариантов построения системы как единого целого.

2. В общем случае эффективность любой технической системы определяется количеством и качеством выдаваемой продукции. В системах связи такой продукцией является передаваемая информация, количество которой определяется средней скоростью передачи бит/с, а качество – величиной ошибки.

3. Важнейшим показателем эффективности систем связи является информационная эффек­тивность определяющая степень использования системой пропускной способности канала, а также показатели и, характеризующие соответственно использование канала по мощности (энергетическая эффективность) и по частоте (частотная эффективность).

4. Зависимости между показателями β и γ носят обменный характер: увеличение одного пока­зателя связано с уменьшением другого и наоборот. Существует предельная зависимость между β и γ при η = 1 (предел Шеннона). Эта зависимость отражает наилучший обмен между показателями β и γ в непрерывном канале. В реальных системах (η < 1) обмен между β и γ зависит от способов модуляции и кодирования.

5. Обменные βγ-диаграммы позволяют сравнить системы между собой и оценить степень их приближения к идеальной шенноновской системе, позволяют сделать выбор способа моду­
ляции и кодирования при заданных условиях, определить энергетический и частотный выигрыш по сравнению с «эталонной» системой (например, ФМ-4).

6. Аналоговые системы ОМ, AM и узкополосная ЧМ обеспечивают высокую частотную эффективность γ при сравнительно низкой энергетической эффективности β. Цифровые системы обеспечивают высокую энергетическую эффективность при сравнительно хорошей частотной эффективности. При высоком качестве передачи цифровые системы и широкополосная ЧМ обеспечивают примерно одинаковую эффективность. В многоканальных сис­
темах наиболее эффективным является метод временного разделения сигналов, затем следует метод частотного разделения и метод разделения сигналов по форме.

7. В системах передачи дискретных сообщений энергетическую эффективность можно суще­ственно повысить путём применения корректирующих кодов, а за счёт применения много­позиционных сигналов повысить частотную эффективность. Применение каскадных сигнально-кодовых конструкций на основе корректирующих кодов и многопозиционных сиг­налов позволяет повысить одновременно как энергетическую, так и частотную эффектив­ность. Эффективными, в частности, являются конструкции на основе свёрточных кодов и многопозиционных сигналов с ФМ, АФМ, ЧМНФ.

8. Для сокращения избыточности источника непрерывных сообщений широко используется дифференциальное кодирование (кодирование с предсказанием), позволяющее существенно повысить эффективность ЦСП. Так, АДИКМ в сочетании с интерполяцией речи позво­ляет снизить скорость цифрового потока с 64 кбит/с при ИКМ до 16 и даже 9,6 кбит/с, а в сочетании с вокодерами – до 2,4 кбит/с. Наибольшая эффективность ЦСП достигается
при совместном кодировании источника и канала.

9. В высокоэффективных СПИ (η > 0,6) кодек источника, кодек канала и модем должны быть хорошо согласованы между собой с учётом характеристик непрерывного канала. Кодирование и модуляцию следует рассматривать как единый процесс построения наилучшего сигнала, а демодуляцию и декодирование – как наилучший способ обработки сигна­ла.

10. Задача оптимизации СПИ сводится к нахождению такого варианта системы, при котором потребителю в единицу времени доставляется максимальное количество бит информации при заданной верности передачи. Экономическим показателем при этом являются приведённые годовые затраты или стоимость передачи одного бита в секунду. Сопоставление эффекта и затрат позволяет выбрать наилучший вариант системы при заданных условиях и
ограничениях.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачи анализа и синтеза систем связи.

2. Сформулируйте принципы системного подхода.

3. Сформулируйте основные отличительные признаки сложных систем.

4. Назовите основные признаки сложных систем в телекоммуникационных системах.

5. Дайте определение математической модели системы.

6. Дайте общее определение эффективности и критерия качества системы.

7. Каким требованиям должна удовлетворять комплексная оценка эффективности?

8. Сформулируйте в общем виде задачу оптимизации технической системы.

9. Что такое бета – эффективность, гамма – эффективность и эта – эффективность?

10. Какие системы связи по эффективности ближе к пределу, определяемому формулой Шеннона?

11. Сформулируйте основные пути повышения эффективности систем связи.

12. Сформулируйте пути повышения эффективности систем модуляции и кодирования.

1. Теория электрической связи [Текст]: учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, В.И. Коржик и др. – М.: Радио и связь, 1999. – 432 с.

2. Теория электрической связи [Текст]: учебное пособие / К.К. Васильев, В.А. Глушков, А.В. Дормидонтов и др.; под общ. ред. К. К. Васильева. – Ульяновск: УлГТУ, 2008. – 452 с.

3. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем [Текст]/ Бусленко Н. П. – М.: Наука, 1978. – 400 с.

4. Денисов, А.А. Теория больших систем управления [Текст]: учебное пособие для вузов /А.А. Денисов, Д.Н. Колесников. – Л.: Энергоиздат, Ленигр. отд – ние, 1982. – 288 с.

Рассмотрим простейшую СМО с ожиданием - одноканальную систему , в которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом , т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):

Канал свободен;

Канал занят, очереди нет;

Канал занят, одна заявка стоит в очереди;

Канал занят, заявок стоят в очереди;

Канал занят, т заявок стоят в очереди.

ГСП показан на рис. 5.8. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны , а справа налево - . Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево - поток «освобождений» занятого канала, меющий интенсивность (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).

Рис. 5.8. Одноканальная СМО с ожиданием

Изображенная на рис. 5.8 схема представляет собой схему размножения и гибели. Используя общее решение (5.32)-(5.34), напишем выражения для предельных вероятностей состояний (см. также (5.40)):

или с использованием :

Последняя строка в (5.45) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р; откуда получаем:

в связи с чем предельные вероятности принимают вид:

Выражение (5.46) справедливо только при (при она дает неопределенность вида ). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем равна , и в этом случае

Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность , абсолютную пропускную способность , среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой , среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО

Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все т мест в очереди тоже:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Средняя длина очереди. Найдем среднее число заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины - числа заявок, находящихся в очереди:

С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью - две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят заявок, и т. д., откуда:

Поскольку , сумму в (5.50) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:

Подставляя данное выражение в (5.50) и используя из (5.47), окончательно получаем:

Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для среднего числа заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку , где - среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью ), откуда:

и среднее число заявок, связанных с СМО, равно

Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т. д.

Если же , т. е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и заявок в очереди (вероятность этого ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

если подставить сюда выражения для вероятностей (5.47), получим:

Здесь использованы соотношения (5.50), (5.51) (производная геометрической прогрессии), а также из (5.47). Сравнивая это выражение с (5.51), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим матожидание случайной величины - время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100 %, очевидно, , в противном же случае

Пример 5.6. Автозаправочная станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой).

Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку не более трех машин одновременно . Если в очереди уже находятся три машины, очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

Определить:

вероятность отказа;

относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;

среднее число машин, ожидающих заправки;

среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемую);

среднее время ожидания машины в очереди;

среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

Находим вначале приведенную интенсивность потока заявок:

; .

По формулам (5.47):

Вероятность отказа .

Относительная пропускная способность СМО

.

Абсолютная пропускная способность СМО

машины в мин.

Среднее число машин в очереди находим по формуле (5.51)

т. е. среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку, равно 1,56.

Прибавляя к этой величине среднее число машин, находящихся под обслуживанием

получаем среднее число машин, связанных с АЗС.

Среднее время ожидания машины в очереди по формуле (5.54)

Прибавляя к этой величине , получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

Системы с неограниченным ожиданием . В таких системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного перехода в ранее полученных выражениях (5.44), (5.45) и т. п.

Заметим, что при этом знаменатель в последней формуле (5.45) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т. е. при .

Может быть доказано, что есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что .

Если , то соотношения (5.47) принимают вид:

При отсутствии ограничений по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому ,

Среднее число заявок в очереди получим из (5.51) при :

Среднее число заявок в системе по формуле (5.52) при

Среднее время ожидания получим из формулы

(5.53) при :

Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО есть

Многоканальная СМО с ожиданием

Система с ограниченной длиной очереди . Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

Все каналы свободны;

Занят один канал, остальные свободны;

Заняты каналов, остальные нет;

Заняты все каналов, свободных нет;

есть очередь:

Заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;

Заняты все n каналов, r заявок в очереди;

Заняты все n каналов, r заявок в очереди.

ГСП приведен на рис. 5.9. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

Рис. 5.9. Многоканальная СМО с ожиданием

Граф типичен для процессов размножения и гибели, для которой решение ранее получено (5.29)-(5.33). Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем ).

Таким образом, все вероятности состояний найдены.

Определим характеристики эффективности системы.

Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты все каналов и все мест в очереди:

Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность СМО:

Среднее число занятых каналов. Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (5.50), (5.51)-(5.53)), используя соотношение для нее, получаем:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (5.59) только множителем , т. е.

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

Системы с неограниченной длиной очереди . Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .

Вероятности состояний получим из формул (5.56) предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при . Допустив, что и устремив в формулах (5.56) величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

Среднее число заявок в очереди получим при из (5.59):

а среднее время ожидания - из (5.60):

Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):

Пример 5.7. Автозаправочная станция с двумя колонками () обслуживает поток машин с интенсивностью (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.

Поскольку , очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (5.61) находим вероятности состояний:

Среднее число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО на интенсивность обслуживания :

Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:

Среднее число машин в очереди:

Среднее число машин на АЗС:

Среднее время ожидания в очереди: