الكسر هو عدد يتكون من وحدة واحدة أو أكثر. هناك ثلاثة أنواع من الكسور في الرياضيات: المشتركة، والمختلطة، والعشرية.

• 
  الكسور المشتركة

تتم كتابة الكسر العادي كنسبة يعكس فيها البسط عدد الأجزاء المأخوذة من العدد، ويوضح المقام عدد الأجزاء التي تنقسم إليها الوحدة. إذا كان البسط أقل من المقام، فلدينا كسر مناسب، على سبيل المثال: ½، 3/5، 8/9.

إذا كان البسط يساوي المقام أو أكبر منه، فإننا نتعامل مع كسر غير فعلي. على سبيل المثال: 5/5، 9/4، 5/2 يمكن أن تؤدي قسمة البسط إلى عدد محدود. على سبيل المثال، 40/8 = 5. وبالتالي، يمكن كتابة أي عدد صحيح ككسر عادي غير حقيقي أو سلسلة من هذه الكسور. دعونا نفكر في إدخالات نفس الرقم في شكل عدد من الإدخالات المختلفة.

• كسور مختلطة

في منظر عاميمكن تمثيل الكسر المختلط بالصيغة:

وبالتالي، يتم كتابة الكسر المختلط كعدد صحيح وكسر عادي عادي، ويُفهم هذا الترميز على أنه مجموع الكل وجزءه الكسري.

• الكسور العشرية

العدد العشري هو نوع خاص من الكسور التي يمكن تمثيل المقام فيها كقوة للعدد 10. هناك أعداد عشرية لا نهائية ومحدودة. عند كتابة هذا النوع من الكسور، يتم أولاً الإشارة إلى الجزء بأكمله، ثم يتم تسجيل الجزء الكسري من خلال فاصل (نقطة أو فاصلة).

يتم تحديد تدوين الجزء الكسري دائمًا من خلال أبعاده. يبدو التدوين العشري كما يلي:

قواعد التحويل بين أنواع الكسور المختلفة

• تحويل الكسر المختلط إلى كسر عادي

لا يمكن تحويل الكسر المختلط إلا إلى كسر غير حقيقي. للترجمة، من الضروري إحضار الجزء بأكمله إلى نفس المقام مثل الجزء الكسري. بشكل عام سيبدو مثل هذا:
دعونا نلقي نظرة على استخدام هذه القاعدة باستخدام أمثلة محددة:

• تحويل الكسر العادي إلى كسر مختلط

يمكن تحويل الكسر غير الفعلي إلى كسر مختلط عن طريق القسمة البسيطة، مما ينتج عنه الجزء الكامل والباقي (الجزء الكسري).

على سبيل المثال، دعونا نحول الكسر 439/31 إلى مختلط:
​​

• تحويل الكسور

في بعض الحالات، يكون تحويل الكسر إلى عدد عشري أمرًا بسيطًا للغاية. في هذه الحالة، يتم تطبيق الخاصية الأساسية للكسر: يتم ضرب البسط والمقام بنفس الرقم من أجل رفع المقسوم عليه إلى قوة 10.

على سبيل المثال:

في بعض الحالات، قد تحتاج إلى إيجاد الناتج عن طريق القسمة على الزوايا أو باستخدام الآلة الحاسبة. وبعض الكسور لا يمكن اختزالها إلى كسر نهائي. عدد عشري. على سبيل المثال، الكسر 1/3 عند تقسيمه لن يعطي النتيجة النهائية أبدًا.

يحدث أنه لتسهيل العمليات الحسابية، تحتاج إلى تحويل الكسر العادي إلى رقم عشري والعكس صحيح. سنتحدث عن كيفية القيام بذلك في هذه المقالة. دعونا نلقي نظرة على قواعد تحويل الكسور العادية إلى أعداد عشرية والعكس، ونقدم أيضًا أمثلة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

سنفكر في تحويل الكسور العادية إلى أعداد عشرية، باتباع تسلسل معين. أولاً، دعونا نلقي نظرة على كيفية تحويل الكسور العادية ذات المقام المضاعف للعدد 10 إلى أعداد عشرية: 10، 100، 1000، إلخ. الكسور ذات المقامات هذه هي في الواقع تدوين أكثر تعقيدًا للكسور العشرية.

بعد ذلك، سننظر في كيفية تحويل الكسور العادية التي لها مقام، وليس مضاعفات العدد ١٠ فقط، إلى كسور عشرية. لاحظ أنه عند تحويل الكسور العادية إلى الكسور العشرية، لا يتم الحصول على الكسور العشرية المحدودة فحسب، بل يتم الحصول أيضًا على الكسور العشرية الدورية اللانهائية.

هيا بنا نبدأ!

ترجمة الكسور العادية ذات المقامات 10، 100، 1000، إلخ. إلى الكسور العشرية

أولًا، لنفترض أن بعض الكسور تتطلب بعض التحضير قبل التحويل إلى الصورة العشرية. ما هذا؟ قبل الرقم الموجود في البسط، تحتاج إلى إضافة الكثير من الأصفار بحيث يصبح عدد الأرقام في البسط مساويًا لعدد الأصفار في المقام. على سبيل المثال، بالنسبة للكسر 3100، يجب إضافة الرقم 0 مرة واحدة إلى يسار الرقم 3 في البسط. الكسر 610 حسب القاعدة المذكورة أعلاه لا يحتاج إلى تعديل.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر، وبعد ذلك سنقوم بصياغة قاعدة مريحة بشكل خاص للاستخدام في البداية، في حين أن الخبرة في تحويل الكسور ليست كبيرة. إذن، الكسر 1610000 بعد إضافة الأصفار في البسط سيبدو مثل 001510000.

كيفية تحويل كسر عادي مقامه 10، 100، 1000، إلخ. إلى العشري؟

قاعدة تحويل الكسور الصحيحة العادية إلى أعداد عشرية

1. اكتب 0 ثم ضع فاصلة بعده.
2. نكتب الرقم من البسط الذي تم الحصول عليه بعد إضافة الأصفار.

الآن دعنا ننتقل إلى الأمثلة.

مثال 1: تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

دعونا نحول الكسر 39,100 إلى عدد عشري.

أولا، ننظر إلى الكسر ونرى أنه ليست هناك حاجة لتنفيذ أي إجراءات تحضيرية - يتزامن عدد الأرقام في البسط مع عدد الأصفار في المقام.

باتباع القاعدة نكتب 0 ونضع بعدها علامة عشرية ونكتب الرقم من البسط. نحصل على الكسر العشري 0.39.

دعونا نلقي نظرة على الحل لمثال آخر حول هذا الموضوع.

مثال 2. تحويل الكسور إلى الكسور العشرية

لنكتب الكسر 105 10000000 في صورة عدد عشري.

عدد الأصفار في المقام هو 7، والبسط يتكون من ثلاثة أرقام فقط. دعونا نضيف 4 أصفار أخرى قبل الرقم الموجود في البسط:

0000105 10000000

الآن نكتب 0 ونضع بعده علامة عشرية ونكتب الرقم من البسط. نحصل على الكسر العشري 0.0000105.

الكسور التي تم النظر فيها في جميع الأمثلة هي كسور عادية عادية. ولكن كيف يمكنك تحويل الكسر غير الحقيقي إلى عدد عشري؟ لنفترض على الفور أنه ليست هناك حاجة للتحضير بإضافة الأصفار لمثل هذه الكسور. دعونا صياغة القاعدة.

قاعدة تحويل الكسور العادية غير الحقيقية إلى أعداد عشرية

1. اكتب الرقم الموجود في البسط.
2. نستخدم العلامة العشرية للفصل بين عدد من الأرقام الموجودة على اليمين يساوي عدد الأصفار في مقام الكسر الأصلي.

فيما يلي مثال لكيفية استخدام هذه القاعدة.

مثال 3. تحويل الكسور إلى الكسور العشرية

لنقم بتحويل الكسر 56888038009 100000 من كسر عادي غير منتظم إلى عدد عشري.

أولاً، دعونا نكتب الرقم من البسط:

الآن، على اليمين، نفصل بين خمسة أرقام بعلامة عشرية (عدد الأصفار في المقام هو خمسة). نحن نحصل:

والسؤال التالي الذي يطرح نفسه بطبيعة الحال هو: كيفية تحويل عدد مختلط إلى كسر عشري إذا كان مقام الجزء الكسري هو الرقم 10، 100، 1000، الخ. لتحويل هذا الرقم إلى كسر عشري، يمكنك استخدام القاعدة التالية.

قواعد تحويل الأعداد الكسرية إلى أعداد عشرية

1. نقوم بإعداد الجزء الكسري من الرقم، إذا لزم الأمر.
2. نكتب الجزء الكامل من الرقم الأصلي ونضع بعده فاصلة.
3. نكتب الرقم من بسط الجزء الكسري مع الأصفار المضافة.

لنلقي نظرة على مثال.

مثال 4: تحويل الأعداد الكسرية إلى أعداد عشرية

دعونا نحول الرقم المختلط 23 17 10000 إلى كسر عشري.

في الجزء الكسري لدينا التعبير 17 10000. دعونا نجهزه ونضيف صفرين آخرين إلى يسار البسط. نحصل على: 0017 10000.

الآن نكتب الجزء الكامل من الرقم ونضع بعده فاصلة: 23، . .

بعد العلامة العشرية، اكتب الرقم من البسط مع الأصفار. نحصل على النتيجة:

23 17 10000 = 23 , 0017

تحويل الكسور العادية إلى كسور دورية منتهية وغير منتهية

بالطبع، يمكنك التحويل إلى أعداد عشرية وكسور عادية ذات مقام لا يساوي 10، 100، 1000، إلخ.

في كثير من الأحيان يمكن اختزال الكسر بسهولة إلى مقام جديد، ثم استخدم القاعدة الموضحة في الفقرة الأولى من هذه المقالة. على سبيل المثال، يكفي ضرب بسط ومقام الكسر 25 في 2، ونحصل على الكسر 410، والذي يمكن تحويله بسهولة إلى الشكل العشري 0.4.

ومع ذلك، لا يمكن دائمًا استخدام هذه الطريقة لتحويل الكسر إلى عدد عشري. أدناه سننظر في ما يجب فعله إذا كان من المستحيل تطبيق الطريقة المدروسة.

بشكل أساسي طريق جديديتم تقليل تحويل الكسر العادي إلى عدد عشري إلى قسمة البسط على المقام بعمود. تشبه هذه العملية إلى حد كبير عملية قسمة الأعداد الطبيعية على عمود، ولكن لها خصائصها الخاصة.

يتم تمثيل البسط عند القسمة ككسر عشري - على يمين آخر رقميسبق البسط فاصلة ويتم إضافة الأصفار. في الحاصل الناتج، يتم وضع علامة عشرية عند انتهاء قسمة الجزء الصحيح من البسط. سوف تصبح كيفية عمل هذه الطريقة واضحة بعد النظر في الأمثلة.

مثال 5. تحويل الكسور إلى الكسور العشرية

دعونا نحول الكسر المشترك 621 4 إلى الصورة العشرية.

لنمثل الرقم 621 من البسط ككسر عشري، مع إضافة بضعة أصفار بعد العلامة العشرية. 621 = 621.00

الآن دعونا نقسم 621.00 على 4 باستخدام عمود. ستكون الخطوات الثلاث الأولى للقسمة هي نفسها عند قسمة الأعداد الطبيعية، وسوف نحصل عليها.

عندما نصل إلى النقطة العشرية في المقسوم، والباقي مختلف عن الصفر، نضع نقطة عشرية في خارج القسمة ونواصل القسمة، دون الالتفات إلى الفاصلة في المقسوم.

وبالنتيجة نحصل على الكسر العشري 155، 25 وهو نتيجة عكس الكسر المشترك 621 4

621 4 = 155 , 25

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر لتعزيز المادة.

مثال 6. تحويل الكسور إلى الكسور العشرية

دعونا نعكس الكسر المشترك 21800.

للقيام بذلك، قم بتقسيم الكسر 21000 إلى عمود على 800. ستنتهي قسمة الجزء بأكمله عند الخطوة الأولى، فبعدها مباشرة نضع علامة عشرية في خارج القسمة ونستمر في القسمة، دون الالتفات إلى الفاصلة في المقسوم حتى نحصل على باقي يساوي صفر.

ونتيجة لذلك حصلنا على: 21800 = 0.02625.

ولكن ماذا لو، عند القسمة، ما زلنا لا نحصل على الباقي 0. في مثل هذه الحالات، يمكن أن تستمر القسمة إلى أجل غير مسمى. ومع ذلك، بدءاً من خطوة معينة، سيتم تكرار البقايا بشكل دوري. وبناء على ذلك، سيتم تكرار الأرقام الموجودة في الحاصل. وهذا يعني أنه يتم تحويل الكسر العادي إلى كسر دوري عشري لا نهائي. دعونا توضيح ذلك مع مثال.

مثال 7. تحويل الكسور إلى الكسور العشرية

دعونا نحول الكسر المشترك 19 44 إلى عدد عشري. للقيام بذلك، نقوم بإجراء القسمة على العمود.

نلاحظ أنه أثناء عملية القسمة، تتكرر البقايا 8 و36. في هذه الحالة، يتم تكرار الأرقام 1 و 8 في الحاصل. هذه هي الفترة في الكسر العشري. عند التسجيل، يتم وضع هذه الأرقام بين قوسين.

وهكذا يتم تحويل الكسر العادي الأصلي إلى كسر عشري دوري لا نهائي.

19 44 = 0 , 43 (18) .

دعونا نرى الكسر العادي غير القابل للاختزال. ما هو الشكل الذي سيتخذه؟ ما هي الكسور العادية التي يتم تحويلها إلى أعداد عشرية منتهية، وأي منها يتم تحويلها إلى أعداد عشرية لا نهائية؟

أولاً، لنفترض أنه إذا كان من الممكن اختزال الكسر إلى أحد المقامات 10، 100، 1000...، فسيكون له شكل كسر عشري نهائي. لكي يتم اختزال الكسر إلى أحد هذه المقامات، يجب أن يكون مقامه مقسومًا على واحد على الأقل من الأرقام 10، 100، 1000، إلخ. من قواعد تحليل الأعداد إلى عوامل أولية، يترتب على ذلك أن مقسوم الأعداد هو 10، 100، 1000، إلخ. يجب، عند تحليلها إلى عوامل أولية، أن تحتوي فقط على الرقمين 2 و5.

ولنلخص ما قيل:

1. يمكن اختزال الكسر العادي إلى رقم عشري نهائي إذا أمكن تحليل مقامه إلى عوامل أولية 2 و5.
2. إذا، بالإضافة إلى الرقمين 2 و 5، هناك أرقام أولية أخرى في توسيع المقام، يتم تقليل الكسر إلى شكل كسر عشري دوري لا نهائي.

دعونا نعطي مثالا.

مثال 8. تحويل الكسور إلى الكسور العشرية

أي من هذه الكسور 47 20، 7 12، 21 56، 31 17 يتم تحويله إلى كسر عشري نهائي، وأي واحد - فقط إلى كسر دوري. دعونا نجيب على هذا السؤال دون تحويل الكسر مباشرة إلى عدد عشري.

الكسر 47 20، كما هو واضح، عن طريق ضرب البسط والمقام في 5، يتم تقليله إلى مقام جديد 100.

47 20 = 235 100. ومن هذا نستنتج أن هذا الكسر يتم تحويله إلى كسر عشري نهائي.

بتحليل مقام الكسر 7 12 نحصل على 12 = 2 · 2 · 3. بما أن العامل الأولي 3 يختلف عن 2 و5، فلا يمكن تمثيل هذا الكسر ككسر عشري منتهٍ، ولكن سيكون له شكل كسر دوري لا نهائي.

يجب أولاً تقليل الكسر 21 56. بعد التخفيض بمقدار 7، نحصل على الكسر غير القابل للاختزال 3 8، والذي يتم تحليل مقامه للحصول على 8 = 2 · 2 · 2. وبالتالي فهو كسر عشري نهائي.

في حالة الكسر 31 17، فإن تحليل المقام هو العدد الأولي 17 نفسه. وبناءً على ذلك، يمكن تحويل هذا الكسر إلى كسر عشري دوري لا نهائي.

لا يمكن تحويل الكسر العادي إلى كسر عشري لا نهائي وغير دوري

أعلاه تحدثنا فقط عن الكسور الدورية المحدودة واللانهائية. ولكن هل يمكن تحويل أي كسر عادي إلى كسر غير دوري لا نهائي؟

نجيب: لا!

مهم!

عند تحويل كسر لا نهائي إلى عدد عشري، تكون النتيجة إما كسرًا عشريًا منتهيًا أو عددًا عشريًا دوريًا لا نهائيًا.

يكون باقي القسمة دائمًا أقل من المقسوم عليه. بمعنى آخر، وفقًا لنظرية قابلية القسمة، إذا قسمنا عددًا طبيعيًا ما على الرقم q، فإن باقي القسمة لا يمكن أن يكون أكبر من q-1 بأي حال من الأحوال. بعد إتمام عملية التقسيم، من الممكن حدوث إحدى الحالات التالية:

1. نحصل على الباقي 0، وهنا تنتهي عملية القسمة.
2. نحصل على الباقي، والذي يتكرر عند القسمة اللاحقة، مما يؤدي إلى كسر دوري لا نهائي.

لا يمكن أن يكون هناك أي خيارات أخرى عند تحويل الكسر إلى رقم عشري. لنفترض أيضًا أن طول الفترة (عدد الأرقام) في الكسر الدوري اللانهائي يكون دائمًا أقل من عدد الأرقام في مقام الكسر العادي المقابل.

تحويل الكسور العشرية إلى كسور

حان الوقت الآن لإلقاء نظرة على العملية العكسية لتحويل الكسر العشري إلى كسر عادي. دعونا نصيغ قاعدة ترجمة تتضمن ثلاث مراحل. كيفية تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي؟

قاعدة تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية

1. في البسط نكتب الرقم من الكسر العشري الأصلي، مع تجاهل الفاصلة وجميع الأصفار الموجودة على اليسار، إن وجدت.
2. نكتب في المقام واحدًا متبوعًا بعدد من الأصفار يساوي عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسر العشري الأصلي.
3. إذا لزم الأمر، تقليل الكسر العادي الناتج.

دعونا نفكر في التطبيق من هذه القاعدةمع الأمثلة.

مثال 8. تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية

لنتخيل الرقم 3.025 ككسر عادي.

1. نكتب الكسر العشري نفسه في البسط، مع تجاهل الفاصلة: 3025.
2. نكتب في المقام واحدًا، وبعده ثلاثة أصفار - هذا هو بالضبط عدد الأرقام الموجودة في الكسر الأصلي بعد العلامة العشرية: 3025 1000.
3. يمكن تقليل الكسر الناتج 30251000 بمقدار 25، مما يؤدي إلى: 30251000 = 12140.

مثال 9. تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية

لنقم بتحويل الكسر 0.0017 من العدد العشري إلى العادي.

1. في البسط نكتب الكسر 0، 0017، متجاهلين الفاصلة والأصفار الموجودة على اليسار. سوف يتحول إلى 17.
2. نكتب في المقام واحدًا، وبعده نكتب أربعة أصفار: 17 10000. هذا الكسر غير قابل للاختزال.

إذا كان الكسر العشري يحتوي على جزء صحيح، فيمكن تحويل هذا الكسر على الفور إلى رقم مختلط. كيف افعلها؟

دعونا صياغة قاعدة أخرى.

قاعدة تحويل الكسور العشرية إلى أرقام مختلطة.

1. تتم كتابة الرقم الموجود قبل العلامة العشرية في الكسر على أنه الجزء الصحيح من الرقم الكسري.
2. في البسط نكتب الرقم بعد العلامة العشرية في الكسر، مع التخلص من الأصفار الموجودة على اليسار إن وجدت.
3. في مقام الجزء الكسري نضيف واحدًا والعديد من الأصفار مثل عدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الجزء الكسري.

لنأخذ مثالا

مثال 10: تحويل العدد العشري إلى رقم مختلط

لنتخيل الكسر 155، 06005 كرقم مختلط.

1. نكتب العدد 155 كجزء صحيح.
2. في البسط نكتب الأعداد بعد العلامة العشرية، مع تجاهل الصفر.
3. نكتب واحدًا وخمسة أصفار في المقام

هيا نتعلم العدد الكسري: 155 6005 100000

يمكن تقليل الجزء الكسري بمقدار 5. نختصرها ونحصل على النتيجة النهائية:

155 , 06005 = 155 1201 20000

تحويل الكسور العشرية الدورية اللانهائية إلى كسور

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لكيفية تحويل الكسور العشرية الدورية إلى كسور عادية. قبل أن نبدأ، دعونا نوضح: يمكن تحويل أي كسر عشري دوري إلى كسر عادي.

أبسط حالة هي فترة الكسر يساوي الصفر. يتم استبدال الكسر الدوري ذو الفترة الصفرية بكسر عشري نهائي، وتتلخص عملية عكس هذا الكسر في عكس الكسر العشري النهائي.

مثال 11. تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر عادي

دعونا نعكس الكسر الدوري 3، 75 (0).

بحذف الأصفار الموجودة على اليمين، نحصل على الكسر العشري الأخير 3.75.

وبتحويل هذا الكسر إلى كسر عادي باستخدام الخوارزمية التي تمت مناقشتها في الفقرات السابقة نحصل على:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

ماذا لو كانت دورة الكسر مختلفة عن الصفر؟ يجب اعتبار الجزء الدوري بمثابة مجموع شروط التقدم الهندسي الذي يتناقص. دعونا نوضح ذلك بمثال:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

هناك صيغة لمجموع حدود التقدم الهندسي المتناقص اللانهائي. إذا كان الحد الأول للتقدم هو b والمقام q هو 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة باستخدام هذه الصيغة.

مثال 12. تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر عادي

دعونا نحصل على كسر دوري 0، (8) ونحتاج إلى تحويله إلى كسر عادي.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

لدينا هنا متوالية هندسية تنازلية لا نهائية مع الحد الأول 0، 8 والمقام 0، 1.

دعونا نطبق الصيغة:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

هذا هو الكسر العادي المطلوب.

لتوحيد المادة، فكر في مثال آخر.

مثال 13. تحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر عادي

دعونا نعكس الكسر 0، 43 (18).

أولاً نكتب الكسر كمجموع لا نهائي:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

دعونا نلقي نظرة على المصطلحات الموجودة بين قوسين. ويمكن تمثيل هذا التقدم الهندسي على النحو التالي:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

نضيف النتيجة إلى الكسر النهائي 0، 43 = 43 100 ونحصل على النتيجة:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

وبعد جمع هذه الكسور وتبسيطها نحصل على الإجابة النهائية:

0 , 43 (18) = 19 44

وفي ختام هذه المقالة، سنقول إنه لا يمكن تحويل الكسور العشرية اللانهائية غير الدورية إلى كسور عادية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

موجودة مسبقا مدرسة إبتدائيةيواجه الطلاب الكسور. وبعد ذلك تظهر في كل موضوع. لا يمكنك أن تنسى الإجراءات بهذه الأرقام. لذلك، تحتاج إلى معرفة كافة المعلومات حول الكسور العادية والعشرية. هذه المفاهيم ليست معقدة، والشيء الرئيسي هو فهم كل شيء بالترتيب.

لماذا هناك حاجة للكسور؟

العالم من حولنا يتكون من أشياء كاملة. ولذلك، ليست هناك حاجة للأسهم. لكن الحياة اليوميةيدفع الناس باستمرار إلى العمل مع أجزاء من الأشياء والأشياء.

على سبيل المثال، تتكون الشوكولاتة من عدة قطع. فكر في موقف يتكون فيه بلاطه من اثني عشر مستطيلاً. وإذا قسمته إلى قسمين، تحصل على 6 أجزاء. يمكن تقسيمها بسهولة إلى ثلاثة. لكن لن يكون من الممكن إعطاء خمسة أشخاص عدداً كاملاً من شرائح الشوكولاتة.

بالمناسبة، هذه الشرائح هي بالفعل كسور. ويؤدي تقسيمها الإضافي إلى ظهور أرقام أكثر تعقيدًا.

ما هو "الكسر"؟

هذا رقم مكون من أجزاء من الواحد. ظاهريًا، يبدو وكأنه رقمين مفصولين بشرطة أفقية أو مائلة. هذه الميزة تسمى كسور. الرقم المكتوب في الأعلى (يسار) يسمى البسط. ما هو في الأسفل (يمين) هو المقام.

في الأساس، تبين أن الشرطة المائلة هي علامة قسمة. أي أن البسط يمكن أن يسمى المقسوم، والمقام يمكن أن يسمى المقسوم عليه.

ما هي الكسور هناك؟

في الرياضيات هناك نوعان فقط: الكسور العادية والعشرية. أطفال المدارس يجتمعون لأول مرة في مدرسة إبتدائيةواصفين إياها ببساطة بـ "الكسور". سيتم تعلم هذا الأخير في الصف الخامس. وذلك عندما تظهر هذه الأسماء.

الكسور المشتركة هي كل تلك التي تتم كتابتها كرقمين يفصل بينهما خط. على سبيل المثال، 4/7. العلامة العشرية هي رقم يحتوي الجزء الكسري فيه على تدوين موضعي ويتم فصله عن الرقم الصحيح بفاصلة. على سبيل المثال، 4.7. يحتاج الطلاب إلى أن يفهموا بوضوح أن المثالين المذكورين هما رقمان مختلفان تمامًا.

يمكن كتابة كل كسر بسيط على صورة عدد عشري. هذا البيان هو دائما تقريبا صحيح في الاتجاه المعاكس. هناك قواعد تسمح لك بكتابة الكسر العشري على هيئة كسر عادي.

ما هي الأنواع الفرعية التي تمتلكها هذه الأنواع من الكسور؟

من الأفضل أن تبدأ الترتيب الزمنيكما يتم دراستها. الكسور المشتركة تأتي أولا. من بينها يمكن تمييز 5 أنواع فرعية.

صحيح. بسطه دائمًا أقل من مقامه.

خطأ. بسطه أكبر من مقامه أو يساويه.

قابل للاختزال / غير قابل للاختزال. وقد يتبين أنها إما صحيحة أو خاطئة. الأمر المهم الآخر هو ما إذا كان البسط والمقام لهما عوامل مشتركة. إذا كان هناك، فمن الضروري تقسيم كلا جزأين الكسر عليهما، أي تقليله.

مختلط. يتم تعيين عدد صحيح للجزء الكسري المعتاد (غير المنتظم). علاوة على ذلك، فهو دائمًا على اليسار.

مركب. ويتكون من كسرين مقسومين على بعضهما البعض. أي أنه يحتوي على ثلاثة خطوط كسرية في وقت واحد.

تحتوي الكسور العشرية على نوعين فرعيين فقط:

محدود، أي جزءه الكسري محدود (له نهاية)؛

لانهائي - رقم لا تنتهي أرقامه بعد العلامة العشرية (يمكن كتابتها إلى ما لا نهاية).

كيفية تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي؟

إذا كان هذا عددًا محدودًا، فسيتم تطبيق الارتباط بناءً على القاعدة - كما أسمع، أكتب. أي أنك تحتاج إلى قراءتها بشكل صحيح وكتابتها، ولكن بدون فاصلة، ولكن باستخدام شريط كسور.

كتلميح حول المقام المطلوب، عليك أن تتذكر أنه دائمًا واحد وعدة أصفار. يجب عليك كتابة أكبر عدد ممكن من الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من الرقم المعني.

كيفية تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية إذا كان الجزء الصحيح منها مفقودا، أي يساوي الصفر؟ على سبيل المثال، 0.9 أو 0.05. بعد تطبيق القاعدة المحددة، اتضح أنك بحاجة إلى كتابة أعداد صحيحة صفرية. ولكن لم يتم الإشارة إلى ذلك. كل ما تبقى هو كتابة الأجزاء الكسرية. سيكون للرقم الأول مقام 10، والثاني سيكون مقامه 100. أي أن الأمثلة المقدمة ستحتوي على الأرقام التالية كإجابات: 9/10، 5/100. علاوة على ذلك، اتضح أن الأخير يمكن تخفيضه بمقدار 5. لذلك، يجب كتابة النتيجة كـ 1/20.

كيف يمكنك تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي إذا كان الجزء الصحيح منه يختلف عن الصفر؟ على سبيل المثال، 5.23 أو 13.00108. وفي كلا المثالين يُقرأ الجزء كاملاً وتُكتب قيمته. في الحالة الأولى هو 5، في الثانية هو 13. ثم تحتاج إلى الانتقال إلى الجزء الكسري. ومن المفترض أن يتم تنفيذ نفس العملية معهم. يظهر الرقم الأول 23/100، والثاني - 108/100000. يجب تخفيض القيمة الثانية مرة أخرى. الجواب يبدو مثل هذا كسور مختلطة: 5 23/100 و 13 27/25000.

كيفية تحويل الكسر العشري اللانهائي إلى كسر عادي؟

إذا كانت غير دورية، فلن تكون هذه العملية ممكنة. ترجع هذه الحقيقة إلى حقيقة أن كل كسر عشري يتم تحويله دائمًا إلى كسر محدود أو كسر دوري.

الشيء الوحيد الذي يمكنك فعله بهذا الكسر هو تقريبه. ولكن بعد ذلك سيكون العدد العشري مساويًا تقريبًا لذلك اللانهائي. يمكن بالفعل أن تتحول إلى عادية. لكن العملية العكسية: التحويل إلى الرقم العشري لن يعطي القيمة الأولية أبدًا. أي أن الكسور غير الدورية اللانهائية لا يتم تحويلها إلى كسور عادية. هذا يحتاج إلى أن نتذكر.

كيف تكتب كسرًا دوريًا لا نهائيًا ككسر عادي؟

في هذه الأرقام، يوجد دائمًا رقم واحد أو أكثر بعد العلامة العشرية المتكررة. يطلق عليهم فترة. على سبيل المثال، 0.3(3). هنا "3" في هذه الفترة. يتم تصنيفها على أنها كسرية لأنه يمكن تحويلها إلى كسور عادية.

أولئك الذين واجهوا الكسور الدورية يعرفون أنها يمكن أن تكون نقية أو مختلطة. في الحالة الأولى، تبدأ الفترة مباشرة من الفاصلة. وفي الثاني يبدأ الجزء الكسري ببعض الأرقام، ثم يبدأ التكرار.

ستكون القاعدة التي تحتاج من خلالها إلى كتابة كسر عشري لا نهائي ككسر عادي مختلفة بالنسبة لنوعي الأرقام المشار إليهما. من السهل جدًا كتابة الكسور الدورية النقية ككسور عادية. كما هو الحال مع الأرقام المحدودة، يجب تحويلها: اكتب الفترة في البسط، وسيكون المقام هو الرقم 9، مكررًا عدة مرات مثل عدد الأرقام التي تحتوي عليها الفترة.

على سبيل المثال، 0،(5). لا يحتوي الرقم على جزء صحيح، لذلك عليك أن تبدأ على الفور بالجزء الكسري. اكتب 5 كبسط و9 كمقام، أي أن الإجابة ستكون الكسر 5/9.

القاعدة الخاصة بكيفية كتابة كسر دوري عشري عادي مختلط.

انظر إلى طول الفترة. هذا هو عدد التسعات التي سيكون لها المقام.

اكتب المقام: التسعة الأولى، ثم الأصفار.

لتحديد البسط، تحتاج إلى كتابة الفرق بين رقمين. سيتم تصغير جميع الأرقام بعد العلامة العشرية، بالإضافة إلى الفترة. للخصم - إنه بدون فترة.

على سبيل المثال، 0.5(8) - اكتب الكسر العشري الدوري ككسر عادي. الجزء الكسري قبل الفترة يحتوي على رقم واحد. إذن سيكون هناك صفر واحد. يوجد أيضًا رقم واحد فقط في الفترة - 8. أي أن هناك رقمًا واحدًا فقط وهو تسعة. أي أنك تحتاج إلى كتابة 90 في المقام.

لتحديد البسط، عليك طرح 5 من 58. النتيجة هي 53. على سبيل المثال، سيتعين عليك كتابة الإجابة بالشكل 53/90.

كيف يتم تحويل الكسور إلى أعداد عشرية؟

الخيار الأبسط هو الرقم الذي مقامه هو الرقم 10، 100، إلخ. ثم يتم تجاهل المقام ببساطة، ويتم وضع فاصلة بين الأجزاء الكسرية والعددية.

هناك حالات يتحول فيها المقام بسهولة إلى 10، 100، وما إلى ذلك. على سبيل المثال، الأرقام 5، 20، 25. يكفي ضربها في 2 و 5 و 4 على التوالي. تحتاج فقط إلى ضرب ليس فقط المقام، ولكن أيضًا البسط بنفس الرقم.

بالنسبة لجميع الحالات الأخرى، هناك قاعدة بسيطة مفيدة: قسمة البسط على المقام. في هذه الحالة، قد تحصل على إجابتين محتملتين: كسر عشري محدد أو كسر عشري دوري.

العمليات على الكسور العادية

جمع وطرح

يتعرف الطلاب عليهم في وقت مبكر عن غيرهم. علاوة على ذلك، في البداية يكون للكسور نفس المقامات، ثم لها مقامات مختلفة. قواعد عامةيمكن تخفيضها إلى مثل هذه الخطة.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.

اكتب عوامل إضافية لجميع الكسور العادية.

اضرب البسط والمقام في العوامل المحددة لها.

أضف (اطرح) بسط الكسور واترك القاسم المشترك دون تغيير.

إذا كان بسط الطرح أقل من المطروح، فعلينا معرفة ما إذا كان لدينا عدد كسري أم كسر حقيقي.

في الحالة الأولى، تحتاج إلى استعارة واحدة من الجزء بأكمله. أضف المقام إلى بسط الكسر. ومن ثم القيام بالطرح.

وفي الحالة الثانية، من الضروري تطبيق قاعدة طرح عدد أكبر من عدد أصغر. أي أنه من وحدة المطروح، اطرح وحدة الطرح، وردًا على ذلك ضع علامة "-".

انظر بعناية إلى نتيجة الجمع (الطرح). إذا حصلت على كسر غير حقيقي، فيجب عليك تحديد الجزء بأكمله. أي قسمة البسط على المقام.

الضرب والقسمة

ولتنفيذها، لا يلزم اختزال الكسور إلى قاسم مشترك. وهذا يجعل من السهل تنفيذ الإجراءات. لكنهم ما زالوا يطلبون منك اتباع القواعد.

عند ضرب الكسور، عليك أن تنظر إلى الأرقام الموجودة في البسط والمقامات. إذا كان هناك عامل مشترك بين البسط والمقام، فيمكن تبسيطهما.

اضرب البسطين.

اضرب المقامات.

إذا كانت النتيجة كسرًا قابلًا للاختزال، فيجب تبسيطه مرة أخرى.

عند القسمة، يجب عليك أولاً استبدال القسمة بالضرب، والمقسوم عليه (الكسر الثاني) بالكسر المتبادل (مبادلة البسط والمقام).

ثم تابع كما هو الحال مع الضرب (بدءًا من النقطة 1).

في المهام التي تحتاج فيها إلى الضرب (القسمة) على عدد صحيح، يجب كتابة الأخير ككسر غير حقيقي. أي بمقام 1. ثم تصرف كما هو موضح أعلاه.



العمليات مع الأعداد العشرية

جمع وطرح

بالطبع، يمكنك دائمًا تحويل الرقم العشري إلى كسر. والتصرف وفقا للخطة الموصوفة بالفعل. لكن في بعض الأحيان يكون التصرف أكثر ملاءمة بدون هذه الترجمة. ثم قواعد الجمع والطرح ستكون هي نفسها تمامًا.

مساواة عدد الأرقام في الجزء الكسري من الرقم، أي بعد العلامة العشرية. أضف العدد المفقود من الأصفار إليه.

اكتب الكسور بحيث تكون الفاصلة أسفل الفاصلة.

الجمع (الطرح) مثل الأعداد الطبيعية.

قم بإزالة الفاصلة.

الضرب والقسمة

من المهم ألا تحتاج إلى إضافة أصفار هنا. يجب ترك الكسور كما هي مذكورة في المثال. ومن ثم المضي قدما وفقا للخطة.

للضرب، عليك كتابة الكسور الواحدة تحت الأخرى، مع تجاهل الفواصل.

اضرب مثل الأعداد الطبيعية.

ضع فاصلة في الإجابة، عد من الطرف الأيمن للإجابة نفس عدد الأرقام الموجودة في الأجزاء الكسرية لكلا العاملين.

للقسمة يجب عليك أولاً تحويل المقسوم عليه: اصنعه عدد طبيعي. أي اضربه في 10، 100، وما إلى ذلك، اعتمادًا على عدد الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من المقسوم عليه.

اضرب الأرباح بنفس الرقم.

قسمة كسر عشري على عدد طبيعي.

ضع فاصلة في إجابتك في اللحظة التي تنتهي فيها عملية تقسيم الجزء بأكمله.



ماذا لو كان أحد الأمثلة يحتوي على كلا النوعين من الكسور؟

نعم، غالبًا ما توجد أمثلة في الرياضيات تحتاج فيها إلى إجراء عمليات على الكسور العادية والعشرية. في مثل هذه المهام هناك حلان ممكنان. تحتاج إلى وزن الأرقام بشكل موضوعي واختيار الرقم الأمثل.

الطريقة الأولى: تمثيل الأعداد العشرية العادية

إنها مناسبة إذا كان القسمة أو الترجمة تؤدي إلى كسور محدودة. إذا كان رقم واحد على الأقل يعطي جزءا دوريا، فإن هذه التقنية محظورة. لذلك، حتى لو كنت لا تحب التعامل مع الكسور العادية، فسيتعين عليك عدها.

الطريقة الثانية: كتابة الكسور العشرية بالشكل المعتاد

تكون هذه التقنية ملائمة إذا كان الجزء الموجود بعد العلامة العشرية يحتوي على رقم أو رقمين. إذا كان هناك المزيد منها، فقد ينتهي بك الأمر إلى كسر مشترك كبير جدًا وسيؤدي التدوين العشري إلى جعل المهمة أسرع وأسهل في الحساب. لذلك، تحتاج دائمًا إلى تقييم المهمة بوعي واختيار أبسط طريقة للحل.

يبدو أن تحويل الكسر العشري إلى كسر عادي هو موضوع أساسي، لكن الكثير من الطلاب لا يفهمونه! لذلك، سنلقي اليوم نظرة مفصلة على العديد من الخوارزميات في وقت واحد، والتي من خلالها ستفهم أي كسور في ثانية واحدة فقط.

اسمحوا لي أن أذكرك أن هناك على الأقل شكلين لكتابة نفس الكسر: المشترك والعشري. الكسور العشرية هي جميع أنواع الإنشاءات ذات الشكل 0.75؛ 1.33؛ وحتى −7.41. فيما يلي أمثلة على الكسور العادية التي تعبر عن نفس الأرقام:

الآن دعونا نكتشف ذلك: كيف ننتقل من التدوين العشري إلى التدوين العادي؟ والأهم من ذلك: كيف يتم ذلك في أسرع وقت ممكن؟

الخوارزمية الأساسية

في الواقع، هناك خوارزميتان على الأقل. وسوف ننظر في كليهما الآن. لنبدأ بالأول - الأبسط والأكثر قابلية للفهم.

لتحويل عدد عشري إلى كسر، عليك اتباع ثلاث خطوات:

ملحوظة هامة بخصوص أرقام سلبية. إذا كان هناك في المثال الأصلي علامة ناقص أمام الكسر العشري، فيجب أن يكون هناك أيضًا علامة ناقص أمام الكسر العشري في الناتج. وفيما يلي بعض الأمثلة أكثر:

أمثلة على الانتقال من التدوين العشري للكسور إلى الكسور العادية

أود أن أهتم بشكل خاص بالمثال الأخير. كما ترون، الكسر 0.0025 يحتوي على العديد من الأصفار بعد العلامة العشرية. ولهذا السبب، يتعين عليك ضرب البسط والمقام في 10 بما يصل إلى أربع مرات. هل من الممكن تبسيط الخوارزمية بطريقة ما في هذه الحالة؟

بالتأكيد تستطيع. والآن سننظر إلى خوارزمية بديلة - من الصعب فهمها قليلاً، ولكن بعد القليل من الممارسة تعمل بشكل أسرع بكثير من الخوارزمية القياسية.

طريقة أسرع

تحتوي هذه الخوارزمية أيضًا على 3 خطوات. للحصول على كسر من عدد عشري قم بما يلي:

1. حساب عدد الأرقام بعد العلامة العشرية. على سبيل المثال، الكسر 1.75 يحتوي على رقمين من هذا القبيل، والكسر 0.0025 يحتوي على أربعة. دعونا نشير إلى هذه الكمية بالحرف $n$.
2. أعد كتابة الرقم الأصلي ككسر من النموذج $\frac(a)(((10)^(n)))$، حيث $a$ هي جميع أرقام الكسر الأصلي (بدون أصفار "البداية" في اليسار، إن وجد)، و$n$ هو نفس عدد الأرقام بعد العلامة العشرية التي حسبناها في الخطوة الأولى. بمعنى آخر، تحتاج إلى تقسيم أرقام الكسر الأصلي على رقم واحد متبوعًا بأصفار $n$.
3. إذا أمكن، قم بتقليل الكسر الناتج.

هذا كل شئ! للوهلة الأولى، يبدو هذا المخطط أكثر تعقيدا من السابق. لكن في الواقع الأمر أبسط وأسرع. أحكم لنفسك:

كما ترون، في الكسر 0.64 هناك رقمين بعد العلامة العشرية - 6 و 4. لذلك $n=2$. إذا أزلنا الفاصلة والأصفار الموجودة على اليسار (في هذه الحالة، صفر واحد فقط)، فسنحصل على الرقم 64. دعنا ننتقل إلى الخطوة الثانية: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$، إذن المقام هو مائة بالضبط. حسنًا، كل ما تبقى هو تقليل البسط والمقام :).

مثال آخر:

هنا كل شيء أكثر تعقيدًا بعض الشيء. أولا، هناك بالفعل 3 أرقام بعد العلامة العشرية، أي. $n=3$، لذلك عليك القسمة على $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. ثانيًا، إذا قمنا بإزالة الفاصلة من العلامة العشرية، فسنحصل على هذا: 0.004 → 0004. تذكر أنه يجب إزالة الأصفار الموجودة على اليسار، لذلك في الواقع لدينا الرقم 4. ثم كل شيء بسيط: قسمة وتقليل واحصل على الاجابة.

وأخيراً المثال الأخير:

خصوصية هذا الكسر هو وجود جزء كامل. ولذلك، فإن الناتج الذي نحصل عليه هو كسر غير حقيقي 47/25. يمكنك، بالطبع، محاولة تقسيم 47 على 25 مع الباقي وبالتالي عزل الجزء بأكمله مرة أخرى. ولكن لماذا تعقد حياتك إذا كان من الممكن القيام بذلك في مرحلة التحول؟ حسنا، دعونا معرفة ذلك.

ما يجب القيام به مع الجزء كله

في الواقع، كل شيء بسيط للغاية: إذا أردنا الحصول عليه الكسر الصحيح، فمن الضروري إزالة الجزء كله منه طوال مدة التحولات، وبعد ذلك، عندما نحصل على النتيجة، نضيفه مرة أخرى إلى اليمين قبل السطر الكسري.

على سبيل المثال، فكر في نفس الرقم: 1.88. دعونا نسجل بمقدار واحد (الجزء بأكمله) وننظر إلى الكسر 0.88. يمكن تحويله بسهولة:

ثم نتذكر الوحدة "المفقودة" ونضيفها إلى المقدمة:

\[\فارك(22)(25)\إلى 1\فارك(22)(25)\]

هذا كل شئ! تبين أن الإجابة هي نفسها بعد اختيار الجزء بأكمله في المرة الأخيرة. بضعة أمثلة أخرى:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\إلى 0.8=\فارك(8)(10)=\فارك(4)(5)\إلى 13\فارك(4)(5). \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو جمال الرياضيات: بغض النظر عن الاتجاه الذي تسلكه، إذا تمت جميع الحسابات بشكل صحيح، فستكون الإجابة هي نفسها دائمًا :).

في الختام، أود أن أفكر في تقنية أخرى تساعد الكثيرين.

التحولات "عن طريق الأذن"

دعونا نفكر في ماهية العلامة العشرية. بتعبير أدق، كيف نقرأها. على سبيل المثال، الرقم 0.64 - نقرأه على أنه "نقطة الصفر 64 جزء من مائة"، أليس كذلك؟ حسنًا، أو فقط "64 جزءًا من مائة". الكلمة الأساسية هنا هي "المئات"، أي. رقم 100.

ماذا عن 0.004؟ هذه هي "نقطة الصفر 4 أجزاء من الألف" أو ببساطة "أربعة أجزاء من الألف". بشكل أو بآخر، الكلمة المفتاحية هي "الآلاف"، أي "الآلاف". 1000.

ذلك ما الصفقة الكبيرة؟ والحقيقة هي أن هذه الأرقام هي التي "تنبثق" في النهاية في المقامات في المرحلة الثانية من الخوارزمية. أولئك. 0.004 هو "أربعة أجزاء من الألف" أو "4 مقسومًا على 1000":

حاول أن تتدرب على نفسك - الأمر بسيط جدًا. الشيء الرئيسي هو قراءة الكسر الأصلي بشكل صحيح. على سبيل المثال، 2.5 هو "2 صحيح، 5 أعشار"، لذلك

وبعض 1.125 هو "1 صحيح، 125 جزءًا من الألف"، لذا

في المثال الأخير، بالطبع، سيعترض شخص ما بأنه ليس من الواضح لكل طالب أن 1000 يقبل القسمة على 125. ولكن هنا عليك أن تتذكر أن 1000 = 10 3، و10 = 2 ∙ 5، وبالتالي

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(محاذاة)\]

وبالتالي، فإن أي قوة للعشرة تتحلل فقط إلى العوامل 2 و 5 - وهذه العوامل هي التي يجب البحث عنها في البسط بحيث يتم تقليل كل شيء في النهاية.

بهذا يختتم الدرس. دعنا ننتقل إلى عملية عكسية أكثر تعقيدًا - انظر "

لقد قلنا بالفعل أن هناك كسورًا عاديو عدد عشري. على هذه اللحظةلقد درسنا الكسور قليلا. لقد تعلمنا أن هناك كسورًا منتظمة وغير حقيقية. وتعلمنا أيضًا أنه يمكن تبسيط الكسور المشتركة وجمعها وطرحها وضربها وقسمتها. وتعلمنا أيضًا أن هناك ما يسمى بالأعداد الكسرية، والتي تتكون من عدد صحيح وجزء كسري.

لم نستكشف الكسور المشتركة بالكامل بعد. هناك الكثير من التفاصيل الدقيقة والتفاصيل التي ينبغي الحديث عنها، ولكن اليوم سنبدأ في دراستها عدد عشريالكسور، نظرًا لأنه غالبًا ما يتعين الجمع بين الكسور العادية والعشرية. أي أنه عند حل المسائل عليك استخدام كلا النوعين من الكسور.

قد يبدو هذا الدرس معقدًا ومربكًا. إنه أمر طبيعي تماما. تتطلب هذه الأنواع من الدروس دراستها، وليس قراءتها بشكل سطحي.

محتوى الدرس

التعبير عن الكميات بشكل كسري

في بعض الأحيان يكون من المناسب إظهار شيء ما في شكل كسري. على سبيل المثال، يُكتب عُشر الديسيمتر على النحو التالي:

ويعني هذا التعبير أن الديسيمتر الواحد مقسم إلى عشرة أجزاء متساوية، ومن هذه الأجزاء العشرة يؤخذ جزء واحد. وجزء واحد من عشرة في هذه الحالة يساوي سنتيمترًا واحدًا:

النظر في المثال التالي. أظهر 6 سم و3 مم أخرى بالسنتيمتر على شكل كسر.

لذلك، تحتاج إلى إظهار 6 سم و 3 ملم بالسنتيمتر، ولكن في شكل كسري. لدينا بالفعل 6 سنتيمترات كاملة:

ولكن لا يزال هناك 3 ملليمترات متبقية. كيف تظهر هذه المليمترات الثلاثة بالسنتيمتر؟ الكسور تأتي للإنقاذ. سنتيمتر واحد يساوي عشرة ملليمترات. ثلاثة ملليمترات هي ثلاثة أجزاء من عشرة. وثلاثة أجزاء من عشرة مكتوبة بالسم

والتعبير سم يعني أن السنتيمتر الواحد قسم إلى عشرة أجزاء متساوية، ومن هذه الأجزاء العشرة أخذ ثلاثة أجزاء.

ونتيجة لذلك، لدينا ستة سنتيمترات كاملة وثلاثة أعشار السنتيمتر:

في هذه الحالة، 6 يوضح عدد السنتيمترات الكاملة، والكسر يوضح عدد السنتيمترات الكسرية. تتم قراءة هذا الكسر كما "ستة فاصل ثلاثة سنتيمترات".

الكسور التي يحتوي مقامها على الأرقام 10، 100، 1000 يمكن كتابتها بدون مقام. اكتب أولًا الجزء بأكمله، ثم بسط الجزء الكسري. يتم فصل الجزء الصحيح عن بسط الجزء الكسري بفاصلة.

على سبيل المثال، لنكتبها بدون مقام. أولا نكتب الجزء كله. الجزء كله هو 6

يتم تسجيل الجزء كله. مباشرة بعد كتابة الجزء كاملا نضع فاصلة:

والآن نكتب بسط الجزء الكسري. في العدد الكسري، بسط الجزء الكسري هو الرقم 3. نكتب ثلاثة بعد العلامة العشرية:

يسمى أي رقم يتم تمثيله في هذا النموذج عدد عشري.

لذلك، يمكنك إظهار 6 سم و3 مم أخرى بالسنتيمتر باستخدام الكسر العشري:

6.3 سم

سوف يبدو مثل هذا:

في الواقع، الكسور العشرية هي نفس الكسور العادية والأعداد الكسرية. تكمن خصوصية هذه الكسور في أن مقام الجزء الكسري يحتوي على الأرقام 10 أو 100 أو 1000 أو 10000.

مثل العدد المختلط، يحتوي الكسر العشري على جزء صحيح وجزء كسري. على سبيل المثال، في عدد مختلط الجزء الصحيح هو 6، والجزء الكسري هو .

في الكسر العشري 6.3، الجزء الصحيح هو الرقم 6، والجزء الكسري هو بسط الكسر، أي الرقم 3.

ويحدث أيضًا أن الكسور العادية في المقام تُعطى أرقامها 10، 100، 1000 بدون جزء صحيح. على سبيل المثال، يتم إعطاء الكسر بدون الجزء الكامل. لكتابة كسر ككسر عشري، اكتب أولاً 0، ثم ضع فاصلة واكتب بسط الكسر. سيتم كتابة الكسر الذي ليس له مقام على النحو التالي:

يقرأ مثل "نقطة الصفر خمسة".

تحويل الأعداد الكسرية إلى أعداد عشرية

عندما نكتب أعدادًا كسرية بدون مقام، فإننا بذلك نحولها إلى كسور عشرية. عند تحويل الكسور إلى أعداد عشرية، هناك بعض الأشياء التي تحتاج إلى معرفتها، والتي سنتحدث عنها الآن.

بعد كتابة الجزء بأكمله، من الضروري حساب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري، حيث يجب أن يكون عدد أصفار الجزء الكسري وعدد الأرقام بعد العلامة العشرية في الكسر العشري هو نفس. ماذا يعني ذلك؟ خذ بعين الاعتبار المثال التالي:

في البدايه

ويمكنك على الفور كتابة بسط الجزء الكسري ويصبح الكسر العشري جاهزًا، لكنك بالتأكيد بحاجة إلى حساب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري.

إذن، نحسب عدد الأصفار في الجزء الكسري من العدد الكسري. مقام الجزء الكسري يساوي صفرًا واحدًا. وهذا يعني أنه في الكسر العشري سيكون هناك رقم واحد بعد العلامة العشرية وسيكون هذا الرقم هو بسط الجزء الكسري من الرقم الكسري، أي الرقم 2

وبالتالي، عند تحويله إلى كسر عشري، يصبح الرقم الكسري 3.2.

يقرأ هذا الكسر العشري كما يلي:

"ثلاث نقاط اثنان"

""الأعشار"" لأن الرقم 10 موجود في الجزء الكسري من عدد كسري.

مثال 2.تحويل رقم مختلط إلى رقم عشري.

اكتب الجزء كاملاً ثم ضع فاصلة:

ويمكنك على الفور كتابة بسط الجزء الكسري والحصول على الكسر العشري 5.3، لكن القاعدة تنص على أنه بعد العلامة العشرية يجب أن يكون هناك عدد من الأرقام يساوي عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري من الرقم المختلط. ونلاحظ أن مقام الجزء الكسري به صفران. وهذا يعني أن الكسر العشري يجب أن يحتوي على رقمين بعد العلامة العشرية، وليس رقمًا واحدًا.

في مثل هذه الحالات، يحتاج بسط الجزء الكسري إلى تعديل طفيف: أضف صفرًا قبل البسط، أي قبل الرقم 3

يمكنك الآن تحويل هذا الرقم المختلط إلى كسر عشري. اكتب الجزء كاملاً ثم ضع فاصلة:

واكتب بسط الجزء الكسري:

تتم قراءة الكسر العشري 5.03 على النحو التالي:

"خمس نقاط ثلاثة"

"المئات" لأن مقام الجزء الكسري لعدد كسري يحتوي على الرقم 100.

مثال 3.تحويل رقم مختلط إلى رقم عشري.

تعلمنا من الأمثلة السابقة أنه لتحويل عدد كسري إلى عدد عشري بنجاح، يجب أن يكون عدد الأرقام في بسط الكسر وعدد الأصفار في مقام الكسر متساويًا.

قبل تحويل رقم مختلط إلى كسر عشري، يحتاج الجزء الكسري الخاص به إلى تعديل طفيف، أي للتأكد من أن عدد الأرقام في بسط الجزء الكسري وعدد الأصفار في مقام الجزء الكسري هي نفس.

أولًا، ننظر إلى عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري. نرى أن هناك ثلاثة أصفار:

مهمتنا هي تنظيم ثلاثة أرقام في بسط الجزء الكسري. لدينا بالفعل رقم واحد - هذا هو الرقم 2. ويبقى إضافة رقمين آخرين. سيكونان صفرين. أضفها قبل الرقم 2. ونتيجة لذلك، سيكون عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط هو نفسه:

يمكنك الآن البدء في تحويل هذا الرقم المختلط إلى كسر عشري. أولا نكتب الجزء كاملا ونضع فاصلة:

واكتب على الفور بسط الجزء الكسري

3,002

نلاحظ أن عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الجزء الكسري للعدد الكسري متساويان.

تتم قراءة الكسر العشري 3.002 على النحو التالي:

"ثلاثة فاصلة اثنان من الألف"

"الألف" لأن مقام الجزء الكسري من العدد الكسري يحتوي على الرقم 1000.

تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

يمكن أيضًا تحويل الكسور العادية ذات المقامات 10 أو 100 أو 1000 أو 10000 إلى أعداد عشرية. بما أن الكسر العادي لا يحتوي على جزء صحيح، اكتب أولاً 0، ثم ضع فاصلة واكتب بسط الجزء الكسري.

هنا أيضًا يجب أن يكون عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط هو نفسه. ولذلك، يجب أن تكون حذرا.

مثال 1.

الجزء بأكمله مفقود، لذلك نكتب أولاً 0 ونضع فاصلة:

الآن ننظر إلى عدد الأصفار في المقام. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. والبسط يحتوي على رقم واحد. هذا يعني أنه يمكنك متابعة الكسر العشري بأمان عن طريق كتابة الرقم 5 بعد العلامة العشرية

في الكسر العشري الناتج 0.5، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.

تتم قراءة الكسر العشري 0.5 على النحو التالي:

"صفر نقطة خمسة"

مثال 2.تحويل الكسر إلى عدد عشري.

جزء كامل مفقود. أولا نكتب 0 ونضع فاصلة:

الآن ننظر إلى عدد الأصفار في المقام. نرى أن هناك صفرين. والبسط يحتوي على رقم واحد فقط. لجعل عدد الأرقام وعدد الأصفار متساويين، أضف صفرًا واحدًا في البسط قبل الرقم 2. ثم يأخذ الكسر الشكل . الآن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويان. لذلك يمكنك متابعة الكسر العشري:

في الكسر العشري الناتج 0.02، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.

تتم قراءة الكسر العشري 0.02 على النحو التالي:

"نقطة الصفر اثنان."

مثال 3.تحويل الكسر إلى عدد عشري.

اكتب 0 ثم ضع فاصلة:

الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الكسر. نلاحظ أن هناك خمسة أصفار، ولا يوجد سوى رقم واحد في البسط. لجعل عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويًا، عليك إضافة أربعة أصفار في البسط قبل الرقم 5:

الآن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويان. إذن، يمكننا الاستمرار في التعامل مع الكسر العشري. اكتب بسط الكسر بعد العلامة العشرية

في الكسر العشري الناتج 0.00005، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.

تتم قراءة الكسر العشري 0.00005 على النحو التالي:

"نقطة الصفر خمسمائة ألف."

تحويل الكسور غير الصحيحة إلى أعداد عشرية

الكسر غير الحقيقي هو الكسر الذي يكون بسطه أكبر من مقامه. هناك كسور غير حقيقية يحتوي مقامها على الأرقام 10 أو 100 أو 1000 أو 10000. ويمكن تحويل هذه الكسور إلى أعداد عشرية. ولكن قبل التحويل إلى كسر عشري، يجب فصل هذه الكسور إلى الجزء الكامل.

مثال 1.

الكسر هو كسر غير حقيقي. لتحويل هذا الكسر إلى رقم عشري، يجب عليك أولا تحديد الجزء بأكمله منه. دعونا نتذكر كيفية عزل الجزء الكامل من الكسور غير الصحيحة. وإذا نسيت فننصحك بالرجوع إليه ودراسته.

لذلك، دعونا نسلط الضوء على الجزء الكامل في الكسر غير الحقيقي. تذكر أن الكسر يعني القسمة - في هذه الحالة، قسمة الرقم 112 على الرقم 10

دعونا ننظر إلى هذه الصورة ونقوم بتجميع عدد كسري جديد، مثل مجموعة بناء للأطفال. سيكون الرقم 11 الجزء الكامل، الرقم 2 هو بسط الجزء الكسري، الرقم 10 هو مقام الجزء الكسري.

لقد حصلنا على رقم مختلط. دعونا نحوله إلى كسر عشري. ونحن نعرف بالفعل كيفية تحويل هذه الأرقام إلى كسور عشرية. أولا نكتب الجزء كاملا ونضع فاصلة:

الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري. نرى أن هناك صفرًا واحدًا. وبسط الجزء الكسري يتكون من رقم واحد. وهذا يعني أن عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري هو نفسه عدد الأرقام في بسط الجزء الكسري. وهذا يمنحنا الفرصة لكتابة بسط الجزء الكسري بعد العلامة العشرية على الفور:

في الكسر العشري الناتج 11.2، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.

هذا يعني أن الكسر غير الفعلي يصبح 11.2 عند تحويله إلى عدد عشري.

تتم قراءة الكسر العشري 11.2 على النحو التالي:

"أحد عشر نقطة اثنين."

مثال 2.تحويل الكسر غير الصحيح إلى عدد عشري.

وهو كسر غير حقيقي لأن البسط أكبر من المقام. ولكن يمكن تحويله إلى كسر عشري، حيث أن المقام يحتوي على الرقم 100.

أولًا، دعونا نختار الجزء الكامل من هذا الكسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم 450 على 100 بزاوية:

دعونا نجمع رقمًا مختلطًا جديدًا - نحصل عليه. ونحن نعرف بالفعل كيفية تحويل الأعداد الكسرية إلى كسور عشرية.

اكتب الجزء كاملاً ثم ضع فاصلة:

الآن نحسب عدد الأصفار في مقام الجزء الكسري وعدد الأرقام في بسط الجزء الكسري. نلاحظ أن عدد الأصفار في المقام وعدد الأرقام في البسط متساويان. وهذا يمنحنا الفرصة لكتابة بسط الجزء الكسري بعد العلامة العشرية على الفور:

في الكسر العشري الناتج 4.50، يكون عدد الأرقام بعد العلامة العشرية وعدد الأصفار في مقام الكسر هو نفسه. وهذا يعني أن الكسر قد تمت ترجمته بشكل صحيح.

وهذا يعني أن الكسر غير الفعلي يصبح 4.50 عند تحويله إلى عدد عشري.

عند حل المسائل، إذا كانت هناك أصفار في نهاية الكسر العشري، فيمكن التخلص منها. دعونا أيضًا نسقط الصفر في إجابتنا. ثم نحصل على 4.5

هذا هو واحد من ميزات مثيرة للاهتمامالكسور العشرية. وتكمن في أن الأصفار التي تظهر في نهاية الكسر لا تعطي هذا الكسر أي وزن. بمعنى آخر، العددان العشريان 4.50 و4.5 متساويان. ولنضع إشارة المساواة بينهما:

4,50 = 4,5

السؤال الذي يطرح نفسه: لماذا يحدث هذا؟ ففي النهاية، يبدو العددان ٤,٥٠ و٤,٥ ككسرين مختلفين. السر كله يكمن في الخاصية الأساسية للكسور التي درسناها سابقًا. وسنحاول إثبات سبب تساوي الكسرين العشريين 4.50 و 4.5، ولكن بعد دراسة الموضوع التالي وهو ما يسمى “تحويل الكسر العشري إلى عدد كسري”.

تحويل العدد العشري إلى رقم مختلط

يمكن تحويل أي كسر عشري إلى رقم مختلط. للقيام بذلك، يكفي أن تكون قادرا على قراءة الكسور العشرية. على سبيل المثال، لنحول 6.3 إلى عدد كسري. 6.3 هي ستة فاصل ثلاثة. أولاً نكتب ستة أعداد صحيحة:

وبعد ثلاثة أعشار:

مثال 2.تحويل الرقم العشري 3.002 إلى رقم مختلط

3.002 يساوي ثلاثة أجزاء كاملة واثنين من الألف. أولا نكتب ثلاثة أعداد صحيحة

ونكتب بجانبه جزء من الألف:

مثال 3.تحويل العشري 4.50 إلى رقم مختلط

4.50 هي أربع نقاط وخمسون. اكتب أربعة أعداد صحيحة

والخمسين بعد المئة:

بالمناسبة، دعونا نتذكر المثال الأخير من الموضوع السابق. قلنا إن العددين العشريين ٤٫٥٠ و٤٫٥ متساويان. قلنا أيضًا أنه يمكن التخلص من الصفر. دعونا نحاول إثبات أن العددين العشريين 4.50 و4.5 متساويان. للقيام بذلك، نقوم بتحويل كلا الكسرين العشريين إلى أرقام كسرية.

عند تحويله إلى رقم مختلط، يصبح العلامة العشرية 4.50، والعلامة العشرية 4.5

لدينا رقمين مختلطين و . دعونا نحول هذه الأعداد الكسرية إلى كسور غير حقيقية:

الآن لدينا كسرين و . حان الوقت لتذكر الخاصية الأساسية للكسر، والتي تنص على أنه عند ضرب (أو قسمة) بسط ومقام الكسر على نفس الرقم، فإن قيمة الكسر لا تتغير.

دعونا نقسم الكسر الأول على 10

لقد حصلنا، وهذا هو الكسر الثاني. وهذا يعني أن كلاهما متساويان ويساويان نفس القيمة:

حاول استخدام الآلة الحاسبة لتقسيم 450 على 100 أولًا، ثم 45 على 10. سيكون الأمر مضحكًا.

تحويل الكسر العشري إلى كسر

يمكن تحويل أي كسر عشري إلى كسر. للقيام بذلك، مرة أخرى، يكفي أن تكون قادرًا على قراءة الكسور العشرية. على سبيل المثال، لنحول 0.3 إلى كسر عادي. 0.3 يساوي صفر فاصل ثلاثة. أولاً نكتب الأعداد الصحيحة الصفرية:

وبجوار ثلاثة أعشار 0. تقليديًا، لا يتم تدوين الصفر، وبالتالي فإن الإجابة النهائية لن تكون 0، بل ببساطة .

مثال 2.تحويل الكسر العشري 0.02 إلى كسر.

و0.02 يساوي صفر فاصلة اثنين. نحن لا نكتب الصفر، لذا نكتب على الفور جزء من مائتين

مثال 3.تحويل 0.00005 إلى كسر

0.00005 يساوي صفر فاصل خمسة. نحن لا نكتب الصفر، لذلك نكتب على الفور خمسمائة جزء من ألف

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

كيفية تحويل الكسر إلى عدد عشري؟ استغل الفرصة آلة حاسبة!استمر!